GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU
3. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
George Dantzig đã chứng minh ràng, bài toán quy hoạch tuyến tính về lý thuyết có thể coi là bài toán giải hệ bất phương trình tuyến tính. Vì vậy, có thể sử dụng Solver để giải các hệ phương trình tuyến tính một cách tiện lợi. Giải các hệ phuơng trình tuyến tính được ứng dụng trong kinh tế để tìm điểm hòa vốn, tìm sản lượng hoặc giá cả làm cân bàng cung - cầu.
Khi sử dụng Solver để giải hệ phương trình thì không cần hàm mục tiêu. Cũng có thể coi một trong số các phương trinh cùa hệ là hàm mục tiêu với target cell được nhập vào giá trị V alue of. Các phương trình còn lại của hệ được coi !à các ràng buộc. Khi sử dụng các gói phần mềm quy hoạch tuyến tính khác để giải hệ phương trình thì có thể sử dụng m ột hàm mục tiêu giả.
N goài ra có thể viết hệ phương trình tuyến tính thành dạng ma trận AX = B khi đó x = A _IB. Sử dụng hàm M IN V E R S E (arra y ) để tính ma trận A"1 và hàm M M U L T (a rra y l; a r rra y 2 ) để thực hiện phép nhân ma trận. Cả hai hàm này sử dụng công thức mảng trả về kết quả là một dãy ô như đã trình bày trong chương 1.
Ví d ụ 2.4: Giải hệ phương trình tuyến tính sau
2 x i + 3X2 + X3 = 4 X | + X 2 - X 3 = 3
2xi - 2X2 - Xj = 1.
Chuẩn bị bài toán trong Excel như Hình 2.17. N hập ràng buộc như trong Hình 2.18. Kết quả giải bài toán như trong Hình 2.19.
1 2 3 4
5
•I'i .7 G iá trị k h ở i đâu
8 Ị
9 Công thức 10
11
ị B c 0 ]... Ẹ
H Số x1 H số x2 H SỐ x3
2 3 1
1 1 -1
2 -2 -1
x1 x2 x3
0 0 Ũ
F3=SUMPRODUCT(B3: 03 ,$B$7: $D$7) copy công thức sang dãy ô F4:F5
--- F G H
vế t r á i vế p h ả i
H ình 2.17. Giải hệ phương trình tuyến tinh bằng Solver.
Set Target Cel: I 5 Ĩ
Equal To: (ĩ Max c Min f Value of:
By changng Cells:
|$B$7:$0$7 5ybject to the Constraints:
Oax I
$F$3:$F$5 = ôG*3:$G$5
" 3
“ 3
d
Options Add
Qwqe Ị Belcfe I
Ị**
H ình 2.18. Điền các tham số cho Solver đế giài hệ phương trìn
A I B I c I D I E ỉ F I e
1
2 H SỐ x1 H số x2 H Số x3 vế trái vế phãi
3 2 3 1 4 4
4 1 1 -1 3 3
5 2 -2 -1 1 1
6 ” 1 x2 x3
7 Giá tri khởi đâu I 1 -1
H ình 2.19. Két qua giai hệ phương trình dùng Solver.
Như có thể thấy từ Hình 2.19. Kết quả giải hệ phương trình là
X | = 1 , X2= 1 v à X3= - 1 . Chú ý b ò chọn A ssum e N on-negative trong S olver O p tio n s khi giải hệ phương trình bằng Solver.
Độc già có thể tự thục hiện bài giải hệ phương trình bằng MINVERSE và M M l 'LT một cách dễ dàng.
BÀI T Ậ P
B ài 2.1. Tìm min f ( x ) = - X ] - 2X2 + 0.5xi2 + 0.5 X22 .
Thỏa mãn các ràng buộc:
2 x t + 3x2 + Xị = 6 - X, + 4x2 + x4 = 5
xt, x2,Xy >0
Ghi bài vào thư mục vừa tạo ở chương 1 theo dạng C:\tenthumuc\tenfile.xls. Trong đó tenfile bao gồm “họ tên sinh viên, chương 2, bài số 1”.
Bài 2.2. Có bốn phân xưởng sản xuất ký hiệu PX1, PX2, PX3, PX4, cần sản xuất bốn loại sản phẩm ký hiệu SP1, SP2, SP3, SP4. Chi phí sản xuất sản phẩm i ờ xưởng j như bảng sau (đvt 1 0 0 0 đ).
1) Hãy phân công cho mỗi đơn vị sàn xuất một loại sản phẩm sao cho tổng chi phí là nhỏ nhất.
SP1 SP2 SP3 SP4
PX1 1 0 0 400 800 550
PX2 2 0 0 350 750 500
PX3 400 2 0 0 700 400
PX4 300 500 600 450
2) Ghi bài vào thư mục vừa tạo ở chương 1 theo dạng C:\tenthumuc\tenfile.xls. Trong đó tenfile bao gồm “họ tên sinh viên, chương 2, bài số 2” .
Bài 2.3. Bốn sản phẩm SP1, SP2, SP3, SP4 được sàn xuất từ ba loại nguyên vật liệu là NVL1, NVL2, NVL3. Tiêu hao nguyên vật liệu cho mỗi loại sản phâm , dự trữ mỗi lòại nguyên vật liệu và lợi nhuận đơn vị của mỗi sản phẩm như bảng sau:
99
SP1 SP2 SP3 SP4 Giới hạn
NVL1 1 0 5 4,0 2 , 0 2 0 0 0
NVL2 8 5 1 ,2 2 , 6 1800
NVL3 5 8 2,5 1 0 ,0 2 0 0 0
Lợi nhuận
đom vi 500 300 2 0 0 280
1) Hãy lập kế hoạch sản xuất để đạt lợi nhuận tối đa. Khi đó còn lại những nguồn lực nào chưa dùng hết. Lợi nhuận thu được là bao nhiêu?
2) Có thể tìm được phương án sản xuất tối ưu m à sử dụng hết các nguồn lực không?
3) Ghi bài vào thư mục vừa tạo ở chương 1 theo dạng C:\tenthumuc\tenfile.xls. Trong đó tenfile bao gồm “họ tên sinh viên, chương 2, bài số 3” .
B ài 2.4. M ột xí nghiệp sản xuất hai loại sàn phẩm ký hiệu SP1 và SP2 để bán trên thị trường. N ăng lực sản xuất cho phép sản xuất tối đa 500 tấn SP1 và tối đa 500 tấn SP2 mỗi ngày. Cả hai sản phẩm đều sản xuất từ cùng một loại nguyên vật liệu. Mỗi tấn sản phẩm SP1 cần 5 thùng NVL và mỗi tấn sản phẩm SP2 cần 6 thùng NVL. Mỗi ng y xí nghiệp chỉ có thể có tối đa 3600 thùng NVL. Để sản xuất 1 tấn SP1 cần 1 công nhân và 1 tấn SP2 cần 2 công nhân. Mỗi ngày xí nghiệp có 960 công nhân làm việc. Mỗi tấn SP1 có lợi nhuận là 7 (USD) và mỗi tấn SP2 có lợi nhuận là 10 (USD).
1) Hỏi mỗi ngày xí nghiệp nên sản xuất m ỗi loại sản phẩm với số lượng bao nhiêu để lồi da hóa lợi nhuận. Lợi nhuận lớn nhất trong một ngày là bao nhiêu?
2) N ếu lợi nhuận của sản phẩm SP2 tăng lên thành 11 (USD) thì kết quả bài toán sẽ thay đổi thế nào về sản lượng sàn xuất và sàn lượng tối ưu?
3) N ếu thay đổi số lượng NVL dự trữ (tăng hay giảm 1 thùng) thì lợi nhuận thay đôi thế nào?
100
Giá trị tối ưu thay đổi thế nào nếu năng lực tối đa về sản xuất ■ SP2 thay đổi thành 1000.
4) Ghi bài vào thư mục vừa tạo ở chương 1 theo dạng C:\tenthumuc\tenfile.xls. Trong đó tenfile bao gồm “họ tên sinh viên, chương 2, bài số 4 ”.
Bài 2.5. Một công ty càn gia công gỗ với ba loại máy bào P l, P2, P3. Thời gian gia công không được quá 3 giờ. s ố liệu về các loại máy và chi phí gia công như sau:
K ý hiệu m áy
T ốc độ bào (ft/p h ú t)
C hi phí (S/h)
Độ dày tối đa bào đ ư ợ c (inch)
P1 5 150 6
P2 7 190 4
P3 8 225 2
Yêu cầu từng loại gỗ cần gia công như sau:
C hiều dày
(inch) 1 2 3 5
Số lương
(ft) 500 800 600 300
1) Cần phải sử dụng những máy nào với thời gian mỗi máy là bao nhiêu để chi phí sản xuất là nhỏ nhất? Tổng chi phí là bao nhiêu?
2) Nếu số lượng gỗ 1 inch tăng thành 800 ft thì kết quả bài toán thế nào? Tổng chi phí là bao nhiêu?
3) Nếu máy P2 chi có thể làm 2 giờ thì tổng chi phí thay đổi thề nào?
4) Bài toán thay đôi thế nào nếu chi phí sàn xuất cùa P3 giám còn $2 0 0/h?
Ghi bài vào thư mục vừa tạo ở chương 1 theo dạng C:\tentliumuc\tenfile.xls. Trong đó tenfile bao gồm "họ tên sinh viên, chương 2. bài số 5".
Bài 2.6. M ột công ty có hai xí nghiệp sản xuất, bốn kho và cân phục vụ cho 5 khách hàng. Công ty muốn giảm tổng chi phí vận chuyển gồm vận chuyển hàng hóa từ xí nghiệp đến kho, từ xí nghiệp đến khách hàng và từ kho đến khách hàng. Ràng buộc ràng lượng sản phẩm từ xí nghiệp đến kho phải bàng lượng sản phẩm từ kho đên khách hàng. Mỗi xí nghiệp có khả năng sản xuất 60000 (tấn/tháng).
Chi phí vận chuyển từ xí nghiệp đến các kho và khả năng chứa của các kho như bảng sau:
Kho 1 Kho 2 Kho 3 Kho 4
Xí nghiệp 1
($/tấn) 0,5 0,5 1 ,0 0 , 2
Xí nghiệp 2
($/tấn) 1,5 0,3 0,5 0 , 2
K hả năng
chứa (tấn) 45000 2 0 0 0 0 30000 15000
Chi phí vận chuyển từ xí nghiệp đến từng khách hàng và từ kho đến từng khách hàng, nhu cầu của từng khách hàng như bảng sau.
1) Hãy lập kế hoạch vận chuyển để tổng chi phí vận chuyển là nhỏ nhất?
2) Kết quả tối ưu thay đổi thế nào nếu tăng chi phí vận chuyển từ kho 1 đến khách hàng 2 thêm 0,1 ($/tấn)? Kết quả tối ưu thay đổi thế nào nếu giảm chi phí vận chuyển từ xí nghiệp 2 đến khách hàng 4
một lượng là 1 ,2 ($/tấn)?
3) Tổng chi phí vận tải tăng (giảm ) bao nhiêu nếu khả năng dự trữ cùa kho 2 tăng thêm được 1 0 0 0 0 tấn?
4) Ghi bài vào thư mục vừa tạo ở chương 1 theo dạng C:\tenthumuc\tenfile.xls. Trong đó tenfile bao gồm “họ tên sinh viên chương 2, bài số 6” .
102
Khách hàng 1
Khách hàng 2
Khách hàng 3
Khách hàng 4
Khách hàng 5 XN 1
($/tấn) 1,75 2,50 1,50 2 , 0 0 1 ,0
XN_2
($/tấn) 2 , 0 0 2,50 2,50 1,50 1 ,0 0
Kho 1
($/tấn) 1,50 1,50 0,50 1,50 3,00
Kho 2
($/tấn) 1 ,0 0 0,50 0,50 1 ,0 0 0,50
Kho 3
($/tấn) 1 , 0 0 1,50 2 , 0 0 2 , 0 0 0,50
Kho 4
($/tấn) 2,50 1,50 0 , 2 0 1,50 0,50
Nhu cầu
(tấn) 30000 23000 15000 32000 16000
Bài 2.7. Một công ty công viên cần phải duy trì hoạt động của công viên với yêu cầu số công lao động từ thứ hai đến chủ nhật lần lượt là 17; 13; 14; 15; 18; 24; 22 công. Người lao động làm việc 5 ngày và nghi hai ngày bất kì trong tuần. Công viên này quyết định chia số lao động thuê được thành 7 kíp làm việc ký hiệu A,.., G. Trong đó kíp A gồm những người muốn nghỉ chủ nhật và thứ hai, kíp B gồm những người muốn nghi thứ hai và thứ ba, kíp c gồm những người muốn nghi thứ 3 và thứ 4, kíp D gồm những người muốn nghi thứ 4 và thứ 5, kíp E gồm những người muốn nghi thứ 5 và thứ 6, kíp F gồm những người muốn nghi thứ 6 và thứ 7, kíp G gồm những người muốn nghi thứ bảy và chủ nhật. Cho biết lương công nhân là $40/người/ngày.
1) Hòi cần thuê tổng số bao nhiêu công nhân và phân công mỗi kíp bao nhiêu người để chi phí là nhỏ nhất mà thóa mãn yêu cầu về số lao động của mỗi ngày đồng thời thỏa mãn nguyện vọng cùa công nhân?
103
2) Cìhi bài vào thư mục vừa tạo ở chương 1 theo dạng C:\tenthumuc\tenfile.xls. Trong đó tenfile bao gồm "họ tên sinh viên, chương 2, bài số 7” .
Bài 2.8. Cho hàm cung có phương trình: Q = 4P — 51,8 và hàm cầu có phương trinh Q = 93,6 — 2,8 p.
1) Hãy tìm sản lượng và giá cân bàng sử dụng các công cụ của Excel.
2) Ghi bài vào thư mục vừa tạo ở chương 1 theo dạng C:\tenthumuc\tenfile.xls. Trong đó tenfile bao gồm “ họ tên sinh viên, chương 2, bài số 8” .
104
C hư ơ ng ba