4. 100 CÂU TRẮC NGHIỆM ĐẠI SỐ TỔNG HỢP
C. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
1. BÀI TẬP TỔNG ÔN
BÀI 1. Cho4ABC cân tạiA, cóADlà đường trung tuyến của4ABC.
1. Chứng minhBD=DC.
2. GọiGlà trọng tâm của4ABC. Chứng minh ba điểmA,D,Gthẳng hàng.
3. TínhDG, biếtAB= 13cm; BC= 10cm.
4. Trên tia đối của tiaDAlấy điểmF sao choDF =DA, chứng minhCF > BD.
Lời giải.
B D C
G
F A
1. Chứng minhBD=DC.
VìADlà đường trung tuyến của4ABC nênD là trung điểm củaBC⇒DB=DC.
2. Gọi Glà trọng tâm của 4ABC. Chứng minh ba điểm A,D, Gthẳng hàng.
Vì Glà trọng tâm của4ABC vàADlà đường trung tuyến của 4ABC nên Gnằm trên đường trung tuyếnAD, suy raA,D,Gthẳng hàng.
3. Tính DG, biết AB= 13cm; BC= 10cm.
Ta có
®4ABC cân tạiA
ADlà đường trung tuyến của4ABC
⇒ADlà đường cao của 4ABC nênAD⊥BC.
Xét tam giácABDvuông tạiD, ta có
AB2=AD2+BD2⇔AD2=AB2−BD2
= 132−52= 144.
⇒AD= 12.
Áp dụng tính chất trọng tam tam giác, ta cóDG=1
3AD= 1
3 ã12 = 4.
4. Trên tia đối của tia DA lấy điểmF sao choDF =DA, chứng minhCF > BD.
Ta có
®CF > DC(vì4F CDvuông tạiDnên CF là cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuôngCD) CD=BD
⇒CF > BD
BÀI 2. Cho điểm Anằm ngoài đường thẳng acho trước. GọiI là một điểm trên đường thẳng asao cho AI là đoạn nhỏ nhất trong các đoạn nối điểmA với một điểm của đường thẳnga. Trên alấy hai điểmB vàC sao cho I là trung điểm của đoạnBC vàBC=AI.
1. Chứng minh rằng4ABC cân.
2. GọiBxlà tia phân giác của góc ABC. Chứng minh rằng tia’ Bxkhông vuông góc với đường thẳngAC.
Lời giải.
N h´om
B I C a
A
x
1. Chứng minh rằng4ABC cân.
Ta cóIB=IC nênAI là đường trung tuyến của4ABC. (1)
Mà AI là đoạn nhỏ nhất trong các đoạn nối điểm A với một điểm của đường thẳng anên IA ⊥a, suy ra AI là
đường cao của4ABC. (2)
Từ (1) và (2) suy ra4ABC cân tạiA. (3)
2. GọiBx là tia phân giác của gócABC. Chứng minh rằng tia’ Bx6⊥AC.
Giả sửBx⊥AC vàBxcắtAC tạiJ, suy ra4BJ C vuông tạiJ.
Ta cóBxvừa là đường phân giác, vừa là đường cao của4ABC, suy ra,4ABC cân tạiB. (4) Từ (3) và (4) suy ra4ABC là tam giác đều.
Suy raAI=BJ⇒BC=BJ (điều này vô lý vì cạnh huyềnBC bằng cạnh góc vuôngBJ).
VậyBx6⊥AC.
BÀI 3. Cho góc vuôngxOy, điểm‘ A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy. Đường trung trực của đoạn thẳngOAcắt OxởD, đường trung trực của đoạn thẳngOBcắtOyởE. GọiClà giao điểm của hai đường trung trực đó. Chứng minh rằng
1. CE=OD.
2. CE⊥CD.
3. CA=CB.
4. CA∥DE.
5. Ba điểmA,B,C thẳng hàng.
Lời giải.
y B
E
A x D
O
C
1. CE=OD.
Ta có
®CD⊥OA
OB⊥OA ⇒CD∥OB⇒DCO’ =EOC’ (hai góc so le trong).
Lại có
®EC⊥OB
OD⊥OB ⇒EC∥OA⇒ECO’ =COD’ (hai góc so le trong).
Xét hai tam giácEOC vàDCOta có
DCO’ =EOC’ OC là cạnh chung ECO’=COD’
⇒ 4EOC =4DCO(góc - cạnh - góc).
Suy raCE=DO.
N h´om LATEX
2. CE⊥CD.
Ta có4EOC=4DCO nên
®EC=OD EO=CD.
Xét hai tam giácEOD vàDCE, ta có
EC=OD EO=CD ED cạnh chung
⇒ 4EOD=4DCE(cạnh - cạnh - cạnh).
Mà4EODvuông tạiO nên4DCE vuông tạiC⇒CE⊥CD.
3. CA=CB.
Xét hai tam giác vuông BECvàCDA, ta có
®BE=EO=CD
EC=OD=AD ⇒ 4BEC=4CDA(cạnh - cạnh).
⇒BC=AC.
4. CA∥DE.
Xét hai tam giác vuông ECDvàADC, ta có
®CDcạnh chung
EC=OD=DA ⇒ 4ECD=4ADC (cạnh - cạnh).
⇒ACD’ =EDC’ ⇒ED∥AC (hai góc so le trong bằng nhau).
5. Ba điểm A,B, C thẳng hàng.
Xét hai tam giác vuông BECvàDCE, ta có
®EC cạnh chung
CD=EO=BE ⇒ 4BEC=4DCE (cạnh - cạnh).
⇒BCE’ =DEC’ ⇒BC∥ED (hai góc so le trong bằng nhau).
Do đó
®AC∥ED
ED∥BC ⇒A, C, B thẳng hàng.
BÀI 4. Cho4ABCcó trung tuyếnAM; các điểmE,Dthuộc các cạnhAB,AC sao choAE= 1
3ABvàAD= 1 3AC.
Chứng minh rằngAM,BDvàCE đồng quy.
Lời giải.
A B
C
D I
E F
M
Xét tam giácBCDcó
®I là trung điểmCD
M là trung điểmBC ⇒IM là đường trung bình của tam giácBCD⇒IM ∥BD.
Xét tam giácIAM có
®IM ∥BD
D là trung điểmIA.
⇒BD là đường trung bình của tam giácIAM ⇒BD đi qua trung điểm củaAM. (1)
Chứng minh tương tự, ta cóCE đi qua trung điểmAM. (2)
Từ (1) và (2) suy raCE, AM,BD đồng quy (cùng đi qua trung điểmAM).
BÀI 5. GọiAMlà trung tuyến của4ABC,A0M0là đường trung tuyến của4A0B0C0. BiếtAM=A0M0;AB=A0B0; BC=B0C0. Chứng minh rằng4ABC và4A0B0C0 bằng nhau.
Lời giải.
B B0
A A0
C C0
M M0
N h´om
Ta cóM là trung điểm củaBC nênBM= 1 2BC.
M0 là trung điểm củaB0C0 nênB0M0= 1 2B0C0. màBC=B0C0 (gt) suy ra BM=B0M0. Xét4ABM và4A0B0M0 có
AB=A0B0 (gt) AM=A0M0 (gt)
BM=B0M0 (chứng minh trên)
⇒ 4ABM=4A0B0M0 (c.c.c)
⇒÷ABM=ÿA0B0M0 (hai góc tương ứng) hayABC’=A◊0B0C0. Xét4ABC và4A0B0C0 có
AB=A0B0 (gt) BC=B0C0 (gt)
ABC’ =A◊0B0C0 (chứng minh trên)
⇒ 4ABC=4A0B0C0 (c.g.c).
BÀI 6. Cho4ABC (Ab= 90◦) có trung tuyếnAM, trên tia đối của tiaM Alấy điểmDsao choM D=M A.
1. Tính số đoABD.’
2. Chứng minh4ABC =4BAD.
3. So sánhAM vàBC.
Lời giải.
1. Tính số đoABD.’
Xét4AM C và4DM B có M C=M B (gt)
M A=M D (gt)
÷CM A=BM D÷ (đối đỉnh)
⇒ 4AM C=4DM B (c.g.c)
⇒ACB’=CBD’ (hai góc tương ứng).
Mà4ABC vuông tạiAnên ACB’+CBA’= 90◦
⇒CBD’+CBA’= 90◦⇒ABD’ = 90◦. 2. Chứng minh4ABC =4BAD.
Xét4ABC và4BADcó ABlà cạnh chung
AC=AD(vì4AM C=4DM B) BAC’=ABD’ = 90◦
⇒ 4ABC=4BAD(c.g.c).
D
B A
C
M
3. So sánh AM và BC.
Ta có4ABC=4BAD(theo câu b) suy raBC=AD(hai cạnh tương ứng).
màAM= 1
2AD(gt) nênAM =1 2BC.
BÀI 7. Cho4ABC cóAB < AC;BM vàCN là hai đường trung tuyến của4ABC. Chứng minh rằngCN > BM. Lời giải.
N h´om LATEX
C M
B N
A
Ta cóAC > AB⇒M C > N B⇒M C−N B >0.
Xét4BCN cóBC < CN+N B. (1)
Xét4BCM cóBC < BM+M C. (2)
Từ (1) và (2) suy ra0< CN+N B−BM−M C⇒CN−BM > M C−N B.
MàM C−N B >0nênN C−M B >0⇒N C > M B.
BÀI 8. Cho4ABC cóBM vàCN là hai đường trung tuyến vàCN > BM. Chứng minh rằngAB < AC.
Lời giải.
C M
B N
A
Ta cóCN > BM ⇒CN−BM >0.
Xét4BCM cóBM+M C > BC. (1)
Xét4BCN cóCN+N B > BC. (2)
Từ (1) và (2) suy raBM+M C−CN−N B >0⇒M C−N B > CN−BM.
MàCN−BM >0nênM C−N B >0⇒M C > N B⇒AC > AB.
BÀI 9. Cho4ABC kẻAxphân giácBAC, tại’ C kẻ đường thẳng song song với tiaAxcắt tia đối của tia ABtạiD.
Chứng minh’xAB=ACD’ =ADC.’ Lời giải.
N h´om
C A
B
x D
VìAxlà tia phân giácBAC’ nên’xAB=xAC. mà‘ Ax∥DC nên xAC‘ =ACD’ (so le trong).
⇒’xAB=ACD.’ (1)
Ax∥DC nên’xAB=ADC’ (đồng vị) (2)
Từ (1) và (2) suy ra ’xAB=ACD’ =ADC.’
BÀI 10. Cho4ABC, kẻ tia phân giácBxcủa gócB,Bxcắt tiaACtạiM. TừM kẻ đường thẳng song song vớiAB, nó cắtBC tạiN. TừN kẻ tiaN y∥Bx. Chứng minh
1. ’xBC=BM N÷.
2. TiaN y là tia phân giác của gócM N C÷. Lời giải.
C B
x
y A
M
N
1. ’xBC=BM N÷.
VìM N ∥ABnên’xBA=BM N÷. (so le trong) màBxlà tia phân giácABC’ suy ra ’xBA=’xBC
⇒’xBC =BM N÷.
2. Tia N y là tia phân giác của gócM N C÷.
VìN y∥BxnênBM N÷ =M N y’ (so le trong) và’xBC=yN C’(đồng vị).
Mà’xBC =BM N÷ (câu a).
⇒M N y’ =’yN C suy ra tiaN ylà tia phân giác của gócM N C÷.
N h´om LATEX
BÀI 11. Cho4ABC. GọiI là giao điểm của hai tia phân giác hai gócAbvàB. Qua“ I vẽ đường thẳng song song với BC cắtAB tạiM, cắtAC tại N. Chứng minh rằngM N =BM+CN.
Lời giải.
GT ∆ABC,Ac1=Ac2,Bc1=Bc2
M N//BC
KL M N =BM+CN.
VìI là giao điểm của hai phân giác nênCI cũng là phân giác của gócC. Suy ra“ Cc1=Cc2.
Xét∆CIN có
Cc1=Cc2 (cmt)
Cc1=CIN’(so le trong)
Suy raCc2=CIN’⇔∆CIN cân tạiN⇔IN =CN (hai cạnh bên). (1)
Tương tự,IM =BM. (2)
Từ (1) và (2), ta có:BM+CN=M I+IN =M N. A M B
I C
A0 N
1 2
21
2 1
BÀI 12. Cho4ABC (Ab= 90◦) các đường trung trực của các cạnh AB, AC cắt nhau tạiD. Chứng minh rằng D là trung điểm của cạnhBC.
Lời giải.
Vì ba đường trung trực của tam giác đồng quy nên D thuộc đường trung trực của cạnhBC.
Dễ dàng chứng minh đượcB, D, C thẳng hàng (Câu 2, trang 34).
Mặt khác đường trung trực của cạnhBC đi qua trung điểm củaBC nênD là trung điểm của cạnhBC.
B D C
A
E F
BÀI 13. Cho hai điểmA vàD nằm trên đường trung trực AI của đoạn thẳngBC. ĐiểmD nằm giữa hai điểm Avà I,Ilà điểm nằm trênBC. Chứng minh
1. 4ABD=4ACD.
2. ADlà tia phân giác của góc BAC.’ Lời giải.
1. Xét∆ABDvà∆ACD, có:
ADchung
AB=AC (A nằm trên đường trung trực củaBC).
DB=DC (Dnằm trên đường trung trực của BC).
Vậy∆ABD= ∆ACD (c.c.c).
2. Ta có∆ABD= ∆ACD (chứng minh trên) suy raDAB’ =DAC.’ Vậy,ADlà tia phân giác của gócBAC.’
B H C
A
D
BÀI 14. Hai điểm M và N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB, N là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Trên tia đối của tiaN M xác địnhM0 sao choN N0 =N M. 1. Chứng minhAB là đường trung trực của đoạn thẳngM M0. 2. Chứng minhM0A=M B=M0B =M A.
Lời giải.
N h´om
1. VìM vàN nằm trên đường trung trực củaABnênAB⊥M N ≡M M0.(1) Trên tia đối của tiaN M xác địnhM0 sao choN N0=N M nênN là trung
điểm củaM M0. (2)
Mặt khácABđi quaN (giả thiết). (3)
Từ (1), (2) và (3) suy raABlà đường trung trực của đoạn thẳngM M0. 2. Ta có:
M A=M B (M nằm trên trung trực của đoạn thẳngAB) M0A=M A(Anằm trên trung trực của đoạn thẳngM M0) M0B=M B (Anằm trên trung trực của đoạn thẳngM M0) Từ đó suy raM0A=M B=M0B=M A.
A B
M0 M
N
BÀI 15. Cho4ABC cóAB < AC. Xác định điểmD trên cạnhAC sao choDA+DB=AC.
Lời giải.
Phân tích.Giả sử đã xác định được điểmDthỏa mãn DA+DB=AC.
VìD trên cạnhAC nênDA+DC=AC.
Từ đó suy raDB=DC, tức là ∆DBC cân tạiD.
Suy raDBC’ =DCB.’
Hạ đường caoDH thì DH là đường trung trực củaBC.
Cách dựng.GọiH là trung điểm củaBC, dựng tiaHx⊥BC. TiaHxcắt AC tạiD thìD là điểm cần tìm.
Chứng minh.Vì Dnằm trên đường trung trực của BCnên DB=DC. SuyDA+DB=DA+DC=AC.
Biện luận.VìAB < AC nên bài toán có đúng một nghiệm hình.
B H C
A
x
D
BÀI 16. 1. GọiAH vàBK là các đường cao của4ABC. Chứng minh rằngCBK’ =CAH’.
2. Cho tam giác cânABC (AB=AC),AH vàBKlà các đường cao. Chứng minh rằng CBK’ =BAH.’ Lời giải.
1. Ta cóCBK’ +ACB’= 900. Mặt khác,CAH’+ACB’= 900. Từ đó suy raCBK’ =CAH.’
2. Ta cóCBK’ =CAH’ (chứng minh trên).
Mặt khác, AB = AC nên AH là đường phân giác của góc A. Suy ra BAH’ =CAH.’
Từ đó ta có:CBK’ =BAH.’ B H C
A K
BÀI 17. Hai đường caoAH vàBK của4ABC nhọn cắt nhau tạiD.
1. TínhHDK÷ khiC“= 50◦.
2. Chứng minh rằng nếuDA=DB thì 4ABC là tam giác cân.
Lời giải.
N h´om LATEX
1. Nối C với D. Xét4KDC và4HBC có:
K“+÷KCD+÷KDC+H“+HCD’ +HDC’ = 3600.
⇒900+ 900+ 500+HDK÷= 3600⇒HDK÷ = 3600−2300= 1300. VậyHDK÷= 1300
2. Nếu DA=DB vàADK’ =÷BDH(đối đỉnh)
⇒ 4KDA=4HDB(cạnh huyền góc nhọn)
⇒KD=HD;DA=DB⇒KD+DB=HD+ADhayKB=HA.
Xét4AHCvà4BKC cóC“chung vàKB=HA.
⇒ 4AHC=4BKC(cạnh góc vuông, góc nhọn).
⇒AB=AC, hay 4ABC cân tại C.
A B
C
H K
D
BÀI 18. Cho4ABC cân tạiAphân giácAM. Kẻ đường caoBN cắtAM tạiH.
1. Khẳng địnhCH ⊥ABlà đúng hay sai?
2. Tính số đo các gócBHM÷ vàM HN÷ biếtC“= 39◦. Lời giải.
1. Khẳng địnhCH⊥AB là đúng vì 3 đường cao cắt nhau tại một điểm.
Do4ABC cân nênCH⊥CB
2. Tính số đoBHM÷ doC“= 390; Xét4N BC có:CBN’ = 900−390= 510. Xét4M BH có:M HB÷ = 900−M BH÷ = 900−510= 390
O A
B
C M
N H
BÀI 19. Cho gócxOy‘ = 60◦, điểmAnằm trong gócxOy‘ vẽ điểmBsao choOxlà đường trung trực củaAB, vẽ điểm C sao choOy là đường trung trực củaAC.
1. Khẳng địnhOB=OC là đúng hay sai?
2. Tính số đo gócBOC.’ Lời giải.
1. Khẳng địnhOB=OC là đúng vì:
theo tính chất đường trung trực ta có:
OB=OA;OA=OC⇒OB=OC 2. Theo GTxOy‘ = 600
Do điểm O nằm trên đường trung trực của: AB; AC nên:
’BOy=AOy;‘ ’AOx=’COx
Ta có:BOC’ =’BOy+AOy‘ +’AOx+’COx= 2xOy‘ = 1200.
VậyxOy‘= 1200. O
x y
B A
C 60
◦
BÀI 20. Chứng minh rằng trong một tam giác trung tuyến ứng với cạnh lớn hơn thì nhỏ hơn trung tuyến ứng với cạnh nhỏ.
Lời giải.
1. Giải sửAC < BC.
Xét4ACK và4BCKcó: AK=KB (theo gt) AC < BC nênK1“ <K2“ (theo định lý hai tam giác có 2 cặp cạnh bằng nhau).
Xét4AGKvà4BGKcó: AK =BK (trung tuyến) màK1“ <K2“ ⇒AG < BG.
Hay 2
3AL < 2
3BH⇔AL < BH(đpcm)
A B
C
L H
K G
1 2
BÀI 21. Cho4ABC vuông cân tại A. Trên cùng một nửa mặt phẳng chứa điểmA, bờ làBC vẽ các tia BxvàCy cùng vuông góc vớiBC. LấyM thuộc cạnhBC (M khác A vàB); đường thẳng vuông góc với AM tại A cắtBx, Cy lần lượt tạiH vàK.
N h´om
1. Chứng minhBM =CK.
2. Chứng minhAlà trung điểm của HK.
3. GọiP là giao điểm củaABvàM H, Qlà giao điểm củaAC vàM K. Chứng minhP Q song song vớiBC.
Lời giải.
1. Xét4AKCvà4AM B có:
AC = AB(gt)KAC’ =M AB÷ (cùng phụ÷M AC).
Mặt khác KCA’ = M BA÷ (cùng phụ ACB) và AC =’ AC(gt).
Suy ra 4AKC = 4AM B (g.c.g) ⇒ KC = BM (đpcm)
2. Xét4AM C và4AHB có:
AB = AC(gt)÷M AC=HAB’ (cùng phụ÷M AB).
÷M CA=HBA’ (cùng phụABC)’
⇒ 4AM C=4AHB(g.c.g);AM=HA(1).
Theo câu a) ta có: AK=AM (2).
Từ (1) và (2)⇒ KA =HA hay A là trung điểm của HK. (đpcm)
3. Xét4AM Qvà4AHP có:
AM = AH (câu b) ÷M AC = HAB’ (cùng phụ M AB)÷
÷QM A=P HA’ = 450.
Suy ra4AM Q=4AHP, hay4AP Qcân tại A.
Suy raAP Q’=ABC’= 450. Nên PQ//BC.(đpcm)
A B
C
M
x y
K
H P Q
BÀI 22. Cho4ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Vẽ về phía ngoài4ABC các tam giác đềuABDvàACE. GọiI là giao củaCD vàBE, Klà giao củaABvàDC.
1. Chứng minh rằng4ADC=4ABE.
2. Chứng minh rằngDIB’= 60◦.
3. GọiM vàN lần lượt là trung điểm củaCD vàBE. Chứng minh rằng4AM N đều.
4. Chứng minh rằngIAlà phân giác của gócDIE.’
Lời giải.
N h´om LATEX
1. Xét4ADC và4ABE có: AD = AB; AE = AC (gt) Hơn nữa 4ACE;4ABD đều; và EAB’ = DAC’ vì cùng bằng600+BAC.’
Vậy4ADC=4ABE (c.g.c) 2. Theo câu a ta có:ADC’ =ABE.’
Xét4BDI có:’DBI+’DIB+’BDI= 1800. HayDBM÷+IBM’+’DIB+’BDI= 1800. Suy ra1200+DIB’= 1800⇒DIB’= 600(đpcm) 3. Theo câu a) ta có: EB=CD hay EB
2 = CD 2 . Suy raN B=M D.
Xét4AM D4AN B có:
NB = MD và AB = AD;ABN’ =ADM÷(theo câu a).
Vậy4AM D=4AN B (c.g.c)⇒AN =AM(1).
⇒ N AB’ =M AD÷ ⇒ N AB’ +÷M AB = ÷M AD+M AB÷ = N AM÷= 600(2).
Từ (1) và (2). Suy ra4AM N đều.(đpcm) 4. Vẽ ra phía ngoài4ABC thêm 4F BC đều.
Giả sử EB cắt AF tại I, ta chứng minh A, I, F thẳng hàng.
Thật vậy ta có:4EBC=4F AC vì CE = CA.
ECA’+BCA’=ACB’+F CACF’ =CB.
NênBEC’ =CAF’ ⇒ECA’ =EIA‘ = 600. VậyEIC‘ =EIA‘ =F IC‘ = 600⇒F IA‘ = 1800. Hay ba điểm A,I,F thẳng hàng; EB,CD,AF đồng quy.
Suy ra EIA‘ = ’AID = 600 hay IA là tia phân giác của DIE.(đpcm)’
C
B
A D
E
F I N M
BÀI 23. ChoxAy‘= 60◦có tia phân giácAz. Từ điểmB trênAxkẻBHvuông góc vớiAytạiH, ketBKvuông góc vớiAz vàBt song song vớiAy, BtcắtAz tạiC. TừC kẻCM vuông góc vớiAytại M. Chứng minh:
a. K là trung điểm củaAC.
b. 4KM C là tam giác đều.
c. ChoBK= 2cm. Tính các cạnh4AKM
Lời giải.
N h´om
a. Ta có:BAC’=M AC÷= xAy‘ 2 = 60◦
2 = 30◦ Ta lại có:BCA’=÷M AC(so le trong)
⇒BAC’=BCA’
Xét4AKB vuông tạiKcó: ABK’ +BAK’ = 90◦ Xét4CKBvuông tạiK có:CBK’ +BCK’ = 90◦
⇒ABK’ =CBK’
Xét4AKB vuông tạiKvà4CKB vuông tạiKcó:
BK chung
ABK’ =CBK’ (chứng minh trên)
⇒ 4AKB=4CKB(cạnh góc vuông- góc nhọn kề)
⇒AK=KC (hai cạnh tương ứng) Ta lại cóKnằm giữaAvàC VậyK là trung điểm củaAC b. Xét4AHB vuông tạiH có:
ABH’+BAH’ = 90◦⇒ABH’ = 30◦
⇒AHB’ =BAK’
Xét4BAH vuông tạiH và4ABK vuông tạiK có:ABchung ABH’ =BAK’ = 30◦
⇒ 4BAH=4ABK (cạnh huyền-góc nhọn)
⇒BH=AK (hai cạnh tương ứng) Ta lại có :BH⊥Ay(gt)
CM ⊥Ay(gt)
⇒BH∥CM Ta lại có:BC∥HM(gt) BH=CM(Tính chất đoạn chắn)
⇒ 4KM C cân tạiC(1)
Xét4ACM vuông tạiM có:÷CAM+ACM÷= 90◦
⇒÷ACM = 60◦ (2)
Từ (1) và(2)⇒ 4KM C đều.
c. Xét4BKAvuông tạiKcóBAK’ = 30◦
⇒BK= 1
2BA⇒BA= 2Bk= 4
Áp dụng định lý Pytago cho4BKAvuông tạiK AB2=BK2+AK2⇒AK2= 42−22= 12⇒AK=√
12 Áp dụng định lý Pytago cho4AHB vuông tạiH
AB2=AH2+HB2⇒AH2= 4⇒AH= 2 Ta có4AKB=4CKB(câu a)
⇒AB=BC= 4(2 cạnh tương ứng) Ta lại có:BC∥HM(gt)
BH∥CM (câu b)
⇒BC=HM = 4(tính chất đoan chắn) Lại cóAH+HM =AM⇒AM = 6 AK=KM = 2√
3cm.
A H
M
K
C
B x
z t y
BÀI 24. Cho4ABC,(AB6=AC). Đường trung trực của đoạnBC tại H cắt tia phân giác Axcủa gócAtại K. Kẻ KE, KF theo thứ tự vuông góc vớiAB, AC.
a. Chứng minhBE=CF.
b. NốiEF cắtBC tạiM. Chứng minh rằngM là trung điểm củaBC.
Lời giải.
N h´om LATEX
a. Xét4KAE vuông tạiE và4KAF vuông tạiF có:
EAK’ =F AK(Ax’ là tia phân giác) AK là cạnh chung
⇒ 4KAE=4KAF(cạnh huyền-góc nhọn)
⇒OE=OF vàAE=AF
Xét4BHK vuông tạiH và4CHK vuông tạiH có:
BH=HC(KH là trung trựcBC) KH là cạnh chung
⇒ 4BHK=4CHK(2 cạnh góc vuông)
⇒KB=KC(2 cạnh tương ứng) Xét4BKE và4CKF có:
BEK’ =CF K’ = 90◦ KB=KC
KE=KF
⇒ 4BOE=4COF(cạnh huyền- cạnh góc vuông)
⇒BE=CF
b. KẻBD∥AC (D∈EF)
⇒BDM÷=M F C,÷ M BD÷ =M CF÷ (so le trong) Vì4AEF cân tạiA
⇒ (
BDE’ =AF E’ BED’ =AF E’
⇒BDE’ =BED’
⇒ 4BEDcân ⇒BE=BD=CF
Xét4M BDvà4M CF ta có:M BD÷ =÷M CF BD=CF
BDM÷=CF M÷
⇒ 4M BD=4M CF (c-g-c)
⇒M B =M C
⇒M là trung điểm của BC.
A
H
F
E
B C
K
BÀI 25. Cho4ABC cân tạiA. Trên cạnh BC lần lượt lấy hai điểmM vàN sao cho BM =M N =N C. GọiH là trung điểm củaBC.
a. Chứng minhAM =AN vàAH⊥BC.
b. Tính độ dài đoạn thẳngAM khi AB= 5cm,BC= 6cm.
c. Chứng minhM AN >÷ BAM÷=CAN.’
Lời giải.