BÀI TẬP BỔ SUNG
Dạng 5. Câu hỏi min-max
Câu 63. Cho đường tròn ( )C :x2+y2−2x−4y− =4 0 và điểm M( )2;1 . Dây cung của ( )C đi qua điểm M có độ dài ngắn nhất là
A. 6. B. 7. C. 3 7. D. 2 7 .
Câu 64. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm (0; 3), (4;1)A − B và điểm M thay đổi thuộc đường tròn
2 2
( ) :C x + −(y 1) =4. Gọi Pmin là giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=MA+2MB. Khi đó ta có Pmin thuộc khoảng nào dưới đây?
A. (7, 7;8,1 .) . B. (7,3;7, 7 .) . C. (8,3;8,5 .) . D. (8,1;8,3 .)
Câu 65. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( )C :x2+y2−2x−4y+ =3 0. Tìm tọa độ điểm M x y( 0; 0) nằm trên đường tròn ( )C sao cho T x= 0+y0 đạt giá trị lớn nhất.
A. M( )2;3 . B. M( )0;1 . C. M( )2;1 . D. M( )0;3 .
Câu 66. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M nằm trên đường tròn ( )C :x2+y2+8x−6y+ =16 0. Tính
độ dài nhỏ nhất của OM ?
A. 3 . B. 1. C. 5 . D. 2.
Câu 67. Gọi I là tâm của đường tròn ( )C :(x−1) (2+ y−1)2 =4. Số các giá trị nguyên của m để đường thẳng x+ − =y m 0 cắt đường tròn ( )C tại hai điểm phân biệt A B, sao cho tam giác IAB có diện tích lớn nhất là
A. 1. B. 3. C. 2 . D. 0.
Câu 68. Điểm nằm trên đường tròn ( )C :x2+y2−2x+4y+ =1 0 có khoảng cách ngắn nhất đến đường thẳng d x: − + =y 3 0 có toạ độ M a b( ); . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. 2a= −b. B. a= −b. C. 2a=b. D. a=b.
Câu 69. Cho tam giác ABC có trung điểm của BC là M( )3; 2 , trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác lần lượt là 2 2; , (1; 2)
G3 3 I − . Tìm tọa độ đỉnh C, biết C có hoành độ lớn hơn 2 . A. C( )9;1 . B. C( )5;1 . C. C( )4; 2 . D. C(3; 2− ).
Câu 70. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( )C :x2+y2− −2x 4y− =25 0 và điểm M( )2;1 .
Dây cung của ( )C đi qua M có độ dài ngắn nhất là:
A. 2 7 . B. 16 2. C. 8 2. D. 4 7 .
Câu 71. Cho các số thực , , ,a b c d thay đổi, luôn thỏa mãn (a−1) (2+ −b 2)2 =1 và 4c−3d 23− =0. Giá
trị nhỏ nhất của biểu thức P=(a c− ) (2+ −b d)2 là:
A. Pmin =28. B. Pmin =3. C. Pmin =4. D. Pmin =16.
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25 Câu 72. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) (C : x−1) (2+ y−2)2 =4 và các đường thẳng
1: + − − =1 0,
d mx y m d2:x my m− + − =1 0. Tìm các giá trị của tham số m để mỗi đường thẳng d d1, 2 cắt
( )C tại 2 điểm phân biệt sao cho 4 điểm đó lập thành 1 tứ giác có diện tích lớn nhất. Khi đó tổng của tất cả các giá trị tham số m là:
A. 0. B. 1. C. 3. D. 2.
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1 A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Điểm M x y ; thuộc đường tròn C , tâm I a b ; , bán kính R khi và chỉ khi
x a 2y b 2R2(1)
Ta gọi (1) là phương trình đường tròn C
Nhận xét. Phương trình (1) tương đương với x2y22ax2bya2b2R20
Phương trình x2y22ax2by c 0 là phương trình của một đường tròn C khi và chỉ khi
2 2
0
a b c . Khi đó C có tâm I a b ; bán kính R a2b2c
Ví dụ 1. Tìm tâm và bán kính của đường tròn ( )C có phương trình: (x2)2(y3)216. Viết phương trình đường tròn (C') có tâm (2; 1)J và có bán kính gấp đôi bán kinhh đường tròn ( )C .
Lời giải
Ta viết phương trình của ( )C ở dạng (x2)2(y ( 3))2 42. Vậy ( )C có tâm I(2; 3) và bán kính R4.
Đường tròn C có tâm (2; 1)J và có bán kinh R 2R8, nên có phương trình
2 2
(x2) (y1) 64
Ví dụ 2. Cho , ,a b c là các hằng số. Tìm tập hợp những điểm M x y( ; ) thoả mãn phương trình
2 2 2 2 0 2
x y ax by c
Lời giải Phương trình (2) tương đương với
2 2 2 2 2 2 2 2
(x a ) (y b ) c a b 0(x a ) (y b ) a b c.
Xét ( ; )I a b , khi đó, IM (x a )2(y b )2 và phương trình trên trở thành
2 2 2 . 3
IM a b c
Từ đó, ta xét các trường hợp sau:
- Nếu a2b2 c 0 thì tập hợp những điểm M thoả mãn (2) là đường tròn tâm ( ; )I a b , bán kinh
2 2
R a b c.
- Nếu a2b2 c 0 thì (3)IM 0. Do đó, tập hợp những điểm M thoả mãn (2) chỉ gồm một điểm là ( ; )I a b .
- Nếu a2b2 c 0 thì tập hợp những điểm M là tập rỗng.
Ví dụ 3. Viết phương trình đường tròn ( )C đị qua ba điểm (2; 0), (0; 4), ( 7;3)A B C . Lời giải
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Các đoạn thẳng AB AC, tương ứng có trung điểm là 5 3 (1; 2), ; M N 2 2
. Đường thẳng trung trực
1 của đoạn thẳng AB đi qua M(1; 2) và có véc tơ pháp tuyến AB( 2; 4) . Vì AB( 2; 4)
cùng phương với n1(1; 2)
nên 1 cũng nhận n1(1; 2)
là véc tơ pháp tuyến.
Do đó, phương trình của 1 là 1(x1) 2( y2)0 hay x2y 3 0 Đường thẳng trung trực 2 của đoạn thẳng AC đi qua 5 3 2 2;
N
và có véc tơ pháp tuyến ( 9;3)
AC
. Vì AC( 9;3)
cùng phương với n2(3; 1)
nên 2 cũng nhận n2(3; 1)
là véc tơ pháp tuyến. Do đó, phương trình của 2 là
5 3
3 1 0 hay 3 9 0.
2 2
x y x y
Tâm I của đường tròn ( )C cách đều ba điểm , ,A B C nên I là giao điểm của 1 và 2. Vậy toạ độ của I là nghiệm của hệ phương trình 2 3 0
3 9 0
x y x y
.
Suy ra ( 3; 0)I . Đường tròn ( )C có bán kính là IA5. Vậy phương trình của ( )C là
2 2
(x3) y 25
2. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
Cho điểm M x y 0; 0 thuộc đường tròn ( ) : (C x a )2(y b )2 R2 (tâm ( ; )I a b , bán kinh )R .
Khi đó, tiếp tuyến của ( )C tại M x y 0; 0 có véc tơ pháp tuyến MIax b0; y0
và phương trìnhax0xx0 by0yy00
Ví dụ 4. Cho đường tròn ( )C có phương trình (x1)2(y3)2 5. Điểm M(0;1) có thuộc đường tròn ( )C hay không? Nếu có, hãy viết phương trình tiếp tuyến tại M của ( )C .
Lời giải Do (0 1) 2(1 3) 25, nên điểm M thuộc ( )C .
Đường tròn ( )C có tâm là ( 1;3)I . Tiếp tuyến của ( )C tại M(0;1) có véc tơ pháp tuyến ( 1; 2)
MI
, nên có phương trình 1(x 0) 2(y 1) 0 x 2y 2 0.
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP