Cho a1; : : : ; aq 2 R vợi aq 6= 0 v cho ("t)t2Z l ỗn tr›ng. QuĂ tr…nh Yt = "t + a1"t 1 + : : : + aq"t q
33
ữổc gồi l trung b…nh trữổt b“c q, k‰ hiằu l M A (q). °t a0 = 1 p dửng ành lỵ 2.1.6 v 2.1.7 suy ra trung b…nh trữổt Yt = q
quĂ tr…nh dłng vợi h m sinh hiằp phữỡng sai
trong õ 2 = Var ("0). CĂc hằ sŁ trong khai tri”n trản cho bi‚t h m tỹ hiằp phữỡng sai (v) = Cov (Y0; Yv) ; v 2 Z l
°t = E ("0) v
BŒ • 2.2.1 GiÊ sò
uP
(i) E (Yt) =
(ii) (v) = Cov (Yv; Y0) =
( v) = (v),
q (iii) Var (Y0) = (0) = 2P
a2w,
(v)
(iv) (v) =
(0)
>
>>
: ( v) = (v).
34
V‰ dử 2.2.2 QuĂ tr…nh - M A (1) Yt t÷ìng quan
a
V… 1 + a2
1 + vợi tham sŁ a v M A (1) tuý þ v r (1) (cĂi vữổt quĂ
liằu cho trữợc l
2.2.1 Qu¡ tr…nh kh£ nghàch
V‰ dử 2.2.2 ch¿ ra mºt quĂ tr…nh - M A (q) khổng xĂc ành duy nhĐt bði
h m tỹ tữỡng quan cıa nõ. ” cõ mŁi quan hằ duy nhĐt giœa quĂ tr…nh trung b…nh trữổt v h m tỹ tữỡng quan cıa chúng, Box v Jenkins  giợi thiằu i•u kiằn cıa khÊ nghàch. Chúng thữớng hœu dửng trong phữỡng phĂp
ữợc lữổng v… cĂc hằ sŁ cıa quĂ tr…nh - M A (q) s‡ ữổc ữợc lữổng sau õ b‹ng h m tỹ tữỡng quan thỹc nghiằm (xem mửc 2.3).
q
Qu¡ tr…nh - M A (q) Yt = au"t u
=0 uP
tr…nh khÊ nghàch n‚u tĐt cÊ q nghiằm z1; : : : ; zq 2 C cıa A (z) =
ð bản ngo i vặng trặn ỡn và, tức l
ành lỵ 2.1.11 v bi”u di„n (2.1) suy ra quĂ tr…nh ỗn tr›ng ("t) liản quan q
‚n qu¡ tr…nh - M A (q) kh£ nghàch Yt =
u=0
v
trung b…nh cıa bº lồc khÊ tŒng tuyằt ŁiP
X
"t = buYt u; t 2 Z;
u 0
vợi xĂc suĐt 1. °c biằt, quĂ tr…nh - M A (1) Yt = "t a"t 1 l khÊ nghàch khi v ch¿ khi jaj < 1 v trong trữớng hổp n y ta cõ bŒ • 2.1.10 vợi xĂc
35
su§t 1
X
"t = auYt u; t 2 Z:
u 0
2.2.2 QuĂ tr…nh tỹ hỗi quy
Mºt quĂ tr…nh ngÔu nhiản nh“n giĂ trà thỹc ữổc gồi l quĂ tr…nh tỹ hỗi quy cĐp p, k‰ hiằu AR (p), n‚u tỗn t⁄i a1; : : : ; ap 2 R vợi ap 6= 0 v mºt ỗn tr›ng ("t) sao cho
Yt = a1Yt 1 + : : : + apYt p + "t; t 2 Z:
Do õ, giĂ trà cıa quĂ tr…nh - AR (p) t⁄i thới i”m t bà hỗi quy v• ch‰nh giĂ trà cıa p trong quĂ khứ cºng thảm sŁc ngÔu nhiản.
2.2.3 i•u kiằn dłng cıa quĂ tr…nh tỹ hỗi quy
Trong khi theo ành lþ 2.1.6 qu¡ tr…nh - M A (q) l tü ºng dłng th… qu¡
tr…nh - AR (p) khổng nhữ th‚. K‚t quÊ sau cho ta mºt i•u kiằn ı v• cĂc h‹ng sŁ a1; : : : ; ap ” suy ra sỹ tỗn t⁄i cıa nghiằm dłng xĂc ành duy nhĐt (Yt) cıa (2.3).
ành lỵ 2.2.3 Phữỡng tr…nh - AR (p) (2:3) vợi cĂc h‹ng sŁ cho trữợc a1; : : : ; ap v ỗn tr›ng ("t)t2Z cõ mºt nghiằm dłng (Yt)t2Z n‚u tĐt cÊ p
nghiằm cıa phữỡng tr…nh 1a1z a2z2 : : : apzp = 0 ð ngo i vặng trặn ỡn và. Trong trữớng hổp n y, nghiằm dłng xĂc ành duy nhĐt hƒu ch›c
ch›n bði Yt =
u 0
P
ngữổc khÊ tŒng tuyằt Łi cıa c0 = 1; cu = au; u trong cĂc trữớng hổp cặn l⁄i.
Chứng minh. Sỹ tỗn t⁄i cıa bº lồc nguyản nhƠn khÊ tŒng tuyằt Łi sau
¥y xu§t ph¡t tł ành lþ 2.1.11. Sü dłng cıa Yt = ành lþ 2.1.6 v t‰nh duy nh§t l do
"t = Yt a1Yt 1 v ph÷ìng tr…nh (2.1).
i•u kiằn ” tĐt cÊ cĂc nghiằm cıa phữỡng tr…nh °c trững cıa quĂ tr…nh
36
ữổc • c“p sau Ơy ữổc xem nhữ l i•u kiằn dłng cıa quĂ tr…nh - AR (p).
QuĂ tr…nh - AR (p) thoÊ mÂn i•u kiằn dłng cõ th” ữổc th” hiằn nhữ
qu¡ tr…nh - M A (1).
Chú ỵ r‹ng nghiằm dłng (Yt) cıa (2.1) tỗn t⁄i (nõi chung) n‚u khổng nghiằm zi n o cıa phữỡng tr…nh °c trững n‹m trản m°t cƒu ỡn và. N‚u cõ nghiằm trong vặng trặn ỡn và th… nghiằm dłng khổng l nguyản nhƠn tức l Yt tữỡng quan vợi giĂ trà tữỡng lai cıa "s; s > t. i•u n y thữớng ữổc coi nhữ khổng tỹ nhiản.
V‰ dử 2.2.4 QuĂ tr…nh - AR (1) Yt = aYt 1 + "t; t 2 Z vợi a 6= 0 cõ phữỡng tr…nh °c trững 1 a z = 0 vợi nghiằm z1 = a 1
. Do â qu¡ tr…nh (Yt) thoÊ mÂn i•u kiằn dłng n‚u v ch¿ n‚u jz1j > 1 tức l n‚u v ch¿ n‚u jaj <
1. Trong trữớng hổp n y, ta thu ữổc tł bŒ • 2.1.10, bº lồc ngữổc nguyản nhƠn khÊ tŒng tuyằt Łi cıa a0 = 1; a1 = a v au = 0 trong cĂc trữớng hổp cặn l⁄i ữổc cho bði bu = au; u 0 v do õ, vợi xĂc suĐt 1
X X
Yt = bu"t u = au"t u:
u 0 u 0
K‰ hiằu 2 l phữỡng sai cıa "0. Tł ành lỵ 2.1.6 ta thu ữổc h m tỹ hiằp ph÷ìng sai cıa (Yt)
X X
(s) =bubwCov ("0; "s+w u)
u w
X
= bubu sCov ("0; "0) u 0
= 2as
v ( s) = (s). °c biằt, ta thu ữổc (0) = tữỡng quan cıa (Yt) ữổc cho bði
H m tü t÷ìng quan cıa qu¡ tr…nh - AR (1) Yt
giÊm theo tŁc º h m mụ. DĐu cıa nõ ữổc xen k‡ n‚u a 2 (
37
2.2.4 Ph÷ìng tr…nh Yule - Walker
CĂc phữỡng tr…nh Yule Walker dÔn ‚n viằc t‰nh toĂn ằ quy cıa h m tỹ tữỡng quan cıa mºt quĂ tr…nh AR (p) thoÊ mÂn i•u kiằn dłng (2.4).
BŒ • 2.2.5 Cho Yt =
kiằn dłng (2 4). H m tỹ
quy
ữổc bi‚t ‚n nhữ l phữỡng tr…nh Yule Walker.
Chứng minh. °t = E (Y0) v
uP
Ta câ Yt = auYt u + "t; t 2 Z:
LĐy ký vồng hai v‚ ta ữổc = K‚t hổp hai phữỡng tr…nh trản taP
NhƠn phữỡng tr…nh (2.6) vợi Yt (s) = E ((Yt
= X
auE ((Yt u
=
u=1
trong õ l h m tỹ hiằp phữỡng sai cıa (Yt).
Phữỡng tr…nh cuŁi cũng l do Yt s v "t khổng tữỡng quan vợi s > 0. Ơy l hằ quÊ cıa ành lỵ 2.2.3, hƒu ch›c ch›n r‹ng Yt s =
(bu) l bº lồc nguyản nhƠn khÊ tŒng tuyằt Łi v do õ Cov (Yt
P bu Cov ("t s u; "t) = 0.
u 0
Chia cÊ 2 v‚ cıa phữỡng tr…nh trản cho (0) ta ữổc i•u phÊi chứng
38
minh.
V… ( s) = (s), phữỡng tr…nh (2.5) cõ th” ữổc bi”u di„n b‹ng
0 (3) 1
(1)
B (2)... C
B (p) C
B C B
@ A
Phữỡng tr…nh ma tr“n thữớng dũng ” ữợc lữổng cĂc hằ sŁ a1; : : : ; ap b‹ng cĂch thay th‚ cĂc tỹ tữỡng quan (j) bði cĂc Łi tĂc thỹc nghiằm cıa chúng r (j) ; 1j p. Ph÷ìng tr…nh (2.7) sau â th÷íng câ d⁄ng r = Ra, trong â r =
(r (1) ; : : : ; r (p))T ; a = (a1; : : : ; ap)T v R =
1) 1 2) C :
A r (p 1) r (p 2) r (p 3) : : : 1
N‚u ma tr“n R c§p p p kh£ nghàch, ta câ th” vi‚t l⁄i ph÷ìng tr…nh r = Ra th nh R 1r = a, i•u n y l
cıa vectì a = (a1; : : : ; ap)T
2.2.5 Hằ sŁ tỹ tữỡng quan riảng
Ta thĐy r‹ng h m tỹ tữỡng quan (k) cıa quĂ tr…nh - M A (q) triằt tiảu vợi k > q, xem bŒ • 2.2.1. i•u n y khổng úng vợi quĂ tr…nh - AR (p) trong khi cĂc hằ sŁ tỹ tữỡng quan riảng l⁄i cõ chung t‰nh chĐt n y. Chú þ r‹ng ma tr“n t÷ìng quan
Pk = (Corr(Y
i; Y
j))
1 i;j k
0
=B
B
B (k
@
l nòa xĂc ành dữỡng vợi bĐt ký k 1. N‚u ta giÊ sò Pk xĂc ành dữỡng th…
nâ kh£ nghàch v ph÷ìng tr…nh
0
@ (k)
39
cõ nghiằm duy nhĐt ak =
SŁ akk ữổc gồi l hằ sŁ tỹ tữỡng quan riảng t⁄i º tr„ k, k‰ hiằu (k) ; k 1. Nh“n thĐy r‹ng vợi k p vectỡ (a1; : : : ; ap; 0; : : : ; 0) 2 Rk
vợi k p sŁ 0 thảm v o vectỡ hằ sŁ (a1; : : : ; ap) cho bði phữỡng tr…nh
Yule Walker (2.5) l nghiằm cıa phữỡng tr…nh (2.10). Do v“y ta cõ (p) = ap; (k) = 0 vợi k > p. Chú ỵ r‹ng hằ sŁ (k) ch¿ xuĐt hiằn nhữ
hằ sŁ cıa Yn k trong dỹ bĂo tuy‚n t‰nh mºt bữợc tŁt nhĐt cıa Yn+1.
N‚u Łi tĂc thỹc nghiằm Rk cıa Pk l khÊ nghàch th…
a^k = Rk 1rk
vợi rk = (r (1) ; : : : ; r (k))T l ữợc lữổng hi”n nhiản cıa ak. Th nh phƒn thứ k
^ (k) = a^kk
cıa a^k = (^ak1; : : : ; a^kk) l hằ sŁ tỹ tữỡng quan riảng thỹc nghiằm t⁄i º tr„ k. Nõ cõ th” ữổc sò dửng ” ữợc lữổng b“c p cıa quĂ tr…nh - AR (p) v… ^p (p) = ap khĂc 0, trong khi ^ (k) (k) = 0 vợi k > p phÊi gƒn 0.
V‰ dử 2.2.6 Phữỡng tr…nh Yule Walker (2.5) cıa quĂ tr…nh - AR (2) Yt = a1Yt1 + a2Yt2 + "t vợi s = 1; 2; : : : l
(1) = a1 + a2 (2) ;
v do õ hằ sŁ tỹ tữỡng quan riảng l : (1) = (1) ; (2) = a2; (j) = 0; j 3:
ằ quy (2.5) k†o theo t‰nh toĂn cıa (s) vợi s bĐt ký tł 2 giĂ trà (1) v (2).
40
2.2.6 Qu¡ tr…nh - ARMA
Trung b…nh trữổt - M A (q) v quĂ tr…nh tỹ hỗi quy - AR (p) l cĂc trữớng hổp °c biằt cıa tỹ hỗi quy trung b…nh trữổt. LĐy ("t)t2Z l ỗn tr›ng, p; q 0 l cĂc sŁ nguyản v a0; : : : ; ap; b0; : : : ; bq 2 R. QuĂ tr…nh ngÔu nhiản nh“n giĂ trà thỹc (Yt)t2Z ữổc gồi l quĂ tr…nh tỹ hỗi quy trung b…nh trữổt b“c p; q, k‰ hiằu ARM A (p; q) n‚u nõ thoÊ mÂn phữỡng tr…nh
Yt = a1Yt 1 + a2Yt 2 + : : : + apYt p + "t + b1"t 1 + : : : + bq"t q: (2.12) QuĂ tr…nh - ARM A (p; 0) vợi p 1 hi”n nhiản l quĂ tr…nh - AR (p), trong khi quĂ tr…nh - ARM A (0; q) vợi q 1 l
a thức
A (z) = 1 a1z
B (z) = 1 + b1z + : : : + bqzq;
l cĂc a thức °c trững cıa phƒn tỹ hỗi quy v phƒn trung b…nh trữổt cıa mºt quĂ tr…nh - ARM A (p; q) (Yt), (Yt) cõ th” bi”u di„n dữợi d⁄ng
Yt a1Yt 1 : : : apYt p = "t + b1"t 1 + : : : + bq"t q: K‰ hiằu Zt l v‚ phÊi cıa phữỡng tr…nh trản tức l
Zt = "t + b1"t 1 + : : : + bq"t q:
Do õ, Ăp dửng ành lỵ 2.1.6, Ơy l quĂ tr…nh - M A (q) nản l quĂ tr…nh dłng. N‚u tĐt cÊ p nghiằm cıa phữỡng tr…nh A (z) = 1 a1z : : : apzp = 0 n‹m ngo i vặng trặn ỡn và th… tł ành lỵ 2.1.11 suy ra bº lồc c0 = 1; cu = au; u = 1; : : : ; p; cu = 0 trong cĂc trữớng hổp khĂc, cõ bº lồc nguyản nhƠn khÊ tŒng tuyằt Łi (du)u 0. K‚t quÊ ta thu ữổc tł phữỡng tr…nh Zt = Yt a1Yt 1 : : : apYt p v tł (2.1) l vợi b0 = 1; bw = 0 vợi w > q
X
Yt = duZt u = du ("t u + b1"t 1 u + : : : + bq"t q u)
u 0
0 1
X
v 0
41
l nghiằm dłng xĂc ành duy nhĐt hƒu kh›p nỡi cıa phữỡng tr…nh - ARM A (p; q) (2.12) vợi ỗn tr›ng ("t) cho trữợc.
i•u kiằn ” tĐt cÊ p nghiằm cıa phữỡng tr…nh °c trững A (z) = 1 a1z :: : apzp = 0 cıa quĂ tr…nh - ARM A (p; q) (Yt) n‹m ngo i vặng trặn ỡn và giŁng nhữ i•u kiằn dłng (2.4).
Qu¡ tr…nh - M A (q) Zt = "t + b1"t 1 + : : : + bq"t q l kh£ nghàch n‚u t§t cÊ q nghiằm cıa a thức B (z) = 1 + b1z + : : : + bqzq n‹m ngo i vặng trặn
ỡn và. Trong trữớng hổp n y, ành lỵ 2.1.11 v phữỡng tr…nh (2.1) ữa ra sỹ tỗn t⁄i cıa bº lồc nguyản nhƠn khÊ tŒng tuyằt Łi (gu)u 0 sao cho vợi a0 = 1
X X
"
t = g
uZ
t u = g
u (Y
t u a1Yt 1 u
u 0 u 0
X
v 0
Trong trữớng hổp n y quĂ tr…nh - ARM A (p; q) nghàch.
: : : apYt p u)
(Yt) ữổc gồi l khÊ
2.2.7 H m tỹ hiằp phữỡng sai cıa quĂ tr…nh - ARMA
” t…m h m tỹ hiằp phữỡng sai cıa quĂ tr…nh - ARM A (p; q) (Yt), quĂ tr…nh n y thoÊ mÂn i•u kiằn dłng (2.4), trữợc tiản ta t‰nh cĂc hằ sŁ khÊ tŒng tuyằt Łi
min(q;v)
X
v = bwdv w; v 0;
w=0 P
trong bi”u di„n Yt = v"t v. a thức °c trững D (z) cıa bº lồc nguyản v 0
nhƠn khÊ tŒng tuyằt Łi (du)u 0 trũng vợi bŒ • 2.1.9 cho 0 < jzj < 1 vợi 1
A (z)
cho trong (2.14) vợi 0 < jzj < 1, trong õ ta °t a0 = 1 ” ỡn giÊn cổng thức A (z) (B (z) D (z)) = B (z)
trong õ A (z) ữổc cho bði (2.13). Do v“y, ta thu ữổc vợi B (z)
P
w 0
42
w , PP
au w u zw = P bwzw
w 0 u=0 w 0
8 0 = 1
V‰ dử 2.2.7 Vợi quĂ tr…nh - ARM A (1;
jaj < 1. Tł (2.15), ta câ:
1 w p
w > p v bw = 0 vợi w > q:
(2.15) 1) Yt aYt 1 = "t + b"t 1 vợi
0 = 1; 1 a = b; w a w 1 = 0; w 2:
Suy ra 0 = 1; w = aw 1 (b + a) ; w 1 v cuŁi còng X
Yt = "t + (b + a) aw 1"t w:
w 1
p q
tr…nh -
ành lþ 2.2.8
ARM A p; q sai cıa quĂ tr…nh - ARM A (p; q) thoÊ mÂn ằ quy
trong õ v; v 0 l hằ sŁ cıa bi”u di„n Yt =
(2:15) v 2 l
K‚t qu£ l h m tü t÷ìng quan cıa qu¡ tr…nh ARM A (p; q) (Y
"t.
trũng vợi h m tỹ tữỡng quan cıa quĂ tr…nh dłng AR (p) Xt =
Chứng minh. °t = E (Y0) v = E ("0)
43
p q
P P
Ta câ: Yt = auYt u + bv"t v;t 2 Z.
u=1 v=0
p q
LĐy ký vồng hai v‚ ta ữổc
K‚t hổp hai phữỡng tr…nh ta ữổcuP
Yt
NhƠn cÊ hai v‚ vợi Yt Cov (Yt
Do â (s)
Tł bi”u di„n Y
Cov (Yt s; "t
i•u n y suy ra (s)
V‰ dử 2.2.9 Cho quĂ tr…nh - ARM A (1; 1) Yt
jaj < 1, ta thu ữổc tł v‰ dử 2.2.7 v (0)
v do â
(0) = 2 1 + 2ab + b2
;(1) = 2 (1 + ab) (a + b):
1 a21 a2
Vợi s 2 ta thu ữổc tł (2.16)
(s) = a (s 1) = : : : = as 1 (1) :
44
2.2.8 Qu¡ tr…nh - ARIMA
GiÊ sò chuỉi thới gian (Yt) cõ xu hữợng a thức b“c d . Khi õ ta cõ th”
lo⁄i bọ xu hữợng n y b‹ng viằc xem x†t quĂ tr…nh dYt nh“n ữổc b‹ng cĂch sai phƠn d lƒn giŁng nhữ mổ tÊ trong mửc 1.2. N‚u quĂ tr…nh
ữổc lồc dYd l quĂ tr…nh - ARM A (p; q) thoÊ mÂn i•u kiằn dłng (2.4) th… quĂ tr…nh ban ƒu (Yt) ữổc gồi l tỹ hỗi quy t‰ch hổp trung b…nh trữổt cĐp p; d; q, k‰ hiằu ARIM A (p; d; q). Trong trữớng hổp n y cĂc h‹ng sŁ a1; : : : ; ap, b0 = 1, b1; : : : ; bq 2 R tỗn t⁄i sao cho
p q
X X
dYt = au dYt u + bw"t w; t 2 Z;
u=1 w=0
trong õ ("t) l ỗn tr›ng.
V‰ dử 2.2.10 QuĂ tr…nh - ARIM A (1; 1; 1) (Yt) thoÊ mÂn
trong â jaj < 1; b 6= 0 v Yt
suy ra Yt = (a + 1) Yt 1
cıa phƒn AR trong quĂ tr…nh - ARM A (2; 1) cõ nghiằm l 1 v do õ quĂ
tr…nh n y khổng dłng.
Di ºng ngÔu nhiản Xt = Xt X†t Yt = St
tr…nh dłng v
St = St+s = St+2s = : : : vợi t 2 Z. Khi õ quĂ tr…nh (Yt) khổng dłng, nh÷ng Yt = Yt
ch¿nh theo mũa (Yt ) l quĂ tr…nh - ARM A (p; q) thoÊ mÂn i•u kiằn dłng (2.4) th… quĂ tr…nh (Yt) ban ƒu ữổc gồi l quĂ tr…nh ARM A (p; q) theo mũa vợi º d i chu ký s, k‰ hiằu SARM As (p; q). Ngữới ta thữớng g°p phÊi chuỉi thới gian vợi xu hữợng cụng nhữ th nh phƒn theo chu ký mũa.
Do õ quĂ tr…nh ngÔu nhiản (Yt) vợi t‰nh chĐtd (Yt Yt s) l quĂ tr…nh - ARM A (p; q) gồi l quĂ tr…nh - SARIM A (p; d; q). Ơy l giÊ thi‚t chung cho phƒn thüc h nh.
45