Chương 2: Đại số gia tử
2.4. Cấu trúc dàn của đại số gia tử mịn hóa (RHA)
Trong phần này, chúng ta sẽ tìm hiểu một số tính chất cơ bản của RHA. Ta có định lí sau:
Định lí 2.4: Cho AX = (X, G, LH, ≤) là một RH_algebra và G là một dây chuyền (chain) của các phần tử sinh. Ta có AX là một dàn. Hơn nữa, nếu x và y là không so sánh được thì chúng có thể được thể hiện dưới dạng x = δhw và y = γkw, với h, k ∈ LHic, i ∈ SIc, và δ, γ∈ LH*, và chúng ta có:
x ∪ y(= δhw ∪ γkw) = δw’∪γw’ và x ∩ y(= δhw ∩ γkw) = δz’∩γz’, với w’ = (h∨k)w và z’ = (h∧k)w nếu hw >w; w’ = (h∧k)w và z’ = (h∨k)w nếu hw
< w và ∪, ∩ là phép tuyển và hội trên AX, còn ∨, ∧ là phép tuyển và hội trên LHc + I.
Hệ quả 2.3: Cho AX = (X, G, LH, ≤) là một RH_algebra và G là một dây chuyền. Các mệnh đề sau thỏa:
- LH(x) là một dàn phụ của AX.
- LH[x] là một dàn phụ phân bố của AX. Hơn nữa, với bất kì x ∈ X và bất kì hai gia tử h và k thuộc LH, chúng ta có :
hx∪kx = (h∨k)x nếu hx ≥ x; (h∧k)x nếu hx ≤ x, hx∩kx = (h∨k)x nếu hx ≤ x; (h∧k)x nếu hx ≥ x.
Mệnh đề 2.7: Cho AX = (X, G, LH, ≤) là một RHA và G là một dây chuyền.
Thì, với bất kì h, k ∈ LHic, với i ∈ SIc, và với bất kì x∈ X sao cho hx≠ kx, có tồn tại một dàn đẳng cấu f từ LH(hx) đến LH(kx) được định nghĩa như sau: f(δhx) =δkx.
Định lí 2.5: Cho AX = (X, G, LH, ≤) là một RH_algebra. Nếu G là một dây chuyền thì dàn AX là phân bố.
2.5. RHA ĐỐI XỨNG
Trong ngôn ngữ tự nhiên, có nhiều biến ngôn ngữ có hai phần tử sinh khác nhau.
Các phần tử sinh này có ý nghĩa đối lập nhau như “true” và “false”, “old” và
“young”,…Dựa vào đặc điểm này, các tác giả N. Cat Ho và W. Wechler đã đề xuất mở rộng đại số gia tử (tài liệu tham khảo [9] của bài báo này) với chính xác hai phần tử sinh, một được gọi là phần tử sinh dương (positive generator), kí hiệu là t, và một là phần tử sinh âm (negative generator), kí hiệu là f. Chúng có đặc điểm là V.t ≥ t, V.f ≤ f và t > f. Vì vậy, trong phần này chúng ta sẽ xét RH_algebra AX = (X, G, LH, ≤) với hai phần tử sinh là t và f, i.e. G = {1, t, W, f, 0}.
Định nghĩa phần tử đối nghịch: cho x ∈ X và giả sử x = hn…h1a, với a∈{t, f} là dạng thể hiện của x theo a. Một phần tử y được gọi là phần tử đối nghịch của x nếu y có thể biểu diễn dưới dạng y = hn…h1a’, với a’∈{t, f} và a’ ≠ a.
Định nghĩa 2.5: Một RHA AX = (X, G, LH, ≤), với G được định nghĩa như trên, được gọi là RHA đối xứng nếu mọi phần tử x∈ X có duy nhất một phần tử đối nghịch trong X, kí hiệu là x-.
Định lí 2.6: Một RHA AX = (X, G, LH, ≤) là đối xứng nếu và chỉ nếu AX thỏa điều kiện sau:
(SYM) Với mọi phần tử x∈X, x là một điểm dừng nếu và chỉ nếu x- là một điểm dừng..
Định lí 2.7: Với mọi RHA đối xứng AX = (X, G, LH, ≤), các mệnh đề sau thỏa điều kiện:
- (hx)- = hx-, với mọi h ∈LH và x∈ X.
- (x-)- = x, với mọi x∈ X.
- hx > x nếu và chỉ nếu hx- < x-, với mọi h ∈LH và x∈ X.
- hx > k x nếu và chỉ nếu hx- < kx-, với mọi h, k ∈LH và x∈ X.
- x < y nếu và chỉ nếu x- > y-, với bất kì x, y∈ X.
- (x∪y)- = x-∩y- và (x∩y)- = x-∪y-, với bất kì x, y∈ X, ∪và ∩ là phép tuyển và hội trên AX.
2.6. CẤU TRÚC ĐẠI SỐ CỦA RHA ĐỐI XỨNG HỮU HẠN
Cho AX = (X, G, LH, ≤) là một RHA đối xứng, tập X được định nghĩa như sau:
- Đầu tiên, chúng ta định nghĩa LHn[G], với n ≥ 0 như sau:
LH0[G] = G, LH1[G] = LH[G] = a∈UG {ha: h ∈ LH + I }, LHn+1[G] = LH[LHn[G]].
Chúng ta dễ thấy rằng: G ⊂ LH[G] ⊂ LH2[G] ⊂…⊂LHn[G] ⊂…
- Nếu xét một dây chuyền hữu hạn các gia tử, gọi p là một số nguyên dương và giả sử x ∈ LHp[G] và x ∉LHp-1[G], hx = x thỏa, với h ∈ LH, và
vì vậy chúng ta có G ⊂ LH[G] ⊂ LH2[G] ⊂…⊂LHp[G]. Đặt X = LHp[G].
Toỏn tử phủ định, kớ hiệu là ơ, được định nghĩa như sau: chỳng ta gọi phủ định của phần tử x trong AX là phần tử đối nghịch của nú, i.e. ơx = x-.
Toán tử “kéo theo”, kí hiệu là ⇒, được định nghĩa theo toán tử phủ định và phép tuyển như sau:
x ⇒ y = ơx∪y, với x, y thuộc AX.
Đại số AX = (X, G, LH, ≤), với G ={1, a+(phần tử sinh dương), W, 0, a-(phần tử sinh âm)} và tập X được định nghĩa như trên, là một RHA đối xứng hữu hạn. Như đó xột ở trờn, cỏc toỏn tử ∪, ∩, ơ, ⇒ cú thể được kế thừa từ AX. Vỡ vậy, AX = (X, G, LH, ≤, ∪, ∩, ơ, ⇒, 0, W, 1).
Định lí 2.8: Cho AX là một RHA đối xứng hữu hạn. Ta có:
i. ơ(hx) = hơx, với mọi h ∈ LH và x ∈ X.
ii. ơ(ơx) = x, với mọi x ∈ X.
iii. ơ (x∪y) = ơx∩ ơy và ơ (x∩y) = ơx∪ ơy, với mọi x, y ∈ X.
iv. x ∩ ơx ≤ y ∪ ơy, với mọi x, y ∈ X.
v. x ∩ ơx ≤ W ≤ x ∪ ơx, với mọi x ∈ X.
vi. ơ1 = 0, ơ0 = 1 và ơW = W.
vii. x > y nếu và chỉ nếu ơx < ơy, với mọi x, y ∈ X.
Như một hệ quả từ định lí trên, ta có:
Định lớ 2.9: Cho AX = (X, G, LH, ≤, ∪, ∩, ơ, ⇒, 0, W, 1) là một RHA đối xứng hữu hạn. Ta có:
I. x⇒y = ơy⇒ ơx,
II. x⇒ (y⇒z) = y ⇒ (x⇒ z),
III. x ⇒y ≥x’⇒ y’ nếu x ≤x’ và/hoặc y ≥y’, IV. x⇒y = 1 nếu x = 0 hoặc y = 1,
V. 1 ⇒x = x và x ⇒1 = 1; 0⇒ x = 1 và x⇒ 0= ơx,
VI. x ⇒y ≥W nếu và chỉ nếu hoặc x ≤W hoặc y≥ W, và x⇒ y≤ W nếu và chỉ nếu x ≥W và y ≤W.
Vì đại số AX = (X, G, LH, ≤) là một dàn phân bố nên ta có thể xem AX là một dàn bù ảo. Vì vậy, với mọi x, y ∈ X, quan hệ x →y luôn tồn tại và x →y là phần tử lớn nhất của tập các phần tử z thỏa x∩ z ≤ y. Tính chất của toán tử → được thể hiện qua các định lí sau:
Định lí 2.10: Cho AX là một RHA đối xứng hữu hạn. Ta có:
1. x→y = 1 nếu và chỉ nếu x≤y, 2. 1→ y = y; 0→ y = 1,
3. x ∩ (x→y) ≤y,
4. Nếu x1≤ x2 thì x2→ y ≤x1→ y, 5. Nếu y1≤ y2 thì x→ y1≤ x→ y2, 6. x∩ ( x→ y) = x∩y,
7. (x→y) ∩y = y,
8. (x→y) ∩ (x→z) = x→ (y∩z), 9. (x→z) ∩ (y→z) = (x∪y)→z,
10. x→ (y→z) = (x∩y) →z = y→ (x→z), 11. z→x≤ (z→ (x→y))(z→y),
12. (x→y) ∩ (y→z) ≤ x→z, 13. x≤y → (x∩y),
14. x→ (y→z) ≤ (x→y) → (x→z),
15. z∩ ((z∩x) → (z∩y)) = z∩ (x→y).
Định lớ trờn thể hiện rằng, AX = (X, G, LH, ≤, ∪, ∩, ơ, ⇒, 0, W, 1) là một đại số Heyting (đại số Bool ảo). Hơn nữa, chúng ta có thể định nghĩa một toán tử phủ định khác, kí hiệu ~ thông qua toán tử→ như sau: ~ x = x →0, với x ∈ X. Do đó ta có : ~ x = 1 nếu x =0 và ~x = 0 nếu ngược lại. Các tính chất của toán tử ~ sẽ được thể hiên thông qua định lí sau:
Định lí 2.11: Trong mọi RHA đối xứng hữu hạn AX, ta có:
1. Nếu x≤y thì ~y≤~ x, 2. ~1 = 0, ~0 = 1,
3. x∩ ~x = 0, ~(x∩~x) = 1,
4. ~(x∪y) = ~x∩ ~y, ~x∪~y≤~(x∩y), 5. ~x∪ y ≤x→y, x→y ≤~y→~x, 6. x→~y = ~(x∩y) = y→~x, 7. ~~(x→y) ≤ x→~~y.
2.7. KẾT LUẬN
Qua phần này, các đặc điểm của RHA đã được giới thiệu và khảo sát. RHA có thể cung cấp nhiều đặc điểm mới cho logic mờ và có thể mang đến các phương pháp cơ bản mới trong suy diễn mờ, các phương pháp định tính hơn là định lượng.