TƠm ữớng trỏn nởi tiáp tam giĂc ABC l tƠm ¯ng phữỡng cừa
Ca,Cb,Cc. Ph²p nghàch Êo vợi ữớng trỏn nghàch Êo l ữớng trỏn nởi tiáp ta cõ Ca,Cb,Cc bĐt bián (hẳnh k²p) v cĂc ữớng trỏn Soddy nởi v ngoÔi l nghàch Êo cừa nhau. °c biằt, cĂc tam giĂc Soddy TaTbTc v Ta0Tb0Tc0 và tỹ nhau vợi tƠm và tỹ l tƠm I, chúng cụng và tỹ vợi tam giĂc ABC theo tƠm và tỹ lƯn lữủt l F, F0. Vẳ ATT a
aF = r1
ξ nản ta cõ Ta = ξ ãAξ ++rr1 ãF
1 .
Trong tồa ở barycentric
Ta =
a+ 2S
r1 :b+ S
r2 :c+ S r3
Hẳnh 2.4: TƠm Soddy nởi, ngoÔi v iºm Eppstein E =X481
Vẳ iºm tiáp xúc A1 cõ tồa ở A10 : r1
2
: 1 r3
nản ữớng th¯ng TaA1 ró r ng chùa iºm
E =
a+ 2S
r1 : b+ 2S
r2 : c+ 2S r3
.
Tữỡng tỹ, cĂc ữớng th¯ng TbB1, TcC1 cụng chựa iºm E nhữ vêy, do õ nõ l tƠm và tỹ cừa∆TaTbTc v tam giĂc ¿nh l cĂc tiáp iºm. õ l iºm Eppstein E = X481 ([6]). iºm E cụng nơm trản ữớng th¯ng Soddy, xem [3]. Tam giĂc Ta0Tb0Tc0 cụng và tỹ vợi tam giĂc cõ 3 ¿nh l tiáp iºm, tƠm và tü l
E0 =
a− 2S r1
: b− 2S r2
: c− 2S r3
,
cụng nơm trản ữớng th¯ng Soddy, cũng vợi E chia iãu hỏa oÔn th¯ng
IGe. E0 l iºm Eppstein thự hai, kỵ hiằu bði X482, [6].
ành nghắa 2.4. Cho tam giĂc ABC. Ta xĂc ành ữủc 3 ữớng th¯ng:
÷íng th¯ng Euler `E, ÷íng th¯ng Gergonne`G v ÷íng th¯ng Soddy `S. Tam giĂc tÔo bði 3 ữớng th¯ng õ ữủc gồi l tam giĂc Euler-Gergonne- Soddy cừa tam giĂc ABC. Ngữới ta thữớng kỵ hiằu tưt l tam giĂc EGS.
ữớng th¯ng Euler `E l ữớng th¯ng i qua trỹc tƠm H v trồng tƠm
G cừa tam giĂc, cĂc iºm tƠm ngoÔi tiáp O v tƠm ữớng trỏn 9 iºm
Hẳnh 2.5: CĂc ữớng th¯ng Euler v Gergonne
O9 cụng thuởc ữớng th¯ng Euler. Chúng cỏn lêp th nh h ng iºm iãu hỏa (HGO9O) = −1. Ngo i ra, cĂc iºm nời tiáng khĂc trong tam giĂc cụng nơm trản ữớng th¯ng Euler: iºm de Longchamps, iºm Schiffler, iºm Exeter... ữớng th¯ng Gergonne ữủc xĂc ành nhữ sau: Gồi ba giao iºm cừa cÔnh tam giĂc vợi ữớng th¯ng i qua tiáp iºm cừa 2 cÔnh kia v ữớng trỏn nởi tiáp l N1, N2, N3 (cĂc iºm Nobbs). Theo kát quÊ cừa Oldknow nôm 1996, cĂc iºm Nobbs th¯ng h ng. ữớng th¯ng chựa 3 iºm Nobbs õ chẵnh l ữớng th¯ng Gergonne `G. Ngo i ba iºm Nobbs, ngữới ta cỏn chựng minh ữủc 2 iºm nỳa cụng thuởc ữớng th¯ng Gergonne:
iºm Fletcher Fl v iºm Evans Ev. ÷íng th¯ng Soddy i qua 2 iºm Soddy, nõ cụng chựa tƠm ữớng trỏn nởi tiáp tam giĂc.
Tam giĂc Euler-Gergonne-Soddy cõ cĂc tẵnh chĐt sau, [2]:
Tẵnh chĐt 2.4.1 (ành lỵ Oldknow). Tam giĂc Euler-Gergonne-Soddy luổn l tam giĂc vuổng (`G ⊥ `S).
Chựng minh. HÔ IA3 ⊥ AA1, IB3 ⊥ BB1, IC3 ⊥ CC1. Gồi f(I,r) l ph²p nghàch Êo vợi (I, r) l ữớng trỏn nghàch Êo. Ta cõ f(I,r) : Ωa 7→ B1C1 vợi Ωa l ữớng trỏn ữớng kẵnh IA; f(I,r)Ω1 7→ BC vợi Ω1 l ữớng trỏn
ữớng kẵnh IA1. Dạ thĐy A3 ∈ Ωa ∩ Ω1. Nhữ vêy f(I,r)(A3) l giao cừa
Hẳnh 2.6: Tam giĂc Euler-Gergonne-Soddy vuổng tÔi Fl =`G∩`S
f(I,r)(Ωa) = B1C1 v f(I,r)(Ω1) = BC, tùc l f(I,r)(A3) = BC ∩ B1C1 hay f(I,r)(A3) = A2.
T÷ìng tü, f(I,r)(B3) =B2, f(I,r)(C3) =C2.
Vẳ IA\3Ge = IB\3Ge = IC\3Ge = π2 nản cĂc iºmA3, B3, C3, I, Ge thuởc
ữớng trỏn Γ vợi IGe l ữớng kẵnh.
Theo tẵnh chĐt cừa ph²p nghàch Êo, f(I,r)(Γ) l mởt ữớng th¯ng. Vêy
A2, B2, C2 th¯ng h ng, Ơy chẵnh l cĂc iºm Nobbs v ữớng th¯ng chựa 3 iºm â l ÷íng th¯ng Gergonne `G. Hìn núa ta th§y iºm f(I,r)(Ge) thuởc ữớng th¯ng Gergonne `G.
Ta lÔi cõ f(I,r)(IGe) = IGe nản º chựng minh `G ⊥ `S, tực l cƯn chựng minh A2B2 ⊥ IGe ta ch¿ viằc chựng minh Γ v IGe trỹc giao tÔi
Ge. Những iãu õ hiºn nhiản vẳ IGe l ữớng kẵnh cừa Γ (hẳnh 2.6).
Tẵnh chĐt 2.4.2. Tam giĂc Euler-Gergonne-Soddy cõ cĂc ¿nh l iºm Longchamps L = `S ∩ `E, iºm Fletcher Fl = `G ∩ `S v iºm Evans Ev = `G∩ `E.
Chựng minh. Kát quÊ cừa Oldknow nôm 1996 v trong [2].
Tẵnh chĐt 2.4.3. Náu ABC l tam giĂc cƠn thẳ tam giĂc Euler-Gergonne- Soddy suy bián.
Chựng minh. Trong trữớng hủp n y cĂc ữớng th¯ng Euler v Soddy cừa tam giĂc trũng vợi trửc ối xựng cừa tam giĂc ABC. iãu õ k²o theo cĂc iºm Ev v Fl tròng nhau.
Hẳnh 2.7: Mởt số iºm trản cÔnh tam giĂc Euler-Gergonne-Soddy
Náu ABC l tam giĂc ãu thẳ trửc ối xựng cừa tam giĂc khổng duy nhĐt v cĂc iºm G, Ge, H, L, O9, O, F, F0 ãu trũng vợi tƠm nởi tiáp I. Nhữ vêy cĂc ữớng th¯ng Euler v ữớng th¯ng Soddy khổng phÊi l
ữớng th¯ng thỹc, ữớng th¯ng Gergonne trð th nh ữớng th¯ng vổ tên (Oldknow, 1996, theo [2]). Do õ trong trữớng hủp tam giĂcABC ãu, cĂc
ữớng th¯ng Euler v Soddy trũng nhau, cõ thº chồn nõ l ữớng th¯ng bĐt ký i qua tƠm nởi tiáp I.
ữớng trỏn ngoÔi tiáp tam giĂc Euler-Gergonne-Soddy ữủc gồi l
÷íng trán Euler-Gergonne-Soddy. Nh÷ ta th§y ÷íng trán n y câ ÷íng
kẵnh l oÔn th¯ng LEv. Tứ Ơy ta cụng suy ra cổng thực tẵnh bĂn kẵnh v t¥m cõa ÷íng trán Euler-Gergonne-Soddy.
Cha ´ cừa ữớng trỏn Soddy, iºm Soddy, ữớng th¯ng Soddy,. . . chẵnh l Frederick Soddy, ngữới  d nh ữủc giÊi thữðng Nobel vã hõa hồc. ặng
 cổng bố chúng cũng vợi b i thỡ The Kiss Precise cừa ổng (Soddy, 1926). Trong nhỳng nôm gƯn Ơy, nhiãu tĂc giÊ (N. Dergiades, nôm 2007, M. Jackson, nôm 2013, M. Jackson v Takhaev, nôm 2015, 2016)  cổng bố cĂc phĂt hiằn hẳnh hồc sƠu sưc sinh ra tứ ữớng trỏn Soddy.
Nhớ tồa ở barycentric ta tẳm thảm ữủc mởt số tẵnh chĐt cừa tam giĂc Soddy, ữớng trỏn Soddy,.. (nởi v ngoÔi). Mởt số tẵnh chĐt liản quan
án cĂc iºm l tƠm tam giĂc (theo cĂch xĂc ành trong [6]) bờ sung thảm v o danh sĂch cĂc iºm °c biằt trong tam giĂc. KhĂi niằm tam giĂc EGS cụng ữủc giợi thiằu trong chữỡng 2.
Ch֓ng 3
Mởt số vĐn ã liản quan
CĂc b i toĂn sau ữủc sinh ra tứ ữớng trỏn Soddy. Ta s³ x²t mởt trữớng hủp riảng quan trồng º dăn án khĂi niằm "tam giĂc kiºu Soddy".
Chữỡng n y trẳnh b y chi tiát hai b i bĂo [4], [5] vợi sỹ sưp xáp theo chừ ỵ cừa tĂc giÊ luên vôn.