Định lý cơ bản của tích phân đường - Bài giảng giả- 123docz.net

For the special case , we get

where is the length of the curve (see Formula 10.3.3).

Line integrals along with respect to , , and can also be defined. For example,

Therefore, as with line integrals in the plane, we evaluate integrals of the form

by expressing everything , , , , , in terms of the parameter

EXAMPLE 5 Evaluate , where is the circular helix given by the equa-

tions , , , . (See Figure 9.)

SOLUTION Formula 9 gives

EXAMPLE 6 Evaluate , where consists of the line segment from to followed by the vertical line segment from to

SOLUTION The curve is shown in Figure 10. Using Equation 8, we write as

or, in parametric form, as

Thus

苷y1

0 共10 29t兲 dt苷10t 29 t2

2 册01苷24.5

y dxz dyx dz苷y1

0 共4t兲 dt共5t兲4 dt共2t兲5 dt 0 t1 z苷5t

y苷4t x苷2t

r共t兲苷共1t兲具2, 0, 0典 t具3, 4, 5典苷具2t, 4t, 5t典 C1

共3, 4, 0共2, 0, 0兲兲共3, 4, 5兲 C2 共3, 4, 5兲

x C

C y dxz dyx dz 苷s2 y2

0 1

2共1 cos 2t兲 dt苷 s2

2 [t12 sin 2t ]0

2苷s2

苷y2

0 sin2tssin2tcos2t1 dt

C y sin z ds苷y2

0 共sin t兲sin t 冑冉dxdt冊2冉dydt冊2冉dzdt冊2 dt

0t2 z苷t

y苷sin t x苷cos t

x C

C y sin z ds

dz兲 t. dy z dx 共x y

C P共x, y, z兲 dxQ共x, y, z兲 dyR共x, y, z兲 dz 10

苷yb

a f共x共t兲, y共t兲, z共t兲兲z共t兲 dt

C f共x, y, z兲 dz苷 lim

nl i兺苷n1 f共xi*, yi*, zi*兲zi

y z x C

C L

C ds苷yb

a ⱍr共t兲ⱍdt苷L

f共x, y, z兲苷1

930 ■ CHAPTER 13 VECTOR CALCULUS

FIGURE 9 1

x z

1 0 _1

0 _1 0

2 4 6

FIGURE 10

y z

(3, 4, 5)

(3, 4, 0) (2, 0, 0)

C¡ C™

Hình 3.11:Các đường cong trong Ví dụ 3.7.

ydx + zdy + xdz =

(4t)dt + (5t)4dt + (2 + t)5dt

(10 + 29t)dt =

10t + 29 t2 2

1 0

= 24.5

Tương tự phương trình tham số của đường C2là x = 3, y = 4, z = 5 − 5t, 0 ≤ t ≤ 1.

Do đó dx = dy = 0 và

ydx + zdy + xdz =

3(−5)dt

= −15 Tổng của hai tích phân trên ta được

ydx + zdy + xdz = 9.5

3.3. Định lý cơ bản của tích phân đường

Định lý cơ bản của tích phân xác định (Công thức Newton-Leibniz) là

F0(x)dx = F (b) − F (a) ở đó F0 liên tục trên [a, b].

Nếu ta coi véc tơ gradient ∇f của hàm hai hoặc ba biến f giống như vị trí của đạo hàm ở trên thì ta nhận được định lý cơ bản đối với tích phân đường.

TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

http://nguyenduchau.wordpress.com

3.3. Định lý cơ bản của tích phân đường 81 Định lý 3.2 Cho C là đường cong trơn, xác định bởi hàm véc tơ r(t), a ≤ t ≤ b và f là một hàm hai hoặc ba biến số khả vi cùng với trường véc tơ gradient của nó liên tục trên C. Khi đó

∇f.dr = f (r(b)) − f (r(a))

The Fundamental Theorem for Line Integrals ● ● ● ● ● ● ● ● Recall from Section 5.4 that Part 2 of the Fundamental Theorem of Calculus can be written as

where is continuous on . We also called Equation 1 the Total Change Theorem:

The integral of a rate of change is the total change.

If we think of the gradient vector of a function of two or three variables as a sort of derivative of , then the following theorem can be regarded as a version of the Fundamental Theorem for line integrals.

Theorem Let be a smooth curve given by the vector function , . Let be a differentiable function of two or three variables whose gradient vector is continuous on . Then

NOTE ● Theorem 2 says that we can evaluate the line integral of a conservative vector field (the gradient vector field of the potential function ) simply by knowing the value of at the endpoints of . In fact, Theorem 2 says that the line integral of is the total change in f. If is a function of two variables and is a plane curve with initial point and terminal point , as in Figure 1, then Theorem 2 becomes

If is a function of three variables and is a space curve joining the point to the point , then we have

Let’s prove Theorem 2 for this case.

FIGURE 1

y 0

x A(x¡, y¡, z¡)

B(x™, y™, z™) C

0 x y

A(x¡, y¡) B(x™, y™)

C ∇fⴢdr苷f共x2, y2, z2兲f共x1, y1, z1兲 B共x2, y2, z2兲

A共x1, y1, z1兲 C

C ∇fⴢdr苷f共x2, y2兲f共x1, y1兲 B共x2, y2兲

A共x1, y1兲

C f

∇f C

C ∇fⴢdr苷f共r共b兲兲f共r共a兲兲

∇ff C atb

r共t兲 2 C

∇f f 关a, b兴 F

a F共x兲 dx苷F共b兲F共a兲 1

13.3

936 ■ CHAPTER 13 VECTOR CALCULUS

Hình 3.12:Đường cong nối hai điểm trong mặt phẳng và trong không gian.

Cụ thể trong trường hợp hàm hai biến và C là đường cong với điểm đầu là A(x1, y1) và điểm cuối B(x2, y2) (Hình 3.12) thì định lý 3.2 trở thành

∇f.dr = f (x2, y2) − f (x1, y1)

Nếu f là hàm ba biến và C là đường cong với điểm đầu là A(x1, y1, z1) và điểm cuối B(x2, y2, z2) (Hình 3.12) thì định lý 3.2 trở thành

∇f.dr = f (x2, y2, z2) − f (x1, y1, z1)

Định nghĩa 3.3 Trường bảo toàn. Trường véc tơ F gọi là trường bảo toàn nếu tồn tại một hàm số f sao cho ∇f = F, khi đó f được gọi là hàm thế vị của F.

Định lý 3.3 Nếu F(x, y) = P (x, y)i + Q(x, y)j là trường bảo toàn, ở đó P và Q có các đạo hàm riêng cấp một liên tục trên miền D thì trên miền D ta có

∂P

∂y = ∂Q

∂x (3.2)

Ngược lại nếu điều kiện 3.2 thỏa mãn trên D thì F là trường bảo toàn.

Ví dụ 3.8 Kiểm tra tính bảo toàn của các trường véc tơ (a) F(x, y) = (x − y)i + (x − 2)j

(b) F(x, y) = (3 + 2xy)i + (x2− 3y2)j

TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

http://nguyenduchau.wordpress.com

3.3. Định lý cơ bản của tích phân đường 82

such that every simple closed curve in encloses only points that are in . Notice from Figure 7 that, intuitively speaking, a simply-connected region contains no hole and can’t consist of two separate pieces.

In terms of simply-connected regions we can now state a partial converse to Theo- rem 5 that gives a convenient method for verifying that a vector field on is conservative. The proof will be sketched in the next section as a consequence of Green’s Theorem.

Theorem Let be a vector field on an open simply-connected region . Suppose that and have continuous first-order derivatives and

Then is conservative.

EXAMPLE 2 Determine whether or not the vector field

is conservative.

SOLUTION Let and . Then

Since , is not conservative by Theorem 5.

EXAMPLE 3 Determine whether or not the vector field

is conservative.

SOLUTION Let and . Then

Also, the domain of is the entire plane , which is open and simply- connected. Therefore, we can apply Theorem 6 and conclude that is conservative.

In Example 3, Theorem 6 told us that is conservative, but it did not tell us how to find the (potential) function such that . The proof of Theorem 4 gives us a clue as to how to find . We use “partial integration” as in the following example.

EXAMPLE 4

(a) If , find a function such that .

(b) Evaluate the line integral , where is the curve given by , 0 t .

r 共 t 兲苷 etsin t i etcos t j

x C

C F ⴢ dr

F 苷 ∇ f f

F 共 x, y 兲苷共 3 2xy 兲 i 共 x2 3y2兲 j f

F 苷 ∇f f

F 共 D 苷⺢2兲

y 苷 2x 苷 Q

x Q 共 x, y 兲苷 x2 3y2 P 共 x, y 兲苷 3 2xy

F 共 x, y 兲苷共 3 2xy 兲 i 共 x2 3y2兲 j P 兾 y 苷 Q 兾 x F

x 苷 1

y 苷 1

Q 共 x, y 兲苷 x 2 P 共 x, y 兲苷 x y

F 共 x, y 兲苷共 x y 兲 i 共 x 2 兲 j F

throughout D P

y 苷 Q

x Q P D

F 苷 P i Q j 6

⺢2 D D

940 ■ CHAPTER 13 VECTOR CALCULUS

FIGURE 7

simply-connected region

regions that are not simply-connected

FIGURE 9 C¡ C™

_2 2

▲ Figures 8 and 9 show the vector ﬁelds in Examples 2 and 3, respec- tively. The vectors in Figure 8 that start on the closed curve all appear to point in roughly the same direction as

. So it looks as if and therefore is not conservative. The calculation in Example 2 conﬁrms this impression. Some of the vectors near the curves and in Figure 9 point in approximately the same direction as the curves, whereas others point in the opposite direction. So it appears plau- sible that line integrals around all closed paths are . Example 3 shows that is indeed conservative.

F 0

xC Fⴢdr0 C

C C

_10

_10 10

FIGURE 8

Theorem Let be a vector field on an open simply-connected region . Suppose that and have continuous first-order derivatives and

Then is conservative.

EXAMPLE 2 Determine whether or not the vector field

is conservative.

SOLUTION Let and . Then

Since , is not conservative by Theorem 5.

EXAMPLE 3 Determine whether or not the vector field

is conservative.

SOLUTION Let and . Then

Also, the domain of is the entire plane , which is open and simply- connected. Therefore, we can apply Theorem 6 and conclude that is conservative.

EXAMPLE 4

(a) If , find a function such that .

(b) Evaluate the line integral , where is the curve given by , 0 t .

r 共 t 兲苷 etsin t i etcos t j

x C

C F ⴢ dr

F 苷 ∇ f f

F 共 x, y 兲苷共 3 2xy 兲 i 共 x2 3y2兲 j f

F 苷 ∇ f f

F 共 D 苷⺢2兲

y 苷 2x 苷 Q x Q 共 x, y 兲苷 x2 3y2 P 共 x, y 兲苷 3 2xy

F 共x, y兲苷共3 2xy兲 i 共 x2 3y2兲 j P 兾 y 苷 Q 兾 x F

Q x 苷 1 P

y 苷 1

Q 共 x, y 兲苷 x 2 P 共 x, y 兲苷 x y

F 共 x, y 兲苷共 x y 兲 i 共 x 2 兲 j F

throughout D P

y 苷 Q x Q P D

F 苷 P i Q j 6

⺢2 D D

940 ■ CHAPTER 13 VECTOR CALCULUS

FIGURE 7

simply-connected region

regions that are not simply-connected

FIGURE 9 C¡ C™

_2 2

▲ Figures 8 and 9 show the vector ﬁelds in Examples 2 and 3, respec- tively. The vectors in Figure 8 that start on the closed curve all appear to point in roughly the same direction as

0 F

C2 C1 F

xC Fⴢdr0 C

C C

_10

_10 10

FIGURE 8

Hình 3.13:Các trường véc tơ trong ví dụ3.8.

Giải.

(a) P (x, y) = x − y và Q(x, y) = x − 2. Ta có Py0 = −1 và Q0x= 1, do đó F không phải là trường bảo toàn.

(b) P (x, y) = 3x + 2xy và Q(x, y) = x2− 3y2. Ta có Py0 = 2x và Q0x= 2x, do đó F là trường bảo toàn.

Định lý 3.4 Nếu F là trường bảo toàn trên miền D thì trong miền D tích phân đường không phụ thuộc vào đường lấy tích phân mà chỉ phụ thuộc và điểm đầu và điểm cuối của quỹ đạo ấy và

F.dr = 0

với mọi đường cong đóng C trong D.

Ví dụ 3.9 Cho F(x, y) = (3 + 2xy)i + (x2− 3y2)j (a) Tìm hàm f sao cho F = ∇f .

(b) Tìm tích phân đường R

F.dr, ở đó C là đường xác định bởi r(t) = (etsin t)i + (etcos t)j, với t biến thiên từ 0 đến π.

Giải.

(a) Từ ví dụ 3.8 ta đã có F là trường bảo toàn và do đó tồn tại f sao cho F = ∇f, nghĩa là

fx0(x, y) = 3 + 2xy (3.3) fy0(x, y) = x2− 3y2 (3.4) Tích phân hai vế phương trình 3.3 theo biến x (chú ý rằng hằng số của tích phân là hằng số theo biến x do đó là một hàm số của y) ta nhận được

f (x, y) = 3x + x2y + g(y) (3.5)

TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

http://nguyenduchau.wordpress.com