Ta chi xét các mạng gồm các chuyển mạch có hai trạng thái đóng (dòng điện đi qua được) và mở (dòng điện không qua được). Hai
58 Cỉiủo trình Dai sô mạng đơn giản nhất là mạng song song cơ ban (basic parallel nctvvork) và mạng nối tiếp cơ bản (basic series netvvork) được mô tá trong hình vẽ sau;
^ — o — o
AT V
Hình ì : M ạng song song cơ bàn Hình 2: M ạng nối tiếp cơ bán Một mạng bất kỳ có thể nhận được bằng cách ghép nối tiếp hay song song các mạng cơ bàn này.
Ta ký hiệu các chuyển mạch bởi các chừ X , v, 2 ... Nếu X ở trạng thái mở ta cho .V nhận giá trị 0 và ớ trạng t h á i đóng ta cho X nhận giá trị 1. Trong một mạng nếu hai chuyển mạch !uôn cùng trạng thái thì ta ký hiệu cùng một chữ. Hai chuyển mạch có trạng thái luôn ngược nhau, nếu một chuyển mạch được ký hiệu là X thi chuyến mạch kia được ký hiệu là x'.
Mạng song song (hình 1) nhận giá trị 1 khi có ít nhất một trong hai chuyển mạch X, V nhận giá trị 1. ta ký hiệu X V V . Còn mạng nối tiếp (hình 2 ) nhận giá trị 1 khi cá hai chuyển mạch x,.v nhận giá trị 1. ta ký hiệu a:a V. Như vậy x ' , x v y . x A V có thể được xem như các biến nhận giá irị irong dại sổ Boole B2 (vi dụ 1.47). tíàng phương pháp này ta có thể mô tả một mạng bất kỳ bời một công thức Boole và ngược lại. Chẳng hạn mạng sau đây:
oy
o — o
X y
tưomg ứng với công thức ( V V z) V (x A •
Chươtĩịĩ, ì : M(r đáu vê lo g ic mệnh đê, lập hợp... 59 Còn công thức Boole (x a z ) v (v a z )v ( v'a j c) mô tá mạng;
---- 0-0----
o — o
V
0 — o
y ' ^
Chú ý rằng trong các công thức cần xét ta thay ( x v v)' bới x ' A y ' và ( x A v Ỵ bời x ' v v' .
Hai m ạng N I và N2 được gọi là tương đương nếu nó thực hiện cùng một chức năng, nghía là với bất kỳ cách chọn các trạng thái đóng mở ở mọi vị trí chuyển mạch trong mạng thì trạng thái đầu vào và đầu ra của NI và N2 đều như nhau. Như vậy hai mạng tương đương khi hai công thức Boole tương ứng cùa chúng là tương đương.
Ta có thể áp dụng đại số Booỉe để giải quyết hai vấn đề sau:
1.7,4.1 Với m ột m ạng cho trước tìm mạng tương đương đơn giản hơn Ví d ụ 1.56: Tìm mạng tương đương đơn giản hơn cùa mạng sau
o
0- 0-
vv
o ọy
vv
Công thức Boole tưomg ứng: [x v z ) a v V ((x A w) v>v)
60 Giáo trình Dại sô Ta có ( X A w ) V vv = VI’ (luật hấp thu), do đó công thức trên có ihê biến đồi thành ( . v v z) A V V U' A Ị’ = (x V z V H') A V .
Vậy ta có mạng tương đương đơn giản hơn
Ví dụ 1.57; Tìm mạng tương đương đơn gián hơn cùa mạng sau
o y
o -
- o X
oV
o-
z
Công thức Boole tương ứng:
{ z r . x ) y [ x z ' ) ) r . { z ■/ x ) / . { z y v ) .
T a c ó ' ( z A X ) v ( . t a ( v ’ V 2 ' ) ) a ( z v . v ) a ( z V )•)
= " ( z A X ) v ( ( X A v ) v ( X A Z ' ) ) ' a [z v { A ' A v )
= ' ị x a {z A z ' ) ) v ( x A ỵ ) a [ z V ( , V A _V)
= X A z V (.V A v ) = ( x A z ) V A (.V A v ) ]
= ( x A z ) V ( x A v ) = -Y A ( z V v )
Vậy ta có mạng tương đương đom gián hom;
ChinrriỊỊ I : Mcr đ â u vê lo g ic mệnh đê. lập hợp... 61
/. 7.4.2 Thiết k ế m ột m ạng thoá man các điều kiện cho trước
Ví d ụ 1.58: Thiết kế một mạng điện cho một bóng đèn ơ cầu thang mà có thể bật tắt ớ cà hai dầu cầu thang.
Giải. Gọi -V và V là hai công tẳc ớ hai đầu cầu thang. Theo yêu cầu đặt ra ta cần thiết kế một mạng điện sao cho khi thay đối trạng thái cùa một trong hai vị trí X. V thi trạng thái cùa đầu ra (bóng đèn) phải thay đôi. Báng giá trị cua hàm cho trong ví dụ 1.53 thỏa mãn đòi hỏi này.
Vậy mạng cần tim là
X V
o o
I ' V'
62 G iá o (rình D ại số
B ÀI T Ậ P C H Ư Ơ N G 1
1.1. Hai tập hợp A và B trong các trường hợp sau đây có bàng nhau hay là tập hợp con của nhau?
a) /í = Ịx elR X ' + 2a: > l ị . 5 = |x elR jr > >/2 - l ị .
b) A là tập mọi sổ thực > 0. B là tập mọi số thực > trị tuvệt đối cùa chính nó.
c) A là tập mọi số nguyên không âm có luỹ thừa bậc 3 là một số lẻ không chia hết cho 3, B là tập các số nguyên không âm có bình phương trừ 1 chia hết cho 24.
1.2. A , B , C , D là tập con cùa £ . Chứng minh ràng;
a) A \ B = 0 khi và chi khi A(Z B .
b) Nếu A c B , c cz D thì Au C czBkjD. A r \ C c i B r \ D .
c) N ế u A ^ C c A ^ u B . A n C c A n B thi c (Z B .
1.3. Cho A , B là hai tập con cùa £ , Chứng minh ràng;
a) A d B < ^ B c . A.
b) A ( z B c : : > A u B = B o A u B = E . c) A c : R c : > A r \ R = A < r i > B r ^ A - C d . d) A \ ( A \ B ) = A n B .
e) À n ( B \ C ) = ( À n B ) \ ( / l n C ) . 0 Avj{ B \ A ) = A \j B .
1.4. A , B , C , D là tập con của E. Chứng minh ràng:
a) A n B ^ 0 o { A x B ) r > ^ { B x A ) ^ 0 . b) ( A x C ) n ị B x D ) = ( À n B ) x ị C n D ) .
c h ư ơ n g I : M</ đầu I’t' loịỉic mệnh đê. lập hợp... 63
1.5. 1 rong IR. xét quan hệ -'/ỉ xác dịnh bởi;
a-l/Ỷh o = a - h
C'hímg minh -'/ỉ là một quan hệ tưcmg đương. Tìm lớp tương đương a cua a.
1.6 . 1 rong tập h(Tp các số tự nhiên N. các quan hệ sau có phái là quan
hệ tương dương không?
a) a-'/ỉb <=> a chia hết cho h .
b) a.'/ỉb o CI không nguyên tố với b . 1.7. Trong IR. xét quan hệ -'/ỉ xác định bởi:
a^/ỉh <=> ( a ' + 2)(h' + \) = {b^ + 2)(a~ + 1)
Chứng minh . / / là một quan hệ tưtmg đương. Xác định số phần tử cua lóp tương đương a của a .
1.8. Trong tập các đường thẳng trong không gian, quan hệ vuông góc có phai là quan hệ tưong đương không?
1.9. Trong R “ xét quan hệ (.V, v ) < (x'.,v’) o X < x', V< .v'. Chứng minh < là mộl quan hệ thứ lự. Quan hệ này có phái là quan hệ thứ tự toàn phần không?
1.10. Ta sấp xếp thứ hạng học sinh bàng cách dựa vào kiểm tra hai môn học mà kết quá được đánh giá bằng điềm, điêm môn thử nhất kv hiệu là .V. điếm môn thứ hai ký hiệu là V. Học sinh có điềm (X|.V|) kém h(ĩn học sinh có điếm ( x t . V i ) . ký hiệu
(X|.V'|)<(,V2. V-)) xác định như sau:
.V| < X,
64 í ĩiủi) trình Dụi ,vô Chứng minh quan hệ < là quan hệ thứ tự toàn phần (được gọi là sẳp thứ tự từ điên).
1.11. a) Cho tập được sắp (£■.<) và hai lập con A a B d E .
Chứng minh ràng nếu tồn tại sup/í, s u p ổ ihi s u p / í < s u p ổ . b) Tìm ba ví dụ về tập được sắp ( £ . < ) thoá mãn;
1) Tồn tại sup A nhưng không tồn tại sup B . 2) Tồn tại sup B nhưng không tồn tại sup A . 3) Tồn tại sup A i A nhưng tồn tại max B .
1.12. Các ánh xạ f : X sau đây là đon ánh. toàn ánh. song ánh?
Xác định ánh xạ ngược nếu tồn tại.
a) f { x ) = 2x + 5.
b) A' = r = I R , f { x ) = x ~ - 2 x .
c) x = [ l ĩ ị Y = [ - \ ; 3 ị f { x ) = x ' - 2 x . d) X = Y = R , f { x ) = 3 x - 2
e) A' = K = IR, f { x ) ~ X' + hx + c: h. c e R . 1.13. Cho / : IR* —> IR và ^ : R —> IR xác định bởi:
/ ( a) = V-v-í í(a) = 3.v/ {a' + 1 )
a) Ánh xạ nào là đem ánh. toàn ánh. Tìm Im / . Im g .
b) Xác định ánh xạ tích g o f . Có đăng thức g ° f = g không ? 1.14. Cho hai ánh xạ / , g : N ->N xác định bởi:
n Ị l nếu n chẩn f { n ) = 2n. ^ ( '0 = _ , . :
( ^ 7 - l) / 2 nêu n lé
a) Xác định tính chất đơn ánh, toàn ánh cúa f \ g .
h) Xác dịnh / 3 ịr, iỊ o / .
1.15. Cho ánh \ ạ / : A' -> Y cho A.IĨCZ X và C . D ^ Ỵ'. Chứng minh rănu:
a) A cz ỉỉ=> f \ A ) C f ( B ) .
Tim vi dụ chứng lo f (Ả)cz f ( B ) nlurng Aa. B . h) f ( A r \ B)(Z. f ( A ) r \ f ( B ) .
Tìni \ i d ụ c h ứ n ẹ i o / ( /1 ) 0 f \ B ) ( Z f ( A r \ B ) . c) B ) ^ í\ A )kj f ( B ) .
d) / V ' n D ) - / ' ( C ) n / ' ( D ) .
e) , r ' ( C u D ) = / ' ( C ) u , r ' ( D ) . 0 / ' ( ( ’ ' D ) ^ f - \ C ý f '(D ).
Nêu / dơn ánh thì;
g) / ( . 4 ) c / (/?)=> A clD.
h) f ( A r ^ B ) = f ( A ) n f ( B ) .
1.16. Ký hiệu h = ÌỊO f là hợp cua hai ánh xạ /': A' -> K. í í : K -> z . Chứng minh:
a) f . ị ĩ dơn ánh ihi // đcrn ánh.
b ) f . g t o à n á n h thì h to à n án h .
c) h loàn ánh ihi ẹ toàn ánh.
d) h dưn ánh thi / đcrn ánh.
e) h dan ánh \ à f loàn ánh Ihi ẹ dem ánh.
0 // toàn ánh \ à ^ đưn ánh thì f toàn ánh.
1.17. Vứi mồi bốn so nmivên a.h.c.ci e 2 sao cho aii - h c = \ .
( 'ỉnarm^ I : Mo' lIúii Ví' loịỊÌc mệnh cíâ. lập hợp... 65
66 (. iiáo n inh Dại \o 'ĩa xét ánli \ ạ / ; 2 ' —> 2 ' xác dinh btĩi:
/ ( ,v. r ) = {ơx + hv. cx + íỉy).
Cìọi là tập h ợ p c ác á n h xạ n h ư trC'n. C hírnu mi nh:
a) Với mọi / e thi / là sotm ánh \ à / ' e b) Nếu / . t,’ e ihi / o íi e - 'ĩ ■
Nói cách khác tập •'/ với luật hcTp thành là hợp hai ánh xạ là mộl nhóm không giao hoán.
I . I8 *. Cho ba tập hợp khác trốns E . F . G .
a) Cho hai ánh \ ạ f : E F \ à g : E .
Chứng minh rang tồn lại ánh xạ h : F - > C sao cho h ° f = ^
k h i v à c h i k h i vói m ọi . v . . y ' € E: f ( x ) - / ' ( . v ' ) = > .t í( .v ) = , í í ( . v ' ) .
b) Cho hai ánh \ ạ g : E - * G và h \ F - ^ G .
Chứng minh răng tồn tại ánh xạ f . E F sao cho h ° f - ịr khi và chi khi v ớ i m ọi .Y e E 3 y G F \ g { x ) = h ( y ) .
1.19. Cho X cỏ / 7 phần tư . Chứng minh ‘f ( X ) cỏ 2" phần tư.
1.20. Cho hai phép thế cua tập [l. 2.3.4* :
‘ l 2 3 41 ' 1 2 3 4 '
ơ = • 1-1 =
3 4 1 2 4 2 1 3
Tìm a o ụ . Ị,ioa. a ị. 1 '
1.21. Cho / 7 đièm khác nhau irong mật phării’:
a) Tính số các đoạn thăng nối lừng cặp diC' 1 1 1 khác nhau.
b) Tính số các véc tơ ^ 0 có các điềm dầu. điêin cuối từ n đièm này.
1.22. Tim số hạng lớn nhất trong khai íricn cùa nhị thửc (37 19)'^*.
tì 1.23*. Với hai số tự nhiên n .p e \t\. ký hiệu s^,(n)= ^ k ' ' .
k ()
( 'hưoiìịỊ I : Mo dủii vê loỊịic mỌnlĩ ílc. tậ p hợp... 67
/ > * l
a) Chứng minh I( ^ 7 + 1) = ^ ịS/^ ụi ).
k :(>
b) Suy ra (/; + !)''"' = k 0
n n n
c) Suy ra các tône .
k \ Ắ I k - \
1.24. Chứng minh ràng
% = I ;IR—>IR / (.y) = o x + h ' . ớ./) GlR,ữ ^ oỊ
với phép hcTp ánh xạ o là một nhóm. Nhóm này có giao hoán không?
1.25. Lũy thừa cua phần tứ a cua nhóm G với phép nhân được định nghĩa như sau:
a" = l . V / ; € N .
Chứng minh ràng với mọi m .n .k e 2 :
m n _ Ị III _ Iiiit í III* Ii\^ _ kiii^kii a a = a . 1ô 1 = ớ/ . lữ ) “ ^
1.26. Cho nhóm G với phép nhân thóa măn điều kiện (íìbỶ =a~b~
với mọi a . h e G . Chứng minh G là nhóm Abel.
68 (jiá<) irình Dại sô 1.27. Cho (G.*) là một nhóm, gia sư ơ là mộl lộp hữu hạn có số
phần lư chần. t)ặl .S" = I .V G (J = t-.A' I . Chứng minh rằng
- 1
quan hệ xác dịnh trong 6 ’ bơi:
V' o V’ = -Y hoặc V = -V
là một quan hệ tương đương. Suv ra s có số phần Iir le.
1.28. Cho G. ơ ' là hai nhỏm lần lượi có phần lư irung hoà là e và e ' . f : G ^ G ' là một dône cấu nhóm. C'hứníỉ minh: f ( e ) - e ' .
1.29. Cho ơ . G' là hai nhóm lần lưm có phần tư trung hoà là e và e ' . f :G ^ G ' là một đồng cấu nhóm. Ta dịnh nghĩa và kí hiệu hạl nhân cúa đồng cấu nhóm f là Ker/ = / " ' ( í ’'). Chứng minh ràng / là đơn cấu khi và chi khi Ker / = [e Ị .
1.30. Cho (/Í.+. - ) là một vành, rập con c = Ị.v 6 -4| Ví/ € /1; ax = xíỉỊ được gọi là tâm cua A . Gia sir V.v e A .x ' - X G c .
a) Chứng minh ràng (C. + ) là một nhóm con cua nhóm (/Í. + ).
b) C h ứ n g m inh rằng xv + VA' 6 ( ' với m ọi ,Y. y A . c) Suy ra vành A giao hoán.
1.31. Cho A là một vành có đơn vị.
a) Chứng minh ràng, nếu -V. V thoa mãn .vv = .ì’.v thi ta có nhị thức Ne\vton
(•v + .v) >
krịì
trong đó A' " = 1. -V* là tích k lần cúa phần tư -V.