Cách giải: Vận dụng định nghĩa và các tính chất về cạnh, góc, đường chéo của hình thoi Bài 1:
Cho hình thoi ABCD , độ dài mỗi cạnh là
13cm . Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Vẽ OH ⊥ AD . Biết OH = 6cm , tính tỉ số của hai đường chéo BD và AC
B
A O C
A tù. Biết
H D
Lời giải
Vẽ BK⊥AD
Xét ∆BKD có OH / / BK ( ⊥ AD ) ,OB = OD ⇒ KH = HD
Vậy OH là đường trung bình của ∆BKD ⇒ OH = 1BK ⇒ BK = 12cm 2
Xét ∆ABK vuông tại K , ta có: AK2 = AB2 − BK2=132 −122 = 25 ⇒ AK = 5cm ⇒ KD = 8cm
Xét ∆BKD vuông tại K , ta có: BD2 = BK2 + DK2 =122 +82 = 208
Xét ∆AOH vuông tại H , ta có: OA OA 2 2 2 2 2 AC 2 2
= OH + AH = 6 + 9 = 117 ⇒ =117 ⇒ AC = 468
2 Do đó BD2 =208 =4⇒ BD =2 .
468 9 AC
AC2 3
Bài 2:
Cho hình thoi ABCD có góc
đường cao kẻ từ đỉnh A đến cạnh CD chia đôi cạnh đó. Tính các góc của hình thoi
A B
D H C
7
Lời giải
Gọi H là chân đường cao kẻ từ A đến cạnh CD và từ giả thiết ta có:
AH ⊥CD ⇒ AH là đường trung trực của đoạn CD nên AC = AD (1)
CH=HD
60 0 Áp dụng định nghĩa vào hình thoi ABCD nên ∆ACD là tam giác đều, do đó D =
Vì góc D và góc là hai góc trong cùng phía của AB / /CD nên chúng bù nhau hay
A
0 0− 60 0= 120 0 D+ A=180 ⇒ A =180
0 0 .
Áp dụng tính chất về góc vào hình thoi ta được B = D = 60 ,A=C =120
Bài 3:
Trên cạnh AB và CD của hình thoi ABCD I K B
lấy các điểm P và Q sao cho M
1 1 P
A
P = 3 AB , CQ = 3 CD . Gọi I là giao điểm A O Q C
của PQ và AD , K là giao điểm của DP và
BI . Chứng minh rằng: D
a) ∆BID vuông BK=IK
Lời giải
Gọi M là trung điểm của BP ⇒ BM = CQ ⇒ BMCQ là hình bình hành QM = BC,QM / /BC
∆AIP = ∆MQP ( gcg ) ⇒ AI = MQ ⇒ AI = AD ( = MQ ) ⇒ ∆BID có BA là đường trung tuyến,
AI = AD = AB ⇒ ∆BID vuông tại B
∆IBD có BA là đường trung tuyến, AP = 1
3 AB ⇒ P là trọng tâm ⇒ BK = IK .
8
Bài 4:
Cho ∆ABC có AB < AC . Trên cạnh AC của tam giác lấy điểm D sao cho CD = AB . Gọi
là trung điểm của AC , N là trung điểm
của BD . Vẽ đường phân giác AK của góc BAC . Chứng minh rằng
A P
D
Q N
B K M C
Lời giải
a. Ta có đều ⇒ AH = HD
Tứ giác ABDE có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và vuông góc với nhau nên là hình thoi (dấu hiệu nhận biết)
b. Có ABCD là hình thoi ⇒ CD / / AB
Có ABDE là hình thoi ⇒ DE / / AB ⇒ E , D , C thẳng hàng c. Xét ◊ABCE có AB / /CE ⇒ ◊ABEC là hình thang
Lại có AE = AB = BC ⇒ là hình thang có hai cạnh kề bằng nhau
0⇒ ABCE là hình thang cân ⇒ AC = BE C=E=60
Bài 5:
Cho hình thoi ABCD có 0, vẽ BH a. Chứng minh rằng tứ giác
600
A= ⇒∆ABD
AK⊥NQ
EB=AC
B
A
C H
D
E
Lời giải
0⇒ ∆ABD đều ⇒ AH = HD
a. Ta có A = 60
9
Tứ giác ABDE có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và vuông góc với nhau nên là hình thoi (dấu hiệu nhận biết)
b. Có ABCD là hình thoi ⇒ CD / / AB
Có ABDE là hình thoi ⇒ DE / / AB ⇒ E , D , C thẳng hàng c. Xét ◊ABCE có AB / /CE ⇒ ◊ABEC là hình thang
Lại có AE = AB = BC ⇒ là hình thang có hai cạnh kề bằng nhau
0⇒ ABCE là hình thang cân ⇒ AC = BE C=E=60
Bài 6:
Cho hình bình hành ABCD có
0 , AD = 2AB . Gọi M là trung điểm của
A=60
AD, N là trung điểm của BC. Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với MN ở E cắt
AB ở F . Chứng minh rằng a.
Tứ giác MNCD là hình thoi b.
E là trung điểm của CF c.
Tam giác MCF đều d. F , N , D thẳng hàng
e. 2
BAD = AFM
F
E
B C
1 2
60° 3
A M D
Lời giải
1
a. ◊MNCD có: NC = MD = 2BC ⇒ ◊MNCD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết) NC / /MD
Ta lại có MD = DC = 1
2 AD = 1
2 BC ⇒ ◊MNCD là hình thoi (dấu hiệu nhận biết) b. Xét ∆BCF có N là trung điểm của BC ,
NE / /BF ⇒ E là trung điểm của FC
c. Xét có là đường cao, đường trung tuyến cân tại
∆MCF ME ⇒ ∆MCF M ⇒ M1 = M2
Mặt khác ta lại có MNCD là hình thoi
⇒ M2 = 2M3
= 600 0 ⇒ ∆MFC là tam giác đều
⇒ M1 +M2 =M2 + M3 ⇒FMC=60
d. Xét ∆MFC có FM = FC ⇒ F thuộc đường trung trực của MC
mặt khác DM = DC ⇒ D thuộc đường trung trực của MC Vậy
FD là đường trung trực của MC (1)
◊MNCD là hình thoi ⇒ ND là đường trung trực của MC (2) Từ (1)(2) ⇒ FD ≡ ND ⇒ F , N , D thẳng hàng
BAD = NMD
e. NMD=M1+M2 =
M
3
= AFM
2M3 ⇒ BAD = 2AFM
Bài 7:
Cho hình thoi ABCD có B = 60 . Kẻ
0
AE⊥DC,AF ⊥BC
Chứng minh AE = AF
Chứng minh tam giác AEF đều.
Biết BD = 16cm , tính chu vi tam giác AEF
Lời giải
nên AE = FA
a) Do AC là phân giác của góc DBC
0 0
. Vậy ∆AEF cân và b) Có B = 60 nên ∆ABC và ∆ADC là các tam giác đều ⇒ EAC = FAC = 30
có FAE = 60 nê n B = 60 đề u.
0 0
EF là đường trung bình của tam giác BCD . Vậy FE = 1
2 DB = 8cm;
Chu vi ∆AEF là 24cm
Bài 8:
Cho ∆ABC ( AB < AC ) . Trên tia đối của tia
BA lấy điểm M , trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho BM = CN . Gọi D , E , P , Q lần lượt là trung điểm của BC , MN , MC , NB
a) DE cắt AM tại J . Chứng minh rằng
PEQ = MJQ
DE cắt AN tại I . Chứng minh rằng DE song song với đường phân giác của
BAC
A I J 1 2
B D C
P Q
N E
M
Lời giải a) ∆BMN có QE là đường trung bình nên ta có QE / /BM
Tương tự ta có DP / / BM , QD / / CN , PE / / CN ⇒ QE / / DP , PE / /DQ ⇒ DPEQ là hình bình hành
PEQ = PDQ
Mặt khác (so le trong)
PDQ = MJQ
Vậy
PEQ = MJQ
b) Gọi là đường phân giác của
Ax BAC
Ta có DP = 1
2 BM , PE = 1
2 CN ⇒ DP = PE ( BM = CN )
Do đó DPEQ là hình thoi ⇒ DE là phân giác của DPQ đồng thời PDQ = PEQ = MJQ = BAC
(đồng vị) (hai góc đồng vị bằng nhau).
⇒ A2 = D2 = DIC ⇒ DE / / Ax
Dạng 3: Tìm điều kiện để tứ giác là hình thoi