Cách giải: Vận dụng định nghĩa và các tính chất về cạnh, góc, đường chéo của hình vuông.
Bài 1:
Cho hình chữ nhật ABCD . Trên tia đối của tia CB và DA lần lượt lấy hai điểm E và F Sao cho CE = DF = CD . Trên tia đối của tia CD
lấy điểm H sao cho CH = CB . Chứng minh
AE vuông góc FH
A B
H
D K C
F E
Lời giải AE=DF
AD,CD
⇒ CDFE là hình vuông Tứ giác CDFE có CE = DF = CD , DF / / CE , D = 90
0
Ta có: AF = HD , HDF = AFE = 90 , FE = DF ⇒ ∆AFE = ∆HDF ⇒ EAF = FHD
Gọi K là giao điểm của AE và CD
, 900 900 AKD = HKE AKD + FAE = ⇒ HKE + FAE =
Mà 900
EAF = FHD ⇒ HKE + FHD = Vậy AE vuông góc với HF
Bài 2:
Cho hình vuông ABCD . Trên các cạnh lần lượt lấy các điểm E, F sao cho . Chứng minh
∆ADF = ∆BAE BE⊥AF
A B
I
D F C
Lời giải a. Ta có ∆ADF = ∆BAE(cgc) ⇒ AEI = DFA
b. Gọi I là giao điểm của AF và BE
0 (đpcm) Có: EAI = AEI =EAI+DFA=90
5
Bài 3:
Cho hình vuông ABCD . Trên tia đối của tia BA lấy điểm E , trên tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho AE = CF
a. Chứng minh ∆EDF vuông cân
b. Gọi I là trung điểm của EF . Chứng minh IB=ID
c. Chứng minh A, C , I thẳng hàng
A B E
O
D C
I
F
Lời giải
( ) ,
a.∆AED = ∆CFD cgc ⇒ DE = DF ADE = CDF
900
EDF = EDC + CDF = EDC + ADE =
Ta có IB = ID = 1 2 EF
Do IB = ID nên I thuộc đường trung trực của BD ⇒ I ∈ AC
Bài 4:
Cho hình bình hành ABCD . Vẽ về phía ngoài hình bình hành hai hình vuông ABEF và
ADGH . Chứng minh
F E
AC = FH và AC ⊥ FH
∆CEG vuông cân
I H
G
D A
C B
Lời giải
∆AFH = ∆BAC ( cgc ) ⇒ FH = AC
Gọi I là giao điểm của FH và AC
0 ⇒FH⊥AC
Do AFH = BAC ⇒ IAF +AFH =IAF+BAC =90
b. ∆GCD = ∆CEB ( cgc ) ⇒ GC = CE
Ta có: 180 0 0 0
= ECB+CBE + BEC = ECB+CBA+90 +BEC ⇒ ECB + CBA+ BEC = 90
0 (1)
mà BEC = GCD ⇒ ECB + CBA + GCD = 90
Mặt khác do ABCD là hình bình hành, 0 0 (2)
DCB+CBA=90 ⇔ ECB + GCE + GCD + CBA =180
0
Từ (1)(2) ⇒ GCE = 90
Bài 5:
Cho hình vuông ABCD cạnh 6cm , điểm E thuộc cạnh CD , tia phân giác của góc DAE cắt CD ở F . Gọi H là hình chiếu của F trên
AC , AC là giao điểm của HF và BC a. Tính độ dài AH
b. Chứng minh rằng AK là phân giác của góc BAE
c. Tính chu vi tam giác CFK
A 4 B
3 1 2
K
H
D F E C
Lời giải a. Ta có ∆ADF = ∆AHF ( cgc ) ⇒ AH = HD = 6cm
⇒ AK
b. ∆AHK = ∆ABK ( ch − cgvc ) ⇒ A3= A4 là phân giác của BAE
Chu vi ∆CFK = CF + FK + KC = CF + FH + HK + CK = CF + FD + KB + KC = 12( cm)
Bài 6:
Cho hình vuông ABCD và E , F theo thứ tự A E B
là trung điểm của AB , BC
a. Chứng minh rằng CE ⊥ DF F
b. Gọi M là giao điểm của CE và DF . M
Chứng minh AM = BM (Gợi ý có thể gọi N H 1
là trung điểm của CD ). 1 N 2
D C
Lời giải
= 900 = 900
a. Ta có: M ⇒ D1+ C2 ⇒ D1= C1 ⇒ ∆DCF = ∆CBE ( cgc)
b. Gọi N là trung điểm của CD
+) ◊AECN là hình bình hành ⇒ AN / /EC ⇒ DF ⊥ AN = H
+) ∆DMC có: ND = NC ⇒ H là trung điểm của MD NH / /MC(AN / /EC)
+) ∆ADM có AH là đường cao, H là trung điểm của MD ⇒ AM = AD = AB (đpcm).
Bài 7:
Cho hình vuông ABCD và 1 điểm E bất kỳ nằm giữa hai điểm A và B . Trên tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho AE = CF
a. Tính
b. Gọi G là điểm đối xứng với D qua trung điểm I của EF . Tứ giác DEGF là hình gì? Vì sao?
Chứng minh ba đường thẳng AC , DG , EF
đồng quy tại 1 điểm.
A E B
G
D C
F
Lời giải
0
a. EDF = EDC + CDF = EDC + EDA = 90 (CDF = EDA)
900 EDF =
b. Xét ◊DEGF có EI = IF , DI = IG ⇒ ◊DEGF là hình bình hành , lại có 0⇒ ◊DEGF là
D=90
hình chữ nhật
mà ∆ADE = CDF ⇒ ED = FD ⇒ ◊DEGF là hình vuông (dấu hiệu nhận biết) c. Ta có EF giao DG tại I , ta đi chứng minh I thuộc đường trực của AC
Có: IB = ID = 1
2 EF ⇒ I thuộc đường trung trực của BD ⇒ I ∈ AC ( AC là đường trung trực của
BD )
Bài 8:
Cho hình vuông ABCD . Trên tia đối của tia
CB lấy điểm M , trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho BM = DN . Vẽ hình bình hành
AFMN . Chứng minh rằng:
∆ABM = ∆ADN
Tứ giác AFMN là hình vuông
Kẻ FH ⊥ BM , FK ⊥ CN , chứng minh rằng
900 ACF =
B , O , D thẳng hàng ( O là trung điểm của
AF )
H F
M 2 O
1 1
C D N
K 2
2
B A
Lời giải
a. ∆ABM = ∆ADN (cgc) ⇒ AM = AN ⇒ DAN = BAM
b. Hình bình hành AMFN , có AM = AN ⇒ ◊AMFN
là hình thoi.
0⇒ ◊AMFN Lại có MAB = MAD + DAN=MAD+MAB=90
là hình vuông
0
c. ACF = ACD +DCF =45 + DCF
450 ⇒ ◊CHFK là hình vuông Ta đi chứng minh DCF =
Có M1+M2 =90 ⇒ N2 + M2= 90 ,N1+N2 = 90 ⇒ M2 = N1 ⇒ ∆MHF = ∆NKF(ch − gn) ⇒ FH = FK
0 0 0
⇒ ◊CHFK là hình vuông 0 0(đpcm)
DCF = 45 ⇒DCF =90
d. Ta đi chứng minh 3 điểm B , D , O nằm trên đường trung trực của AC
Ta có ABCD là hình vuông ⇒ B , D nằm trên đường trung trực của AC
là trung điểm của AF ⇒ O là trung điểm của MN ⇒ OA = OM
Lại có OC = OM = 1 AC ⇒ OM = OC ⇒ OA = OC ⇒ O nằm trên đường trung trực của AC 2
⇒ B , D , O thẳng hàng.
Bài 9:
Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao A
AH và trung tuyến AM 4 1
a. Chứng minh rằng MAC = BAH
b. Kẻ trung trực của BC và trên đó lấy điểm F
D sao cho MD = MA ( D và A nằm trong hai B M C
nửa mặt phẳng khác nhau bờ là đường thẳng E H BC ). Chứng minh AD là phân giác của 2
góc MAH , A
c. Kẻ DE ⊥ AB , DF ⊥ AC . Tứ giác AEDF là D hình gì?
d. Chứng minh: ∆DBE = ∆DCF
Lời giải
a. ∆ABC( A = 90 )⇒AM= 2 BC ⇒ ∆AMC cân tại M ⇒ A1 = C1, mà C1 +B=90 = A4+B⇒C1 = A4
0 1 0
b. ∆AMD cân tại M ⇒ A2 = D1, A3 = D1 (slt) ⇒ A2 = A3
là hình vuông c. Tứ giác AEDF là hình chữ nhật có AD là phân giác của EAF ⇒ ◊AEDF
d. Xét ∆DBE , ∆DCF có DE = DF , DB = DC ( MD là trung trực của BC )
⇒ ∆DBE = ∆DCF ( ch − cgv)
Bài 10:
Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao
AH . Vẽ về phía ngoài tam giác hai hình vuông ABDE và ACFG
a. Gọi M , N là chân các đường vuông góc hạ từ D và E đến BC . Chứng minh
DM +DN =BC D , A, E thẳng hàng
AH đi qua trung điểm của EG
Giả sử DE và FG cắt nhau tại K . Chứng minh rằng AH cũng đi qua K
K
G 1 I
F 1
E 1 3
4 A
2
D 1
M 1 2 1 2
B H C N
Lời giải
DM +FN =BC⇐DM +FN =BH+HC ⇐DM =BH,FN =HC⇐ ∆DMB=∆AHB
∆AHC = ∆CNF
=1800 =
180
0
b. D , A, F thẳng hàng ⇔ DAF ⇔ DAE + EAG +
GAF
c. Gọi I là giao điểm của AH và EG , ta đi chứng minh EI = GI ( = AI )
+) Ta đi chứng minh ∆AIG cân tại
I ⇔G1 = A3 G1 = C1 G
1 = C11
∆ABC = ∆AEG ⇒ ⇒ ⇒ G1 = A3 ⇒ ∆AIG cân tại I
C = A A = A
1 1 1 3
Chứng minh tương tự ta có ∆IAE cân tại I ⇒ IE = IG = IA
d. Có Tứ giác AEKG là hình bình hành (các cạnh đối song song)
Lại có AI đi qua trung điểm của EG mà AI là đường chéo thứ 2 nên AI đi qua K . Vậy AI đi qua K
Dạng 3: Tìm điều kiện để tứ giác là hình vuông