2. Phép chiếu song song
6.2.4. Các băng Bezier
Đường cong Bezier trong không gian 3 chiều có thể được viết dưới dạng là một
hàm của tham số v với L+1 điểm kiểm soát tùy thuộc vào tham số u theo một kiểu
nàođó: Chẳng hạn P(u,v) =
¤k k
O
Pk(u).BkL(v) (*)
Nghĩa là mỗi đường viền u là một đường cong Bezier chuẩn, nhưng ở những giá trị u khác nhau thì các điểm kiểm soát cũng nằm ở những vị trí khác nhau.
Khi u biến thiên thì mỗi điểm kiểm soát Pk(u) sẽ chạy trên một đường cong cụ thể. Do đó, mặt cong có thể xem nh ư là một sự dịch chuyển đường Bezier trong không gian.
Ta tưởng tượng một đa giác kiểm soát chuyển động trong không gian và thay đổi dạng khi chuyển động. Ở mỗi vị trí, đa giác này tạo nên một đường cong Bezier và mặt cong tạo thành chính là cái vết còn để lại bên dưới của đường cong này.
Ví dụ: Phép chiếu phối cách của một mặt được tạo ra bởi việc nội suy tuyến tính giữa 2 đường cong Bezier dựa trên 2đa giác kiểm soát là P0 và P1. Mỗi đường cong kiểm soát pk(u) được nội suy tuyến tính giữa 2 điểm kiểm soát Pk0 và Pk1 khi u biến thiên giữa 0 và 1:
pk(u) = (1-u).Pk0 + u.Pk1 k=0,1,2,3
Giả sử các đường cong kiểm soát pk(u) chính là các đường cong Bezier, mỗi đường cong này dựa trên m +1điểm kiểm soát của chúng.
Vì vậy: Pk(u) =
ƒ l
O
Pi,k.BiM(u)
P(u,v) = ƒ l O ¤ k O Pi,k.BiM(u).BkL(v) (**) Ta gọi đây là dạngtích Tensor cho băng Bezier.
Cũng giống như các đa giác kiểm soát trong 2D, một khối đa diện kiểm soát là
một mạng gồm có (M+1).(L+1) đỉnh.
Tóm lại, để tạo ra một băng ta chỉ cần chỉ ra các vị trí của các đỉnh này rồi sau đó áp dụng phương trình (**)để vẽ các đường viền hay định nghĩa dạng mặt cong.