Phép chiếu này do Gauss đề xuất và áp dụng vào xử lí số liệu lới tam giác của Đức trong những năm 1820 ~ 1830 nhng cha đợc công bố. Năm 1886 Schreiber chỉnh lí và đến năm 1912, Kruger chỉnh lí hoàn thiện công bố trong tác phẩm “Phép chiếu hình giữ
góc Elipsoid trái đất lên mặt phẳng”.
Phép chiếu hình trụ ngang đồng góc có đặc điểm quan trọng là góc giữa các đờng trắc địa trên mặt Ellipsoid bằng với góc giữa các hình chiếu tơng ứng của chúng trên mặt phẳng. Để đảm bảo điều kiện này, hệ (3.69) phải thỏa mãn điều kiện:
L y B N
M B
x
∂
= ∂
∂
∂ .
cos
L x B N
M B
y
∂
− ∂
∂ =
∂ .
cos Và:
y L M
B N x B
∂
= ∂
∂
∂ .cos .
(3.73)
x L M
B N y B
∂
− ∂
∂ =
∂ .cos .
Đó gọi là điều kiện Côsi - Rieman.
Sau khi chiếu, kinh tuyến trục trở thành trục x có tỉ lệ chiếu bằng m0, xích đạo trở thành trục y; trừ kinh tuyến trục và xích đạo là đờng thẳng, các kinh vĩ tuyến khác sau khi chiếu đều là đờng cong.
Để hạn chế biến dạng, Ellipsoid đợc chia thành các múi giống nhau, chạy dọc theo kinh tuyến. Hiệu giữa hai kinh tuyến biên gọi là
độ rộng của múi. Loại múi có độ rộng 60 đợc sử dụng để tính tọa
độ các điểm trắc địa nhà nớc và tọa độ này dùng để lập lới khống chế đo vẽ bản đồ tỉ lệ nhỏ và trung bình. Để thành lập bản đồ
địa hình tỉ lệ lớn ngời ta dùng múi 30 hoặc 1030’, trong trắc địa công trình còn dùng kinh tuyến đi qua giữa khu vực lập lới làm kinh tuyến trục. Sau khi xây dựng xong các công thức của phép chiếu thì công thức có thể áp dụng cho tất cả các múi vì có qui luật hoàn toàn giống nhau.
Nếu gọi N là số hiệu múi của tờ bản đồ địa hình tỉ lệ 1/106 theo danh pháp quốc tế, n là số hiệu múi chiếu 60 trong phép chiếu Gauss-Kruger, công thức sau đợc dùng để tính kinh tuyến trục của múi chiếu thứ n:
L0.n = 60n - 30
n = N - 30 (3.74)
Để tránh tọa độ có dấu (+, -), ngời ta cộng vào tọa độ x một hằng số là 10000km và tọa độ y là 500km. Vì Việt Nam nằm hoàn toàn ở Bắc Bán cầu, nên để đơn giản hơn, chỉ cộng vào tọa độ y là 500km mà không cộng thêm hằng số vào tọa độ x. Để biết điểm xét thuộc múi chiếu nào, phía trớc tọa độ y viết thêm số hiệu của múi chiếu. Ví dụ tọa độ của 1 điểm P thuộc múi chiếu 18 (vùng Hà nội) theo lí thuyết là:
x: 23376020.627m P y: -65.224m
Theo qui định của phép chiếu viết là:
x: 23376020.627m P y: 18499934.776m
Cách chia múi 60 và 30 mô tả trên hình 3.15. Khi chia múi 30, kinh tuyến trục và kinh tuyến biên của múi 60 trở thành các kinh tuyến trục của múi 30.
H×nh 3.15
Giả sử có hai điểm Q’1 và Q’2 trên mặt Elipxoid nh sau:
0 y
x
Xích đạo
Q'2 P'
Q'1 S
Kinh tuyÕn trôc
A1 l
a. Trên Elipxoid b. Trên mặt phẳng
Q2 Q1
T
α1 D Α1 δ1 σ P γ1
Tọa độ trắc địa của chúng tơng ứng là B1, L1 và B2, L2. Hiệu kinh độ so với kinh tuyến trục của múi chiếu tơng ứng là:
của kinh tuyến biên0° 6° 12° 96° 102° 108° 114°
18 19 2 17
1
105° 111°
9° 99°
3°
§é kinh L
của kinh tuyến trục Số hiệu múi 6°
§é kinh L Mói 3°
H×nh 3.16
ℓ1=L1-L0
ℓ2=L2-L0
Chiều dài và góc phơng vị của đờng trắc địa nối giữa hai
điểm đó tơng ứng là S và A1.
Sau khi chiếu lên mặt phẳng của múi chiếu ta sẽ có hai điểm tơng ứng Q1 và Q2. Đờng trắc địa S chiếu thành đờng cong phẳng có chiều dài là σ, đờng cong này có bề lõm quay về phía trục x.
Do tính chất chiếu đồng góc nên góc phơng vị A1 trên mặt Elipxoid khi chiếu lên mặt phẳng của múi chiếu vẫn giữ nguyên giá
trị, đó là góc kẹp giữa hình chiếu của kinh tuyến Q1P và hình chiếu của đờng trắc địa σ.
Nếu nh đờng trắc địa Q’1Q’2=S là một cạnh tam giác trong mạng lới tam giác dã đợc chuyển về Elipxoid thì đối với các cạnh tam giác còn lại sau khi chiếu lên mặt phẳng ta cũng đợc các kết quả t-
ơng tự.
Nh vậy, sau khi chiếu lên mặt phẳng ta đợc một mạng lới gồm các tam giác có cạnh cong, điều đó rất không thuận tiện cho công việc tính toán. Vì vậy, ta phải tìm cách chuyển về các tam giác có cạnh thẳng. Để làm đợc việc đó, ngời ta nối các điểm hình chiếu bằng các dây cung.
Do đó, đối với một hớng đo phải đa thêm vào một số hiệu chỉnh nhỏ gọi là số hiệu chỉnh hớng ngang δ. Đây là số hiệu chỉnh do độ cong của hình chiếu đờng trắc địa gây ra.
Chiều dài dây cung Q1Q2=D, đây là chiều dài của cạnh tam giác có cạnh thẳng. Độ chênh lệch giữa chiều dài σ và D đợc biểu thị theo công thức:
σ-D = 4 σ3 2α
1 2
1 cos
24R
y (3.75)
Trong đó:
y1 là tọa độ y tại điểm Q;
R1 là bán kính trung bình của Elipxoid tại điểm Q1; α là góc định hớng của cạnh Q1Q2.
Nếu cho giá trị lớn nhất của y đối với múi chiếu UTM 60 là y1≈334 km (tại xích đạo); α=00; σ=60 km và R1=6371km, thì σ-D = 0,61 mm
Nh vậy, với chiều dài cạnh tam giác không quá 60km ta có thể bỏ qua sự chênh lệch chiều dài giữa σ và D. Khi đó ta chỉ cần tính thêm số hiệu chỉnh chiều dài ∆S để có: D=S+∆S (∆S có thể mang dấu dơng hay âm tuỳ thuộc vào tính chất của phép chiếu).
Để tính đợc tọa độ phẳng ta phải có thêm các yếu tố góc phẳng. Trên hình vẽ nếu ta vạch đờng song song với trục x đi qua Q1. Khi đó ta có:
- Góc γ1 gọi là góc hội tụ kinh tuyến phẳng, đó là góc kẹp giữa hình chiếu kinh tuyến đi qua điểm Q1 và hớng của trục x.
- Góc α1 gọi là góc định hớng của cạnh Q1Q2 tại điểm Q1.
Góc định hớng tính theo chiều kim đồng hồ, có giá trị từ 00ữ3600 kể từ đờng song song với trục x đi qua điểm xét. Ta có:
A1=γ1+α1+δ1
Trong công thức trên khi tính toán cụ thể phải xét đến dấu của γ1 và δ1.
Tóm lại, khi nghiên cứu về phép chiếu đồng góc ta phải giải quyết các vấn đề sau:
•Tìm công thức tính tọa độ vuông góc phẳng (x,y) theo tọa
độ trắc địa (B,L) và ngợc lại.
•Tìm công thức tính tỷ lệ chiếu m và tính số hiệu chỉnh chiều dài δS, từ đó tính đợc chiều dài cạnh D trên mặt phẳng.
•Tìm công thức tính số hiệu chỉnh hớng ngang δ và góc hội tụ kinh tuyến phẳng γ, từ đó có cơ sở để xác định góc định hớng α cho các cạnh trên mặt phẳng.
•Tính đổi tọa độ vuông góc phẳng giữa 2 múi chiếu.
LỘN XỘN !!!!