4.3 Một số bài toán liên quan số học
4.3.3 Một số bài toán số Fermat
Số Fermat là một khái niệm trong toán học, mang tên nhà toán học Pháp Pierre de Fermat, người đầu tiên đưa ra khái niệm này. Nó là một số nguyên dương có dạng
Fn = 22n+ 1.
với n là số nguyên không âm.
Khi nghiên cứu các số có dạng22n+1, Fermat đã tính ra được vớin = 0,1,2,3,4 thì số có dạng trên là số nguyên tố, từ đó ông đưa ra dự đoán các số có dạng như trên đều là số nguyên tố. Từ đó các số có dạng thức như trên được gọi là số Fermat.
Tuy nhiên đến năm 1732, Euler đã phủ định dự đoán trên bằng cách chứng minh F5 là hợp số. Bằng cách biểu thị
641 = 5.27+ 1 = 24+ 54
Euler đã suy ra 5.27 = −1 (mod 641), dẫn đến 54.228 = (−1)4 = 1 (mod 641). Mặt khác54 =−24 (mod 641) nên suy ra −232 = 1 (mod 641). Vậy F5 chia hết cho 641.
Phần tiếp theo chúng ta nghiên cứu một số ví dụ để thấy rằng có thể sử dụng định lý tặng dư Trung Hoa giải quyết các bài toán liên quan số Fermat.
Bài toán 4.21. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dươngk sao cho un = 2nk+ 1 là hợp số với mọi n.
Lời giải. Xét các số Fermat Fn = 22n+ 1. Ta nhận thấy các số Fn đôi một nguyên tố cùng nhau. Thật vậy, giả sử m > n và p|Fn, p|Fm. Ta có
22m = (22n)2m−n = (−1)2m−n = 1 (mod p).
Mà 22m =−1 (mod p). Suy ra 1 =−1 (mod p), vô lý vì p lẻ.
Ta đã biết F5 có phân tích nguyên tố là F5 = (641)(6700417). Đặt p= 641, q= 6700417. Theo định lý thặng dư Trung hoa, tồn tại số nguyên dương k với k >
max(F1, F2, F3, F4, p, q) sao cho
( k = 1 (mod Fm), m= 1,2,3,4 k = 1 (mod p)
k =−1 (mod q)
Ta chứng minh k là số cần tìm. Thật vậy, giả sử n = 2mb với b là số lẻ. Nếu m≥4 thì un = 2nk+ 1 = 2n+ 1 = (22m)b+ 1 = 0 (mod Fm) và un > k > Fm.
Do đó un là hợp số.
Nếu m= 5 ta có un = 2nk+ 1 = 2n+ 1 = 225b
+ 1 = 0 (mod p) và un > k > p do đó un là hợp số.
Nếu m >5 ta có n = 25c với c là số chẵn. Khi đó 2n =
225
c
= (F5−1)c = (−1)c = 1 (mod q), do đó
un = 2nk+ 1 =−2n+ 1 =−1 + 1 = 0 (mod q).
Vìun > k > q nên un là hợp số.
Bài toán 4.22. Cho trước các số nguyên dươngn, s. Chứng minh rằng tồn tạin số nguyên dương liên tiếp mà mỗi số đều có ước là lũy thừa bậcs của một số nguyên dương lớn hơn 1.
Lời giải. Xét dãy số Fermat Fn = 22n + 1(n= 1,2, . . .). Theo ví dụ 4.21 ta có (Fn, Fm) = 1,∀n6=m.
Áp dụng định lý thặng dư Trung Hoa cho n số nguyên tố cùng nhau F1s, F2s, . . . , Fns và n số ri =−i(i= 1,2, . . . , n) thì tồn tại số nguyên x sao cho
x=−i (mod Fis), hay
x+i= 0 (mod Fis).
Vậy dãy {x+ 1, x+ 2, . . . , x+n} gồm n số nguyên dương liên tiếp mà số hạng thứ i có ước là Fis. Bài toán được chứng minh.
Bài toán 4.23 (IMO Shortlist 1998). Xác định tất cả số nguyên dương n sao cho với n này tồn tại m ∈Z để
2n−1|m2+ 9.
Lời giải. Giả sử n = 2s.t(s, t∈N), t là số lẻ.
Nếu t≥3 thì 2n−1 = 22s.t−1 = (2t)2s−1...(2t−1)nên (2t−1)|(2n−1)|(m2+ 9).
Ta có
2t−1 =−1 (mod 4).
Tức là số 2t−1 có dạng 4k+ 3, do đó nó có ước nguyên tố p mà p =−1 (mod 4), và p6= 3 vì 2t−16...3,∀t lẻ.
Từ đó suy ra
p|m2+ 9⇒m2 =−9 (mod p).
Chứng tỏ −9 là thặng dư bình phương theo modulo p, tuy nhiên 1 =
−9 p
= −1
p
. 9
p
= (−1)p−12 3
p 2
= (−1)p−12
nên p−1
2 phải là số chẵn, tức là p= 1 (mod 4), vô lý.
Từ đây suy ra t= 1 hay n = 2s. Ta chứng minh đây là tất cả các số cần tìm bằng cách chỉ ra số m để 2n−1|m2+ 9.
Ta có
2n−1 = 22s −1 = (2−1)(2 + 1)(22+ 1)(222+ 1). . .(22s−1 + 1).
Từ đó để
2n−1|m2+ 9⇒22k+ 1|m2+ 9,∀k = 0,1, . . . , s−1.
Mặt khác các số Fermat có tính chất
(22m + 1,22n+ 1) = 1,∀m 6=n.
Theo định lý thặng dư Trung Hoa thì tồn tại nghiệmx0 thỏa mãn hệ phương trình thặng dư
x= 2 (mod 22+ 1) x= 22 (mod 222 + 1) x= 222 (mod 223 + 1) . . .
x= 22s−2 (mod 22s−1 + 1) Từ đó suy ra
x20+ 1 = 0 (mod 22t+1 + 1),∀t= 0,1,2, . . . , s−2.
Suy ra
2n−1|9(x20+ 1) =m2+ 9 với m = 3x0, đây chính là giá trị m cần tìm.
Kết luận
Luận văn "Thặng dư và thặng dư bình phương " đã giải quyết những vấn đề sau
1. Luận văn trình bày đầy đủ, chính xác lý thuyết thặng dư, thặng dư bình phương với nhiều ví dụ minh họa.
2. Luận văn đã tập trung nghiên cứu tương đối đầy đủ về các dạng phương trình thặng dư và phương pháp giải của chúng.
3. Luận văn đã xây dựng được hệ thống các dạng toán liên quan thặng dư, thặng dư bình phương.
4. Luận văn tập hợp một số bài thi Olympic Toán các nước về phần thặng dư, thặng dư bình phương, có phân tích và đề xuất bài tập tương tự.
5. Luận văn giúp nâng cao hiểu biết của bản thân về thặng dư, thặng dư bình phương, từ đó bản thân có phương pháp nghiên cứu khoa học.
Luận văn là nguồn tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh.