Cách giải: Vận dụng tính chất về đường chéo của hình bình hành Bài 1:
Cho hình bình hành ABCD , O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của và
a. Chứng minh rằng tứ giác AMCN là hình bình hành
MP, NQ
b. Tia AM cắt BC ở E , tia CN cắt AD ở F . Chứng minh rằng AC , BD , EF đồng quy
A B
1 2 M
E
F O
N 2 1
D C
Lời giải a. Cách 1: Ta có OA = OC ⇒ ◊AMCN là hình bình hành
OM =ON
Cách 2: ∆AOM = ∆OCN ( cgc ) ⇒ AM / / CN , AM = CN ⇒ ◊AMCN là hình bình hành. b. Ta có AC và BD cắt nhau tại O , ta đi chứng minh AC cắt EF tại O
⇒AE//CF
+) A=C1
⇒ ∆ABE = ∆CDF ⇒ AE = CF
+) Ta có: A1 + A2 = C1 + C2 ⇒ A2= C2
Vậy ◊AECF là hình bình hành ⇒ AC ∩ BD ≡ O
Bài 2:
Cho hình bình hành ABCD . Trên tia đối của tia AD và CB , lấy các điểm M và P sao cho
AM = CP . Tên tia đối của BA và DC lấy các điểm N và Q sao cho BN = DQ .
Chứng minh rằng bốn đường thẳng
AC và BD đồng quy. Q
M
A B O
D C
P
N
11
Lời giải
Tứ giác AMCP là hình bình hành nên MP đi qua trung điểm O của AC Tứ giác ANCQ là hình bình hành nên NQ đi qua trung điểm O của AC Tứ
giác ABCD là hình bình hành nên BD đi qua trung điểm O của AC Do đó
bốn đường thẳng MP , NQ , BD và AC đồng quy.
Bài 3:
Cho tam giác ABC và O là một điểm thuộc miền trong của tam giác. Gọi D , E , F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC , CA
và L , M , N lần lượt là trung điểm của các đoạn OA, OB , OC Chứng minh rằng EL , EM , DN đồng quy.
A L
D O F
M N
B E C
Lời giải Gọi I là trung điểm của LE , ta có: DL / / EN / /OB
Và DL = EN = 1
2 OB ⇒ ◊DENL là hình bình hành
Chứng minh tương tự ta có LMEF là hình bình hành ⇒ EL , FM , DN đồng quy tại 1 điểm.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:
Cho tam giác ABC . Từ 1 điểm E trên cạnh
AC vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB
tại F và đường thẳng song song với AB cắt
BC tại D . Giả sử AE = BF , chứng minh a. Tam giác AED cân
b. AD là phân giác của góc A
A
F E
B D C
Lời giải
a. Chứng minh BDEF là hình bình hành ⇒ ED = BF = AE ⇒ ∆AED cân tại E
b. Ta có BAD = DAC ( = ADE ) ⇒ AD là phân giác của A Bài 2:
Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB . Từ vẽ CE vuông góc với AB . Nối E với trung điểm M của AD . Từ M vẽ MF vuông góc với
CE cắt BC tại N
a. Tứ giác MNCD là hình gì?
b. Tam giác EMC là tam giác gì?
c. Chứng minh 2 BAD = AEM
E
F
B N
A M D
Lời giải a. Ta có MNCD là hình bình hành
b. Chứng minh được F là trung điểm của CE ⇒ ∆ECM cân tại M
c. Chứng minh được cân tại
AEM = FMC ⇒ CMD = DCM = MCB M
mà nên 2 2
AE / /MF BAD = FMD = CMD = AEM
Bài 3:
Cho hai điểm cố định B , C . Một điểm A thay đổi trên một trong hai nửa mặt phẳng bờ BC
sao cho A, B , C không thẳng hàng. Dựng hai tam giác vuông cân ADB và ACE Với DA = DB , EA = EC sao cho điểm D nằm khác phía đối với C đối với đường thẳng AB và điểm E
nằm khác phía điểm B đối với đường thẳng
AC . Gọi M là trung điểm của DE . Chứng minh rằng đường thẳng AM luôn đi qua một điểm cố định.
A E M
N H
D
B C
Lời giải
nhọn: Dựng hình bình hành AEND ta có: BD = DA = EN ; DN = AE = EC
Trường hợp BAC
90 0 0
Lại có NDB = −NDA=90 − AEN = CEN
∆BDN và ∆NEC có:
BD = NE; NDB = CEN; DN = CE ⇒ ∆BDN = ∆NEC ⇒ BN = CN, DNB = ECN
Mặt khác AE ⊥ CE , DN / / AE ⇒ DN ⊥ CE (1)
0 0
Đặt DN cắt CE tại H ⇒ HCN +HNC =90 ⇒BNC =90
Do đó ∆BNC vuông cân tại N ⇒ N cố định.
Vậy AM luôn đi qua điểm N cố định.
HÌNH CHỮ NHẬT
A. Tóm tắt lý thuyết A
1. Định nghĩa: Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông
◊ABCD
ˆ ˆ ˆ ˆ
ABCD là hình chữ nhật ⇔
A= B = C = D
*) Nhận xét: Hình chữ nhật cũng là một hình bình hành, một D
hình thang cân
2. Tính chất: Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bình A hành và hình thang cân
- Tính chất về cạnh: Các cạnh đối bằng nhau, song song với nhau I - Tính chất về góc: Bốn góc bằng nhau
- Tính chất về đường chéo: Hai đường chéo bằng nhau và cắt D nhau tại trung điểm của mỗi đường
3. Dấu hiệu nhận biết
- Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật
- Hình thang cân có 1 góc vuông là hình chữ nhật - Hình bình hành có 1 góc vuông là hình chữ nhật
- Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật 4. Cách vẽ hình chữ nhật
Có bốn cách vẽ hình chữ nhật cơ bản nhưng hay dùng nhất là hai cách sau Cách 1: Sử dụng lưới ô vuông để vẽ tứ giác có bốn góc vuông
Cách 2: Vẽ tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường theo hai bước
Bước 1: Vẽ hai đường thẳng cắt nhau tại O O
Bước 2: Vẽ đường tròn tâm O bán kính bất kì cắt hai đường thẳng trên tại bốn điểm ta được bốn đỉnh của hình chữ nhật
*) Lưu ý:
B
C
B
C
+) Cách 1 không chứng minh được là nhận được hình chữ nhật, chỉ là ảnh của hình chữ nhật
Ứng dụng vào tam giác vuông
Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền, ta có: BM = 1
2 AC
Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với 1 cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông:
Nếu BM = 1
2 AC ⇒ ∆ABC vuông tại A
A
B
M
C
Từ tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông ta thu được khái niệm thứ ba
- Cứ nói đến tam giác vuông phải nghĩ tới đường trung tuyến ứng với cạnh huyền
- Ý nghĩa của kinh nghiệm này là: Với các bài toán mà giả thiết hoặc kết luận đề cập đến tam giác vuông thì khi vẽ đường phụ ta vẽ thêm đường trung tuyến ứng với cạnh huyền.
7. Từ dấu hiệu nhận biết tam giác vuông ta có cách vẽ ∆ABC A
vuông tại A theo hai bước sau
Bước 1: Vẽ đường tròn đường kính BC
Bước 2: Lấy điểm A bất kì trên đường tròn ta được ∆ABC vuông B C
tại A
Từ dấu hiệu nhận biết tam giác vuông ta có thể vẽ các đường cao của tam giác nhọn ∆ABC bằng thước kẻ và compa theo hai bước Bước 1: Vẽ nửa đường tròn đường kính BC
Bước 2: Giao điểm của hai cạnh AB , AC với nửa đường tròn chính là chân đường cao kẻ từ B và C . Giao điểm của hai đường cao là trực tâm của tam giác, nối đỉnh A với trực tâm ta được đường cao thứ ba
B. Bài tập và các dạng toán
Dạng 1: Chứng minh 1 tứ giác là hình chữ nhật