Chương 2: Điểm qua một số phương pháp thiết kế truyền thống cho động cơ một chiều
2.2 Thiết kế bộ điều khiển trong không gian trạng thái
2.2.3 ThiÕt kÕ bé ®iÒu khiÓn tèi u LQR
Một phương pháp quan trọng hay được sử dụng để thiết kế hệ thống điều khiển trạng thái là phương pháp dựa trên cơ sở tiêu chuẩn tích phân tối ưu tuyến tính hay còn gọi là phương pháp điều khiển tối ưu LQR. Theo phương pháp này thì các tham số của khâu điều khiển được chọn xuất phát từ nỗ lực tìm cực tiểu cho một hàm chất lượng ( hàm mục tiêu), chứ không xuất phát từ một dạng đáp ứng cho trước
Với mô hình trạng thái của đối tượng có dạng (2.4), bằng việc sử dụng mô hình phản hồi trạng thái
u = - Klqr*X
H-2.20 :Đáp ứng quá độ bộ ĐK phản hồi trạng thái gán điểm cực khi nhiễu tải hình Sin tác động
Với Klqr là ma trận phản hồi được thiết kế sao cho hàm chất lượng ( 2.6) là tối thiểu
0
( , ) ( T T 2 T )
t
J X u X QX u Ru X Nu dt
∞
=
= ∫ + + (2.6) Bài toán đặt ra cho (2.6) sẽ quy tụ về việc giải phương trình đại số Riccati
Trong công thức ( 2.6), Q là ma trận trọng lượng của các biến trạng thái, R là ma trận trọng lượng của các biến đầu vào. Ma trận N cho phép ta xét đến tương tác giữa các biến vào và các biến ttrạng thái
áp dụng đối với động cơ một chiều bằng phương pháp điều khiển tối ưu LQR kết hợp với khâu tích phân ở đầu vào ta có mô hình điều khiển cho ở H-2.21
Để loại bỏ sai lệch tĩnh ta cũng thêm vào khâu tích phân của sai lệch, mô hình LQR cũng sử dụng véc tơ trạng thái x = (i, ω) để tổng hợp tín hiệu điện áp vào u. Tín hiệu điện áp đó có dạng:
1* 2* 3*
u K K i K
s
ω ω
= + + (2.7)
Để loại bỏ nhiễu tốt hơn ta ta sử dụng phiếm hàm mục tiêu để đánh giá việc gây bất lợi cho sai lệch tích phân lớn. Phiếm hàm mục tiêu có dạng như ( 2.8)
2 2 2
0
(200 ( ) ( ) 0.001 ( ) )
J =∞∫ q t +ω t + u t dt (2.8) Trong đó q s( )
s
=ω
H-2.21: Cấu trúc bộ điều khiển tối ưu LQR áp dụng cho
động cơ một chiều
u
thái mới một biến trạng thái nữa là tích phân của tín hiệu ra. Trên cửa sổ câu lệnh của Matlab ta thực hiện lệnh sau:
DC_lqr = [ 1; tf( 1, [ 1 0 ] )] * DCMC (1);
Để tìm ma trận phản hồi Klqr ta thực hiện câu lệnh sau:
Klqr = lqry (DC_lqr ,[ 0.01 0 ; 0 200 ] , 0.001) và ta được kết quả
Klqr =
447.2136 0.9715 4.8342 Sơ đồ Simulink mô phỏng bộ điều khiển tối ưu LQR được cho ở H-2.22
H-2.22: Sơ đồ mô phỏng bộ ĐK tối ưu LQR
Tiến hành mô phỏng bộ điều khiển tối ưu LQR áp dụng cho động cơ một chiều khi không có nhiễu và khi có nhiễu tác động ta được kết quả cho ở các hình : H-2.23, H-2.24, H-2.25, H-2.26, H-2.27, H-2.28
H-2.23: Đáp ứng quá độ bộ điều khiển LQR khi không có nhiễu tác động
H-2.24: Đáp ứng bộ điều khiển LQR khi tín hiệu đặt thay đổi
H-2.25: Đáp ứng bộ điều khiển LQR khi nhiễu hằng tác động đầu vào đối tượng
H-2.26: Đáp ứng bộ điều khiển LQR khi nhiễu bậc thang tác động đầu vào đối tượng NhiÔu
Với bộ điều khiển LQR ta thấy khi không có nhiễu phụ tải tác động thì đáp ứng quá độ của động cơ không có độ quá điều chỉnh, thời gian quá độ nhỏ, sai lệch tĩnh bằng 0. Khi có nhiễu phụ tải tác động thì đáp ứng đầu ra chịu ảnh hưởng mạnh của
H-2.27: Đáp ứng bộ điều khiển LQR khi nhiễu tải hằng tác động
H-2.28: Đáp ứng bộ điều khiển LQR khi nhiễu tải hình Sin tác động Nhiễu tải
Nhiễu tải
lượng kháng nhiễu. Tiếp theo ta sẽ đi thiết kế bộ điều khiển mờ áp dụng cho động cơ để nâng cao chất lượng điều khiển
Chương III : cơ sở lý thuyết về hệ logic mờ 3.1 Khái niệm về tập mờ
ý nghĩa logic của khái niệm tập hợp được xác định ở chỗ một vật hoặc đối một đối tượng bất kỳ chỉ có thể có hai khả năng hoặc là phần tử của tập đang xét hoặc là không.
Để hiểu rõ khái niệm “Mờ” là gì ta thực hiện phép so sánh sau: Trong toán học phổ thông ta đã gặp khá nhiều về tập hợp ví dụ như tập hợp các số thực R, tập các số nguyên tố P= {2,3,5…} những tập như vậy được gọi là tập hợp kinh điển hay tập rõ.
Tính “rõ” ở đây được hiểu là với một tập xác định S chứa n phần tử thì ứng với phần tử x ta sẽ xác định được một giá trị S(x)
Cho một tập hợp A. ánh xạ àA : A → R được định nghĩa như sau:
àA(x) = 1 nếu x∈A 0 nÕu x∉A
àA(x) được gọi là hàm thuộc của tập A. Như vậy àA(x) chỉ nhận giá trị hoặc bằng 1 hoặc bằng 0
Giờ ta xét phát biểu thông thường về tốc độ một chiếc xe môtô: chậm,trung bình,hơi nhanh và rất nhanh. Phát biểu chậm ở đây không được chỉ rõ là bao nhiêu Km/h, Như
vậy từ “chậm” có miền giá trị là một khoảng nào đó, VD như 5Km/h ữ15Km/h
Trong cuộc sống hàng ngày, rất nhiều hiện tượng đã đưa ta đến một khái niệm không rõ như: Anh này trông rất cao, cô này trông xinh phết…Các khái nịêm trông rất cao, xinh phết thật khó đưa ra một con số cụ thể. Tuy vậy khi nghe các từ này ta vẫn hình dung được một đặc tính cụ thể rõ rệt về đối tượng. Những suy nghĩ này đã đưa ta
đến một khái niệm về logic mờ. Chính logic mờ đã xoá đi tính cứng nhắc của logic rõ.
Logic mờ đã cho phép mô tả các trạng thái sự việc khi sử dụng các mức độ thay đổi giữa đúng và sai. Logic mờ có khả năng lượng hoá các hiện tượng nhập nhằng hoặc là thông tin hiểu biết về đối tượng không đủ hoặc không chính xác
ánh xạ àF được gọi là hàm liên thuộc của tập mờ F. Tập kinh điển X được gọi là tập nền (hay vũ trụ) của tập mờ F.
VD : Tập mờ F biểu diễn giá trị tốc độ chậm của xe môtô được địng nghĩa trên nền X sẽ chứa các phần tử sau:
F = {(5,1),(10,1),(15,0.8),(20,0.6),(30,0.4),(40,0)}
3.1.2 Các thuật ngữ trong logic mờ
• Các dạng hàm thuộc
Trong kĩ thuật điều khiển mờ người ta có thể biểu diễn hàm thuộc dưới các dạng hàm thuộc hình thang, hàm thuộc Gauss, hàm thuộc hình chuông, hàm thuộc Sigmoid.
Các hàm thuộc trơn như Gauss, hình chuông, Sigmoid có các công thức biểu diễn àF(x) có độ phức tạp lớn nên thời gian tính độ phụ thuộc của một phần tử lâu. Bởi vậy trong kĩ thuật điều khiển mờ các hàm trơn kiểu này thường được thay gần đúng bằng một hàm tuyến tính từng đoạn. Do biểu thức đơn giản và tính toán dễ dàng mà cả hai dạng hàm thuộc hình thang và tam giác đều được sử rộng rãi trong bài toán điều khiển mờ
đặc biệt là các hệ “thời gian thực”
àA àB
X X
1
0 10 20 30 10 20 60 90
• §é cao
Trong thực tế không phải hàm liên thuộc nào cũng có hàm liên thuộc bằng 1. Do vậy khái niệm về độ cao được định nghĩa như sau: Độ cao của tập mờ F định nghĩa trên nền X là giá trị h = F( )
x X
Supà x
∈
Kí hiệu F( )
x X
Supà x
∈ chỉ giá trị nhỏ nhất trong tất cả các giá trị chặn trên của hàm àF(x). Tập mờ với ít nhất một phần tử có độ phụ thuộc bằng 1 được gọi là tập mờ chính tắc tức là h = 1. Ngược lại tập mờ F có h < 1 gọi là tập mờ không chúnh tắc.
• Miền xác định
Miền xác định của tập mờ F định nghĩa trên nền X kí hiệu là S là tập con thoả mãn S = Supp àF(x) = (x ∈ X | àF(x) > 0 )
Kí hiệu Supp àF(x) là tập con trong X chứa các phần tử x mà tại đó hàm àF(x) có giá
trị dương
• MiÒn tin cËy
Miền tin cậy của tập mờ F định nghĩa trên nền X được kí hiệu là T, là tập con của M thoả mãn T = (x ∈ X | àF(x) = 1 )
àF(x)
X
H-3.2: Miền tin cậy và miền xác định của hàm thuộc kiểu hình thang
MiÒn tin cËy
Miền xác định
0 1
Hợp của hai tập mờ A và B có cùng tập nền X là một tập mờ A∪B cũng xác định trên nền X có hàm liên thuộc àA∪B (x) thỏa mãn các tính chất sau:
• àA∪B (x) chỉ phụ thuộc vào àA (x) và àB (x).
• àB (x) = 0 với mọi x ⇒ àA∪B (x) = àA (x).
• àA∪B (x) = àB∪A (x), tức là có tính giao hoán.
• à(àA, à(àB, àC) = à(à(àA, àB), àC), tức có tính kết hợp.
• Nếu A1 ⊆ A2 thì A1 ∪B ⊆ A2 ∪B, hay àA∪B (x) có tính không giảm:
• àA1(x) ≤ àA2(x) ⇒ àA1∪B (x) ≤ àA2∪B (x)
Sẽ có nhiều công thức khác nhau được dùng để tính hàm liên thuộc àA∪B (x) cho hai tập mờ. Năm công thức dưới đây đều có thể được sử dụng để định nghĩa hàm liên thuộc àA∪B (x) của phép hợp giữa hai tập mờ.
a) àA∪B (x) = max {àA(x), àB(x)} (Luật lấy max) (3.1) b) àA∪B (x) = max {àA(x), àB(x)} nếu min {àA(x), àB(x)} = 0 (3.2)
1 nếu min {àA(x), àB(x)} ≠ 0 c) àA∪B (x) = min {1, àA(x) + àB(x)} (Phép hợp Lukasiewicz) (3.3) d) àA∪B (x) =
) ( ) ( 1
) ( ) (
x x
x x
B A
B A
à à
à à
+ +
+ (Tổng Einstein) (3.4)
e) à (x) = à (x) + à (x) - à (x).à (x) (Tổng trực tiếp) (3.5)
Một cách tổng quát thì bất cứ một ánh xạ dạng àA∪B (x): X → [0,1], nếu thỏa mãn 5 tiêu chuẩn đã nêu trong định nghĩa phép hợp ở trên đều được xem như là hợp của hai tập mờ A và B có chung một tập nền X. Điều này nói rằng sẽ tồn tại rất nhiều cách xác
định hợp của hai tập mờ và vì thế trong một bài toán điều khiển mờ có thể có nhiều lời giải khác nhau khi sử dụng các phép hợp hai tập mờ khác nhau. Để tránh những mâu thuẫn xảy ra trong kết quả, nhất thiết trong một bài toán điều khiển ta chỉ nên thống nhất sử dụng một loại công thức cho phép hợp. Trong thực tế người ta thường sử dụng 2 công thức (3.1) và công thức (3.3) cho phép hợp
Những công thức nêu trên được sử dụng để thực hiện phép hợp cho hai tập mờ có cùng tập nền. Để thực hiện phép hợp cho hai tập mờ không có cùng tập nền, cần phải
đưa cả hai tập mờ về chung một tập nền là tích của hai tập nền đã cho theo 2 cách:
• Hợp hai tập mờ không cùng tập nền theo luật max
Hợp của hai tập mờ A với hàm liên thuộc àA(x) (định nghĩa trên tập nền M) và B với hàm liên thuộc àB(y) (định nghĩa trên tập nền N) theo luật max là một tập mờ xác định trên tập nền tích MxN với hàm liên thuộc.
àA∪B (x) = max {àA(x,y), àB(x,y)} (3.6)
Trong đó
àA(x,y) = àA(x) với mọi y∈N và àB(x,y) = àB(y) với mọi x∈M
• Hợp hai tập mờ không cùng tập nền theo luật sum (Lukasiewicz)
Hợp của hai tập mờ A với hàm liên thuộc àA(x) (định nghĩa trên tệp mền M) và B với hàm liên thuộc àB(y) (định nghĩa trên tập nền N) theo luật sum là một tập mờ xác
định trên tập nền tích MxN với hàm liên thuộc.
àA∪B (x,y) = min{1, (àA(x,y) + àB(x,y))} (3.7) trong đó
trên nền X có hàm liên thuộc àA∩B(x) thỏa mãn các tính chất sau:
• àA∩B (x) chỉ phụ thuộc vào àA (x) và àB (x).
• àB (x) = 1 với mọi x ⇒ àA∩B (x) = àA (x).
• àA∩B (x) = àB∩A (x), tức là có tính giao hoán.
• à(A∩B)∩C (x) = àA∩(B∩C) (x), tức là có tính kết hợp.
• àA1(x) ≤ àA2(x) ⇒ àA1∩B (x) ≤ àA2∩B (x) tức là hàm không giảm.
Cũng giống như phép hợp hai tập mờ, có nhiều công thức khác nhau được dùng để tính hàm liên thuộc àA∩B(x) của giao hai tập mờ và bất cứ một ánh xạ àA∩B(x): X → [0,1] nào thỏa mãn các tính chất trên đều được xem như là hàm liên thuộc của giao hai tập mờ A và B có chung tập nền X.
Một số công thức thường được dùng để tính hàm liên thuộc àA∩B(x) của giao hai tập mờ là:
a) àA∩B (x) = min {àA(x), àB(x)} (Luật lấy min) (3.8) b) àA∩B (x) = min {àA(x), àB(x)} nếu max {àA(x), àB(x)} = 1 (3.9)
0 nếu max {àA(x), àB(x)} ≠ 1 c) àA∩B (x) = max {0, àA(x) + àB(x)-1} (Phép giao Lukasiewicz) (3.10) d) àA∩B (x) =
) ( ).
( )) ( ) ( ( 2
) ( ).
(
x x x
x
x x
B A B
A
B A
à à à
à
à à
− +
− (TÝch Einstein) (3.11)
e) àA∩B (x) = àA(x).àB(x) (Tích đại số) (3.12)
Để tránh những mâu thuẫn trong kết quả có thể xảy ra, nhất thiết trong một bài toán
điều khiển ta chỉ nên thống nhất sử dụng một loại phép giao. Trong thực tế luật Min (3.8) và luật tích đại số (3.12) thường được dùng để xác định hàm thuộc của giao hai tËp mê
Những công thức nêu trên được sử dụng để thực hiện phép giao cho hai tập mờ có cùng tập nền. Để thực hiện phép giao cho hai tập mờ không có cùng tập nền, cần phải
đưa cả hai tập mờ về chung một tập nền là tích của hai tập nền đã cho.
• Giao của hai tập mờ không cùng tập nền theo luật min
Giao của hai tập mờ A với hàm liên thuộc àA(x) (định nghĩa trên tập nền M) và B với hàm liên thuộc àB(y) (định nghĩa trên tập nền N) theo tích đại số là một tập mờ xác
định trên tập nền tích MxN với hàm liên thuộc.
àA∩B (x,y) = min {àA(x), àB(y)} = min {àA(x,y), àB(x,y)} (3.13) trong đó
àA(x,y) = àA(x) với mọi y ∈ N và àB(x,y) = àB(y) với mọi x ∈ M.
• Giao của hai tập mờ không cùng tập nền theo luật tích đại số
Giao của hai tập mờ A với hàm liên thuộc àA(x) (định nghĩa trên tập nền M) và B với hàm liên thuộc àB(y) (định nghĩa trên tập nền N) theo tích đại số là một tập mờ xác
định trên tập nền tích MxN với hàm liên thuộc.
àA∩B (x,y) = àA(x,y). àB(x,y) (3.14)
trong đó
àA(x,y) = àA(x) với mọi y ∈ N và àB(x,y) = àB(y) với mọi x ∈ M.
b. Nếu x ∈ A thì x ∉ A hay àA(x) = 1 → àA (x) = 0 c . Nếu x ∉ AC thì x ∈ A hay àA(x) = 0 → àAC(x) = 1
d . Nếu A ⊆ B thì AC ⊇ BC hay àA(x) ≤ àB(x) → àAC(x) ≥ àBC(x)
Do hàm thuộc àAC(x) của AC chỉ phụ thuộc vào àA(x) nên ta có thể xem àAC(x) như
là một hàm của àA ∈ [0 ,1]
Phép bù mờ mạnh là phép bù mờ có : àAC(x) = 1- àA(x) (3.15) 3.3 Cấu trúc của bộ điều khiển mờ
Các thành phần cơ bản của một bộ điều khiển mờ gồm có ba khâu:
- Kh©u mê hãa.
- Khâu thực hiện luật hợp thành mờ.
- Khâu giải mờ.
Một bộ điều khiển mờ chỉ gồm có 3 khâu như vậy được gọi là bộ điều khiển mờ cơ
bản. Cấu trúc của một bộ điều khiển mờ cơ bản được cho ở H- 3.3
3.3.1 Kh©u mê hãa
Khâu mờ hóa có nhiệm vụ chuyển một giá trị rõ đầu vào x0 thành một vector à gồm các độ phụ thuộc của các giá trị rõ đó theo các giá trị mờ (tập mờ) đã định nghĩa cho biến ngôn ngữ đầu vào.
Biến ngôn ngữ là phần tử chủ đạo trong các hệ thống dùng logic mờ. Để minh hoạ về hàm thuộc và biến ngôn ngữ ta xét ví dụ sau:
Xét tốc độ của một chiếc xe môtô ta có thể phát biểu xe đang chạy với tốc độ : Rất chậm, chậm, trung bình, nhanh , rất nhanh… Những phát biểu như vậy được gọi là biến ngôn ngữ của tập mờ
Mỗi giá trị ngôn ngữ đó của biến tốc độ được xác định bằng một tập mờ định nghĩa trên tập nền là tập các số thực dương chỉ giá trị vật lý x (đơn vị là km/h) của biến tốc độ v nh 40km/h, 50km/h,...
Hàm liên thuộc tương ứng của chúng được ký hiệu bằng:
àrất chậm (x), àchậm (x), àtrung bình(x), ànhanh (x), àrất nhanh(x) Như vậy biến tốc độ v có hai miền giá trị khác nhau:
• Miền các giá trị ngôn ngữ
N = {rÊt chËm, chËm, trung b×nh, nhanh, rÊt nhanh}
Mờ hoá
Luật hợp thành
Giải mờ
à B
H-3.3: Cấu trúc bộ điều khiển mờ cơ bản
Biến tốc độ v, xác định trên miền các giá trị ngôn ngữ N, được gọi là biến ngôn ngữ.
Do tập nền các tập mờ mô tả giá trị ngôn ngữ của biến ngôn ngữ tốc độ lại chính là tập V các giá trị vật lý của biến nên từ một giá trị vật lý x∈V có được một vector à gồm các độ phụ thuộc của x như sau:
àrất chậm(x) àchậm(x)
x → à = àtrung bình(x) (3.16)
ànhanh(x) àrất nhanh(x)
ánh xạ 3.16 có tên gọi là quá trình mờ hóa của giá trị rõ x.
3.3.2 Khâu thực hiện luật hợp thành
Khâu thực hiện luật hợp thành, có tên gọi là thiết bị hợp thành, xử lý vector à và cho giá trị mờ B’ của tập biến đầu ra.
3.3.2.1 Mệnh đề hợp thành
Ví dụ điều khiển mức nước trong bồn chứa ta quan tâm đến hai yếu tố:
+ Mực nước trong bồn L = { rất thấp, thấp, vừa}
+ Góc mở van V = { đóng, nhỏ, lớn}
Ta có thể suy diễn cách điều khiển như sau:
- Nếu mực nước = rất thấp thì góc mở van = lớn - Nếu mực nước = thấp thì góc mở van = nhỏ
- Nếu mực nước = vừa thì góc mở van = đóng
Trong ví dụ trên ta thấy có cấu trúc nếu X =A thì Y = B. Cấu trúc này được gọi là mệnh đề hợp thành. Biểu thức X = A được gọi là mệnh đề điều kiện, biểu thức Y = B
được gọi là mệnh đề kết luận.
Mệnh đề hợp thành trên là một ví dụ đơn giản về bộ điều khiển mờ. Nó cho phép từ một giá trị đầu vào xo hay cụ thể là từ độ phụ thuộc àA(xo) đối với tập mờ A của giá trị
đầu vào xo xác định được hệ số thỏa mãn mệnh đề kết luận q của giá trị đầu ra y. Hệ số thỏa mãn mệnh đề kết luận này được gọi là giá trị của mệnh đề hợp thành (A⇒B). Biểu diễn giá trị mờ đó là tập hợp C thì mệnh đề hợp thành mờ chính là một ánh xạ:
àA(xo) → àC(y)
3.3.2.2 Mô tả mệnh đề hợp thành mờ
ánh xạ àA(xo) → àc(y) chỉ ra rằng mệnh đề hợp thành là một tập mà mỗi phần tử là một giá trị ( àA(xo), àC(y)) tức là mỗi phần tử là một tập mờ. Mô tả mệnh đề hợp thành mờ tức là mô tả ánh xạ trên
Định lý Mamdani: Độ phụ thuộc của kết luận không được lớn hơn độ phụ thuộc của điều kiện
Biểu diễn định lý Mamdani dưới dạng công thức ta được:
àA(x) ≥ àA→B(y) PhÐp suy diÔn mê:
Giá trị của mệnh đề hợp thành Nếu X =A tjhì Y = B là một tập mờ B’ định nghĩa trên nền Y ( không gian nền của B) và có một hàm thuộc:
à(àA , àB) : [ 0, 1]2 → [0, 1] thoả mãn : a. àA ≥ à(àA, àB) với mọi àA, àB ∈ [0, 1]
b. à(àA, 0) = 0 với mọi àA ∈ [0,1]
c. àA1 ≤ àA2 ⇒ à( àA1, àB) ≤ à( àA2, àB)
Đây là hai quy tắc hợp thành thường được dùng trong lý thuyết điều khiển mờ để mô tả mệnh đề hợp thành A ⇒ B.
• Quy tắc hợp thành Min
Giá trị của mệnh đề hợp thành mờ nếu X = A thì Y = B là một tập mờ B’ định nghĩa trên nền Y ( không gian nền của B) và có hàm thuộc
àB’ (y) = min {àA, àB(y)} (3.19)
• Quy tắc hợp thành Prod
Giá trị của mệnh đề hợp thành mờ Nếu X = A thì Y = B là một tập mờ B’ định nghĩa trên nền Y ( không gian nền cảu B) và có hàm thuộc
àB’(y) = àA.àB (y) (3.20)
Như vậy ta có hai quy tắc hợp thành xác định giá trị mờ B’ của mệnh đề hợp thành.
Nếu hàm thuộc àB’(y) của B’ thu được theo qui tắc Min thì mệnh đề hợp thành có tên gọi là mệnh đề hợp thành Min. Nếu àB’(y) xác định theo qui tắc Prod thì mệnh đề hợp thành có tên gọi là mệnh đề hợp thành Prod
Nếu kí hiệu giá trị mờ đầu ra B’ ứng với giá trị rõ x0 đầu vào thì hàm thuộc B’ với qui tắc hợp thành Min sẽ là àB’(y) = min { àA(x0), àB(y)}
Với qui tắc hợp thành Prod, hàm thuộc B’ sẽ là àB’(y) = àA(x0).àB(y)