TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ

Cho hàm số y  f x( ) cò đồ thð ( )C1 và y g x( ) cò đồ thð (C2). PhþĄng trình hoành độ gi o điểm cû ( )C1 và (C2)

là f x( )g x ( ) 1 . Khi đò:

 Số gi o điểm cû (C1) và ( )C2 bìng vĆi số nghiệm cû phþĄng trình  1 .

 Nghiệm x0 cû phþĄng trình  1 chính là hoành độ x0 cû gi o điểm.

 Để tính tung độ y0 cû gi o điểm, t th y hoành độ x0 vào

 



y f x hoðc y g x .

 Điểm M x y 0; 0 là gi o điểm cû ( )C1 và ( )C2 .

ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG 1. Bài toán tìm điểm ố đðnh ủa họ đường ong

Xét họ đþąng cong (Cm) cò phþĄng trình y  f x m( , ), trong đò f là hàm đ thĀc theo biến x vĆi m là th m số s o cho bêc cû m không quá 2. Tìm nhĂng điểm cố đðnh thuộc họ đþąng cong khi m th y đổi?

 Phương pháp giâi:

+ Bước 1: Đỵ phỵĄng trỡnh y f x m( , ) về dọng phỵĄng trỡnh theo ốn m cũ dọng s u:Am B 0 hoðc Am2 Bm C 0.

x y

y0

x0 O

+ Bước 2: Cho các hệ số bìng 0, t thu đþợc hệ phþĄng trình và giâi hệ phþĄng trình:   



A B

0

0 hoðc

 

 

  A B C

0 0 0

. + Bước 3: Kết luên:

- Nếu hệ v nghiệm thì họ đþąng cong (Cm) kh ng cò điểm cố đðnh.

- Nếu hệ cò nghiệm thì nghiệm đò là điểm cố đðnh cû (Cm). 2. Bài toán tìm điểm ò tọa độ nguy n:

Cho đỵąng cong ( )C cũ phỵĄng trỡnh y  f x( ) (hàm phồn thĀc).

Hãy tìm nhĂng điểm cò tọ độ nguy n cû đþąng cong?

Những điểm cò tọa độ nguyên là những điểm sao cho câ hoành độ và tung độ của điểm đò đều là số nguyên.

 Phương pháp giâi:

+ Bước 1: Thăc hiện phép chi đ thĀc chi tā số cho méu số.

+ Bước 2: Lêp luên để giâi bài toán.

3. Bài toỏn tỡm điểm ũ tớnh hỗt đối xứng:

Cho đþąng cong ( )C cò phþĄng trìnhy  f x( ). Tìm nhĂng điểm đối xĀng nh u qu một điểm, qu đỵąng thợng.

Bài toán 1: Cho đồ thð  C :y Ax3 Bx2 Cx Dtrên đồ thð  C tìm

những cặp điểm đối xứng nhau qua điểmI x y( , )I I .

 Phương pháp giâi:

+ Gọi M a Aa ; 3 Ba2 Ca D N b Ab  , ; 3 Bb2 Cb D  là h i điểm trên  C đối xĀng nh u qu điểm I .

+ Ta có     I        I

a b x

A a3 b3 B a2 b2 C a b D y 2

( ) 2 2 .

Giâi hệ phþĄng trình tìm đþợc a b, tÿ đị tìm đþợc tộ độ M, N.

Trườn hợp đặc biệt : Cho đồ thð  C :y Ax3 Bx2 CxD. Trên đồ

thð  C tìm những cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ.

 Phương pháp giâi:

 Gọi M a Aa , 3 Ba2 Ca D N b Ab  , , 3 Bb2 Cb D  là h i điểm trên  C đối xĀng nh u qu gốc tọ độ.

 Ta có  a bA a( 3 b03)B a 2 b2C a b  2D 0 .

 Giâi hệ phþĄng trình tìm đþợca b, tÿ đị tìm đþợc tộ độ M N, . Bài toán 3: Cho đồ thð  C :y Ax3 Bx2 Cx Dtrên đồ thð  C tìm

những cặp điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d y: Ax1 B1.

 Phương pháp giâi:

 Gọi M a Aa ; 3Ba2Ca D  ,N b Ab; 3Bb2Cb D  là h i điểm tr n

 C đối xĀng nh u qu đỵąng thợng d.

 Ta có:  

 d  I d MN u

(1)

. 0 (2) (vĆi I là trung điểm cû MN và ud là vectĄ chợ phỵĄng cỷ đỵąng thợng d).

 Giâi hệ phþĄng trình tìm đþợc M, N.

4. Bài toán tìm điểm đặ iệt, hoâng á h

 Lý thuyết:

+ Cho h i điểm A x y 1; 1 ;B x y2; 2

   

AB  x2 x1 2  y2 y1 2

Cho điểm M x y 0; 0 và đỵąng thợng d Ax By C:   0, thỡ khoõng cỏch tÿ M đến d là    



Ax By C

h M d

A B

0 0

2 2

; .

+ Cho hàm phồn thĀc: y ax b cx d

 

 tiếp tuyến tọi M cớt TCĐ, TCN ć A và B thì M là trung điểm cû AB.

Diện tích t m giác IAB kh ng đổi: SIAB ad bc c2

 2  .

 Các bài toán thường gặp:

Bài toán 1: Cho hàm số y  ax bcx d c  0,ad bc 0 cò đồ thð  C .

Hãy tìm trên ( )C hai điểm A và B thuộc hai nhánh đồ thð hàm số sao cho khoõng cỏch AB ngắn nhỗt.

 Phương pháp giâi:

  C cò tiệm cên đĀng  d

x c do tớnh chỗt cỷ hàm phồn thĀc, đồ thð nìm về h i phí cû tiệm cên đĀng. N n gọi h i số  , là h i số dþĄng.

 Nếu A thuộc nhánh trái: A   d A     d  d

x x

c c c ; yA  f x( )A .

 Nếu B thuộc nhánh phâi: B   d B   d   d

x x

c c c ; yB  f x( )B .

 S u đò tính:

         

 B  A  B  A        B  A

AB2 x x 2 y y 2 a a 2 y y 2.

 Áp dýng bỗt đợng thĀc Cauchy sẽ tỡm r kết quõ.

Bài toán 2: Cho đồ thð hàm số  C cò phương trình y  f x( ). Tìm tọa độ điểm M thuộc ( )C để tổng khoâng cách từ M đến hai trục tọa độ nhú nhỗt.

 Phương pháp giâi:

 Gọi M x y ; và tổng khoâng cách tÿ Mđến h i trýc tọ độ là d

thì d  x  y .

 Xét các khoâng cách tÿ M đến h i trýc tọ độ khi M nìm ć các vð trí đðc biệt: Tr n trýc hoành, tr n trýc tung.

 S u đò xét tổng quát, nhĂng điểm M cò hoành độ, hoðc tung độ lĆn hĄn hoành độ hoðc tung độ cû M khi nìm tr n h i trýc thì lội đi kh ng xét đến.

 NhĂng điểm củn lọi t đỵ về tỡm giỏ trð nhú nhỗt cỷ đồ thi hàm số dă vào đọo hàm rồi tỡm đỵợc giỏ trð nhú nhỗt cỷ d. Bài toán 3: Cho đồ thð ( )C cò phương trìnhy f x( ). Tìm điểm

Mtrờn ( )C sao cho khoõng cỏch từ Mđến Ox ằng k lổn khoõng cỏch

 Phương pháp giâi:

Theo đổu bài t cũ  

 

   



        

y kx f x kx

y k x

y kx f x kx.

Bài toán 4: Cho đồ thð hàm số ( )C cò phương trình

 

( ) ax b 0, 0

y f x c ad bc

cx d

     

 . Tìm tọa độ điểm M trên ( )C sao cho độ dài MIngắn nhỗt (với I là giao điểm hai tiệm cận).

 Phương pháp giâi:

 Tiệm cên đĀng  d

x c ; tiệm cên ng ng a y c .

 T tìm đþợc tọ độ gi o điểm  

 

I d a

c c; cû h i tiệm cên.

 Gọi M x y M; M là điểm cổn tỡm. Khi đũ:

     

      

 M   M  M

d a

IM x y g x

c c

2 2

2

 Sā dýng phþĄng pháp tìm GTLN - GTNN cho hàm số g để thu đþợc kết quâ.

Bài toán 5: Cho đồ thð hàm số ( )C cò phương trình y  f x( ) và đường thẳng d Ax: By C 0. Tìm điểm I trên ( )C sao cho khoâng cỏch từ I đến d là ngắn nhỗt.

 Phương pháp giâi:

 Gọi I thuộc ( )C I x y 0; 0; y0  f x( )0 .

 Khoâng cách tÿ I đến d là     



Ax By C

g x h I d

A B

0 0

0 2 2

( ) ;

 Khâo sát hàm số y g x( ) để tìm r điểm I thó mãn y u cổu.