Chương 3 BIỂU DIỄN HƯỚNG VÀ VỊ TRÍ BIỂU DIỄN HƯỚNG VÀ VỊ TRÍ
3.5. NGHỊCH ĐẢO CỦA MA TRẬN CHUYỂN VỊ
Nghịch đảo ma trận rất cần thiết trong việc phân tích robot. Như trong trường hợp robot di chuyển hướng tới chi tiết P để khoan một lỗ
trên chi tiết. Bệ của robot liên hệ với hệ trục tham chiếu U được mô tả bởi hệ trục R. Cánh tay robot mô tả bởi hệ trục H và bệ dụng cụ (đầu khoan để khoan lỗ) được mô tả bởi hệ trục E. Còn vị trí của chi tiết được mô tả bởi hệ trục P. Điểm đặt của lỗ khoan so với hệ trục tham chiếu U thông qua hai chuỗi vector liên hệ: một thông qua robot và một thông qua chi tiết cần khoan. Chúng ta có thể viết:
E P P U E H H R R U E
UT T T T T T (3.21)
R U
P
H E
Hình 3.9: Robot, bệ dụng cụ, chi tiết và các hệ trục
Điểm đặt của điểm E trên chi tiết có thể tính toán thông qua vector từ U tới P và từ P tới E hoặc có thể thay đổi bằng cách chuyển vị từ U tới robot, từ robot tới H và từ H tới E.
Trong thực tế, sự chuyển vị UTRhoặc chuyển vị của hệ trục robot so với U được biết vì bệ của robot ta đã biết khi thiết kế. Ví dụ như robot lắp ở tế bào sản xuất (workcell) thì vị trí bệ robot đã biết khi gắn vào hệ thống sản xuất. Thậm chí, robot di động hoặc gắn trên băng chuyền, điểm đặt của nó ở từng thời điểm đều được biết, bộ điều khiển sẽ kiểm soát vị trí của bệ robot tại mỗi thời điểm. Ma trận chuyển vị HTElà ma trận chuyển vị từ bàn dụng cụ so với cánh tay robot, cũng biết. Khi dụng cụ được gắn vào khâu cuối với kích thước và hình dạng cũng đã biết. UTPlà ma trận chuyển vị của chi tiết so với U. Điểm đặt này được biết bằng cách đặt chi tiết vào đồ gá và sử dụng camera hoặc hệ thống vision, hoặc sử dụng băng chuyền hoặc cảm biến hay các thiết bị khác. PTHchúng ta cũng đã biết khi chúng ta đã biết lỗ chúng ta cần phải khoan ở vị trí nào.
Cuối cùng, chúng ta chỉ chưa biết ma trận chuyển vị RTH hoặc ma trận chuyển vị của cánh tay robot so với bệ robot. Điều này có nghĩa là chúng ta cần phải tìm các góc xoay hay dịch chuyển tịnh tiến của các khớp của
robot để tìm vị trí của bệ dụng cụ ở vị trí cần khoan. Vì thế, cần thiết tính toán ma trận chuyển vị này và chúng ta sẽ tính ra được các vị trí góc xoay và chiều dài của các khâu.
Để tính toán được ma trận này, không giống như các bài toán giải tích chúng ta có thể chia một cách đơn giản hai vế trái và phải của phương trình. Chúng ta nhân ma trận nghịch đảo như sau:
1 1 1( ) E 1 H E P P U R U E
H E H H R R U R
UT T T T T T T T T (3.22)
và chúng ta có (UTR)1(UTR)1 và E 1 1 H
E
HT T . Như vậy phương trình (24) đơn giản RTH ta có:
1
1
U R U PP EH E H
RT T T T T (3.23)
Chúng ta có thể kiểm tra độ chính xác của phương trình này khi nhận ra (HTE)1giống như ma trận ETH. Vì thế phương trình có thể viết lại như sau:
H E E P P U U R E H E P P U R U H
RT T1 T T T1 T T T T (3.24)
Để tính toán nghịch đảo ma trận quay đơn giản xung quanh trục x.
Ta có ma trận chuyển vị xoay quanh trục x là:
c s
s c x
R
0 0
0 0 1
, (3.25)
Các bước để tính toán ma trận nghịch đảo như sau:
- Tính định thức ma trận;
- Chuyển vị ma trận;
- Thay thế các phần tử của ma trận chuyển vị bằng những định thức con;
- Chia ma trận chuyển đổi cho định thức.
Với ma trận quay trên, ta có định thức ma trận là:
1 0 ) (
1 2 2
c s (3.26)
Ma trận chuyển vị như sau:
c s
s c x
R T
0 0
0 0 1 ) ,
( (3.27)
Tính toán các định thức con. Ví dụ như định thức của phần tử 2,2 là c - 0 = c và định thức con 1,1 cũng có kết quả tương tự. Chúng ta có định thức con của mỗi phần tử chuyển vị cũng có kết quả tương tự như ma trận chuyển vị.
T T
dinhthuc R x x
R( ,) ( ,) (3.28)
Khi định thức của ma trận ban đầu xoay là phần tử đơn vị. Chia ma trận R(x,)Tdinhthuc cho định thức thì ra kết quả tương tự. Như vậy, ma trận xoay quanh trục x tương tự như ma trận chuyển vị của nó hoặc:
x T
R x
R( ,)1 ( ,) (3.29)
Tất nhiên, bạn có thể đạt kết quả tương tự. Trên đây là ma trận 3 x 3 không biểu diễn vị trí. Trong ma trận chuyển vị thuần nhất chia ra làm hai phần, phần xoay có thể tính toán đơn giản bằng cách chuyển vị khi nó là phần tử đơn vị. Phần vị trí của ma trận thuần nhất là giá trị âm của tích vô hướng của vector Pvới các hướng n o a, , như sau:
1 0 0 0
. . . 1 0 0 0
a P a a a
o P o o o
n P n n n T
P a o n
P a o n
P a o n T
z y x
z y x
z y x
z z z z
y y y y
x x x x
(3.30)
Như đã nói ở trên, phần quay của ma trận chỉ là phần chuyển vị, còn phần vị trí được thay thế bằng giá trị âm của tích vô hướng, hàng cuối cùng (hệ số tỷ lệ) không ảnh hưởng.