Định nghĩa 1.4: Tích Descartes của hai tập X , Y là tập, ký hiệu X y - Y , gồm các phần từ có dạng (x, v) ừ-ong đỏ x e X và y e Y . Vậy
A ' x r = ((A:,y)|AreA' và y e r } (1 .8 ) Ví d ụ 1.9: x = { a, b, c \ , r = {l,2};
X x Y = { { a A ) ,{ b .\U c ,\\ia ,2 U b ,2 U c ,2 ) } .
Ta dề dàng chứng minh được rằng nếu X có n phần tử, Y cỏ m phần tư thì A' X ỵ cỏ n -m phần tứ.
Tích Dcscartcs của n tập hợp Xị, đirợc định nghĩa và ký hiệu như sau:
X ị y . X 2 ^ . . . x X „ = ị( x |,x2 ,...,x„)|x, e A',, / = 1,2....fi] (1.9) Nhận xét 1.1:
1.Khi Xị =. . . =. X„ = X thì ta ký hiệu X ' ’ thay cho A 'x . . . x X . n lần 2. Tích Descartes Xị XX 2 X . . . X còn được ký hiệu
3. G i ả s ử ( . V | , . . . , x „ ) 6 A ' | X . . . X A ' , , ; € A ', x . . . x X „ t h ì
(V|... .v„) = ( x '|...v'„) <=> .Y, =.v',.V / = 1...n (1.10) 4. 'ĩích Descartes cua các tập hcrp không có tính giao hoán.
1.3.2 Quan hệ hai ngôi
Trong thực tế cuộc sống cũng như trong toán học ta thường xét đến các quan hệ. Chắng hạn hai bạn sinh viên có thê có quan hệ dồniỊ hương, quan hệ cùng một họ.... hai số nguyên cỏ quan hệ chia hết, quan hệ nguyên tố cùng nhau, quan hệ nhó hơn.... Mỗi quan hệ này có thê xác định bởi tập các cặp phần tử có quan hệ với nhau. Khái quát hóa điều này ta có định nghĩa quan hệ như sau.
Định nghĩa 1.5: Cho tập X ^ 0 , mỗi tập con ■'Jì d X x X được gọi là một qnan hệ hai ngôi trên X .
Với X, V e X và (x\ v) e .yỉ' ta nói X cỏ quan hệ với V theo quan hệ ./i’ và ta viết x-'/ỉ\'.
Ví dụ 1.10: Ta xét các quan hệ sau trên lập các số:
: X’'A\y <=> jc: V (-V chia hết cho V). Vx, v e N
V o (x. v) = 1 ( jr và V nguyên tố cùng nhau) y x ,y e 'Z .
•'/ỉy: x-^/ỉ^v <=> X < ( .V nhỏ hơn hay bàng V) V.v. velR
. ^ ằ 4 o - Y - v : w , Vx, v ^ 2 . Ta ký hiệu .v = v (in o d w ) và
đọc là .vđồng dư với V modulo m.
Định nghĩa 1.6: Ọitan hệ hai ngôi -iỉ trẽn X đirợc gọi là có tinh:
a) Phân xạ, nếu x-yỉx, Vx 6 X ,
h) Đoi xứng, nếu v.r. V G X mà .V>M' ỉhì cũng có :
c) Bắc cầu, nếu Vx, X mà -V./A’ và y-'Jỉz thì cũng có X’i ì z : d) Phán đối xứng, nếu y x , y e X mà x-'J\y và ỵ>'/ỉx thì X - V .
24 Giáo trình Dại ,ví5
Vớ dụ 1.11; -/ằ1 phỏn đối xứng, bắc cầu nhung khụng đối xứng, không phàn xạ (vì 0 không chia hết cho 0 ). ^
■'/Ỉ2 dối xứng, không phán xạ. không phán xứng, không bấc cầu.
■'/ì\ phán xạ. phán đối xứng, bẩc cầu.
■'/ì\ phán xạ. đối xímg. bác cầu.
1.3.3 Quan hệ tương đương
Định n g h ĩa 1.7: Quan hệ hai ngôi ./ỉ’ írên X ^ 0 được gọi là quan hệ ticơng đương nếu cỏ ba tinh chất phán xạ, đổi xứng, băc cáu.
Theo thói quen, với quan hệ tương đương -'/ì ta thường viết x - y ự í \ ) hoặc X - V thay cho x -iìy (khi .'/ì đã rõ ràng).
Ta định nghĩa và kv hiệu lớp tương đương ciia phần lừ X e X là tập h(Tp
x = ị y e X \ y ~ x } (1.11)
Mỗi phần tử bẩt kỳ của lớp tương đương X được gọi là phân tử đại diện của -V. Người ta còn ký hiệu lớp tương đương cúa A' là c l ( x ) .
Hai lớp tương đương bất kỳ thì hoặc bằng nhau hoặc không giao nhau, nghĩa là x n x ' hoặc bằng x = x ' hoặc bàng 0 , nói cách khác các lórp tirang đưíTng tạo thành một phân hoạch các tập con của X .
= (1.12)
Tập tất cá các lớp tương đưcmg được gọi là tập hợp thương, ký hiệu X Ị - . Vậy
A'/~ = {x|-V6 A'Ị (1.13)
Ví dụ 1.12.- Quan hệ trong ví dụ 1.10 là một quan hệ tương đương gọi là quan hệ đồng dư modulo m trên tập các số nguyên z . Nếu X - V. ta viết A' = v(m od m) .
ChươtĩỊỉ, I : M ơ dâ n \'é ỈOV.ÌC mệnh đê. tập hợp... 25
'i'a ký hiệu tập thương (1.13) gồm m số dồng dư modulo nr.
... (1,14)
Ví dụ I.I3: Ọuan hệ bằng nhau của các véc tơ buộc là một quan hệ tương đương trong tập hợp các véc tơ buộc trong không gian. Mồi lớp tương đưoTig là một véc tơ tự do.
Ví dụ 1.14: Quan hệ tam giác đồng dạng trong không gian Euclide là quan hệ tưtTng đưong.
1.3.4 Quan hệ thứ tự
Đ ịnh nghĩa 1.8; Quan hệ hai ngôi ’'/ì trên X được gụi là quan hệ thử tự nêu củ ba tinh chãt phán xạ, phản đối xứng, bắc cầu.
Ví dụ 1.15:
1 ) Trong N, z , Q, IR quan hệ "x < v" là một quan hệ thứ tự.
2) Trong N* quan hệ "x': v" là một quan hệ thứ tự.
3) Trong • /(A ') (tập hợp tất cá các tập con của X) quan hệ "tập con" ị À c: B ) ì à một quan hệ thứ tự.
Khái niệm quan hệ thứ tự được khái quát hoá từ khái niệm lớn hơn (hay đứng sau) trong các tập số. vì vậy theo thói quen người ta cũng dùng ký hiệu " <" cho quan hệ thứ tự bất kỳ.
Ọuan hệ thứ tự " <" trên tập X được gọi là qiian hệ í h ú tự toàn p hần nếu hai phần từ bất kv của X đều so sánh được với nhau, tưc là:
Vx, v e X : x < v hoặc y < x (1.15) Ọuan hệ thứ tự không buộc toàn phần được gọi là quan hệ thứ tự bộ phận.
Tập X với quan hệ thứ tự "< " được gọi là tập được sắp. Nếu
" <" là quan hệ thứ tự toàn phần thi X được gọi là tập được sắp toàn p h ầ n hay sắp tuvến tính.
26 (riào trình Dại so
ChưcrnịỊ i : M ơ đầu vè loỊỊÌc mệnh đề. lập hợp... 27
q = sup.4<=> (1.16)
Ví d ụ 1.16: Các tập (N.<). ( 2 . < ) . (Q,<). (IR.<)được sấp toan phần, còn (N*.:) và [■ y\X ).c:) được sấp bộ phận (nếu X c ó nhiều hơn 1 phần tư).
Định nghĩa 1.9: Cho tập được sắp {X. <) và tập con A d X . Tập A được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại q e X sao cho a < q , với m ọi a E À . Khi đó q đư ợ c g ọ i là m ột chặn trên cùa A .
Hiên nhiên ràng nếu q là một chặn trên cua A thì mọi q ' e X mà q < q ' đều là chặn trên cùa A . Phần tử chặn trên nhỏ nhất q cúa A (theo nghĩa CỊ <q' . với mọi chặn trên q ' cùa A ) được gọi là cận trên cùa A và được ký hiệu q = s u p / l . Rõ ràng phần tư cận trên nếu tồn tại là du> nhất.
\ ỉ a e A \ a < q
(Vữ e A : a <q')=> q < q '
Tưưng tự tập A được gọi là hị chặn dưới nếu tồn tại p e X sao cho p < a . với mọi a & A . Phần tử chặn dưới kVn nhất được gọi là cận dirới cùa A và được ký hiệu int' A . Cận dưới nếu tồn tại cũng duy nhất.
y a e A: p < a
(Ví7 e A: p' < a ) ^ p' < p
Nói chung s u p ^ . in r /í chưa chác là phần lử của A . Nếu
( 7 = s u p / 4 e / l thì í/ được gợi là phần từ lởn nhắt cúa A ký hiệu q = max A
\/a e A : a <q q e A
Tương tự nếu p = in í A e À thi p được gọi là phần từ be nhốt cùa A ký hiệu / 7 = min /1
p = int'/í<=>
q = max A <=> (1.18)
28 Giáo trình ỉ)ai sô
Ị) = min A <=> (1.19)
q = sup A <=> ( 1.2 0)
Ví/ & A: p < u p G A
Từ tính chầl lièn lục cua lập số ihực ÍR cỏ thê chứníi minh dược rằng với mọi tập con /1 CỈR ;
■ Neu A bị chặn trên thì tôn tại cận trên s u p ^ '^a e A : a < q
Vc > 0.3 í/ e A\cj - z < a Neu A bị chặn dưới thì tồn tại cận dưới int' A
\ f a e A \ p < a
\ f z > i ) 3 a e A : a < ;? + e Ví dụ 1.17: rập A = 0; 1) = I -V GIR| 0 < -Y < 11 có:
1 = sup A ữ A . inf A — O e A . do cló khôrm tồn tại max A nhưng tồn tại m i n/ 1 = i n f / í = 0 .
Ví dụ 1.18: Gia sứ hàm số r = /(A') xác dịnh trong miền D. Áp dụng công thức ( 1 .18). ( 1 . 19) ta cỏ công thức xác dịnh giá trị lớn nhất
M và giá trị nhó nhất m cùa hàm sô đó.
V.v e D : f { x ) < M
( 1.2 1)
M - max / '( . v ) o i>
m = min / '( . y Ị o
a ể/ ; ■