2.4. CÁC PHÉP DỰNG HỈNH CƠ BẢN
2.4.2.2. Nối tiếp hai đường tròn bằng
một đoạn thẳng (tức là vẽ tiếp tuyến chung
của hai đường tròn).
a) Trường hợp nối tiếp ngoài (H.2—66a).
Cách vẽ như sau:
- Giả sử R, > R;. Vẽ đường tròn (O¡; R. - R¿).
~ Vẽ tiếp tuyến O;A của đường tròn này {cách làm như hình 2-65).
— Nối O¡A và kéo đài cho tới cất đường tròn (O,; R,) tại điểm T,.
~ Vé O,T, // 0,7).
—T,T; là tiếp tuyến chung ngoài cẩn vẽ.
b) Trường hợp nối tiếp trong (H.2-66b)
— Vẽ đường tròn (O,; R, + R¿).
~— Vẽ tiếp tuyến O;A của đường tròn này '— Nối O,A 1a có điểm T, trên đường tròn
(O¡R). b)
~ Vẽ O,T, // 0,7,. Hinh 2-66
—T;T, là tiếp tuyến chung ngoài cần vẽ.
36
ie sy a
Dưới đây là một số trường hợp nối tiếp hai đường cho trước bằng cung tròn. Khi đó cần xác định tâm của cung tròn nối tiếp và các điểm nối tiếp (các điểm giới hạn cung tròn nối tiếp).
3.4.2.3. Nối tiếp hai dudng thing bang mot cung tron
Giả sử cần nối tiếp hai đường thẳng Í và m bằng cung tròn bán kính R(H.2-67)
~ Ver //lvà tách I một khoảng bằng R. Tương tự vẽ m° /m và cách m một khoảng bằng R. Giao điểm'O = I'.ơ m° là tõm của cung trũn nối tiếp.
— Qua O hạ các đường thẳng Yuông góc xuống l và m. Chân của các đường vuông góc này là các điểm nối tiếp Tụ, Tụ.
— Vẽ cung tròn T,T; có tâm là ©, bán kính R. Đó lạ cung tròn nối tiếp hai đường thẳng đã cho.
y 1
+
“ : a _/ a
m Hình 2-67 Tạ m T; m
2.4.2.4. Nối tiếp đường thẳng với cung tròn bằng một cũng tròn
Bài toán: Nối tiếp đường thẳng đ với cung tròn tâm O, có bán kính R, bằng cung tròn bán kính R(H.2-68). Người ta chia ra:
4) Trường hợp nối tiếp ngoài (H.2-68a): Cung tròn nối tiếp tiếp xúc ngoài với đường tròn đã cho. .
— Vẽ đường thẳng d” // đ và cách đ một khoảng bằng R và vẽ đường tròn tâm O;, bán kính R, + R. Giao điểm O của đ' với đường tròn vừa vẽ là tâm của cung tròn nối tiếp.
~ Từ O hạ đường thẳng OT L đ; nối các tâm O va O, bing đường thẳng. Giao của đường thắng OO, và đường tròn (O,; R,) là Tụ. Các điểm T và T, là các điểm nối tiếp.
— Vẽ cung tròn T T; có tâm O, bán kính R ta được cung tròn nối tiếp cần dựng.
b) Trường hợp nối tiếp trong (H.2-68b): Cung tròn nối tiếp tiếp xúc trdng với đường tròn đã cho.
Tâm O của cung tròn nối tiếp được xác định bằng giao điểm của d’ với đường
tron (O,; R — R,) voi gid
thiết là R > R,.
a) Hinh 2-68 b)
37
et
2.4.2.5. Nối tiếp hai cung tròn bằng một cung tròn
Bài toán:
Nối tiếp các
cung tròn tâm O,, bán 4 , I
kinh R, va cung tròn . . 4 ⁄
tâm O;, bán kính R; SỈ Nez
bằng. cung tròn bán , T
kính R (H.2~69). ay le
\ 0
a) ®)
. Hinh 2-69
a) Trường hợp nối tiếp ngoài (H.2-69a).
— Vẽ các cung tròn (O;; R, + R) và (O;; Rạ + R). Giao của hai cung tròn này là tâm O của cung tròn nối tiếp.
— Nối các tam O và O, rồi O và O; ta được các điểm nối tiếp T; và T; thuộc hai cung tròn
đã cho. . :
— Vé cung tròn T,T; có tâm là O và bán kính là R. Đó là cung nối tiếp cần đựng.
b) Trường hợp nốt tiếp trong (H.2-69b).
Tam O của cung tròn nối tiếp là giao của các cung tròn (O;; R — R,) và (O;; R - R;) với giả thiết R > R; và R > Rạ.
Hinh 2-70 cho vi du về vẽ nối tiếp các đường thẳng bằng các cung tròn.
1500 3500
700 § 9.200
6.200
+
Hình 2-70
38
2.4.3. Một số đường cong hình học
Trong vẽ xây dựng thường gặp nhiều dạng đường cong phẳng khác nhau. Về mặt đựng hình, có những đường cong có thể vẽ được bằng compa, có những đường cong không thể vẽ được bằng compa, mà phải dựng từng điểm, sau đó nối chúng lại bằng một đường cong.
Dưới đãy giới thiệu cách vẽ một số đường cong thường gặp trong kiến trúc, xăy đựng.
2.4.3.1. Các đường cong bậc hai
Đường cong bậc hai là đường cong được biểu ẹ
diễn bằng phương trình đại số bậc hai. Đường cong bậc \ hai không suy biến gồm có: elíp, hypecbôn, parabôn. ea
a) Elip to: 6 PH
Elip 14 tap hợp những điểm thuộc một mat : phẳng cú tổng khoảng cỏch tới hai điểm cố định của ơ mặt phẳng đó bằng hằng số, MF, + MF; = 2a
(H.2-71). 2a
F, và F; gọi là các tiêu điểm. Khoảng cách FJF; = 2c (a > c).
AB là trục dài, CD là trục ngắn của elip.
* Vẽ clíp biết hai trục chính AB và CD (.2-72).
- Vẽ hai dường tròn đồng tâm đường kính AB và CD;
— Chia hai đường tròn này làm một số phần đều nhau (chẳng hạn 12 phần) bằng các đường kính. Từ giao điểm của một đường kính nào đó với đường tròn nhỏ kẻ đường thẳng song song với trục đài AB và từ giao điểm của đường kính đó với đường tròn lớn kẻ đường thẳng sơng song với trục ngắn CD. Giao của hai đường thẳng vừa vẽ là một điểm thuộc elfp.
+ Vẽ clip theo hai đường kính liên hợp".
Phương pháp hình bình hành (H.2~73).
Cho hai đường kính liên hợp AB và CD của mot elip.
— Vẽ hình bình hành EFGH có các cạnh từng đôi một song song với AB và CD;
— Dung tam giác vuông cân EIC nhận EC là cạnh huyền;
— Vẽ cung tròn tâm C, bán kính CI. Cung tròn Tình 2-73
này cắt cạnh EF tại K và L.
* Hai đường kính liên hợp của một elfp là hình chiếu song song của một cặp đường kính vuông góc nhau của đường tròn mà hình chiếu là elíp nói trên.
39
— Qua K va L ké các đường thẳng song song với CD. Các đường này cắt hai đường chéo EG và EH của hình bình hành tại M, N, P và Q. Elip cần dung đi qua 8 điểm A, B, C, D và M, N, P, Q và tiếp xúc với bốn cạnh của hình bình hành tai A, B, C, D.
Cách vẽ elíp theo hai đường kính liên hợp thường được dùng để vẽ hình chiếu trục đo của các đường tròn.
* Vẽ elíp gân đúng bằng compa.
Trong trường hợp không cần độ chính xác cao, có thể thay thế elíp bằng đường hình xoan (còn gợi là đường ó-van). Đường hình xoan là đường cong phẳng khép kín tạo bởi bốn cung tròn nối tiếp nhau có đạng gần giống elíp. Cách vẽ hình xoan theo hai trục như sau:
Cho hai trục AB và CD của một hình xoan (H.2-74).
~ Vẽ cung tròn tâm O; bán kính OA. Cung tròn này cắt trục CD kéo đài tại E;
- Vẽ cung tròn tâm C, bán kính CE. Cung
` tròn này cắt AC tại F;
— Vẽ dường trung trực của đoạn AF, đường này cất AB tại O„; cắt CD tại O;. Lấy điểm đối xứng của O, và O; qua tâm O ta có các điểm O; và
04, :
—- Vẽ các cung tròn tâm là O, và O;, bán kính là O,A = O¿B rồi vẽ các cung tròn tâm là O;
va O,, bán kính là O¿C = O,D. Bốn cung tròn này tạo thành hình xoan cần vẽ. Chúng được giới hạn
bởi các điểm M, N. P, Q nằm trên các đường thẳng noi cdc tam.
b) Parabôn : Parabôn là tập hợp các điểm thuộc một mặt phẳng cách đều một điểm cố định F và một đường thẳng cố định d thuộc mặt phẳng đó (H.2-75).
Điểm F gọi là tiêu điểm, đường thẳng d gọi là đường chuẩn của parabôn. Đường thẳng vuông góc với đ vẽ qua tiêu điểm F gọi là trục đối xứng
của parabôn.
Dưới đây giới thiệu hai cách vẽ parabôn.
Ũ * Vẽ parabôn biết tiêu điểm và đường chuẩn (H.2-76).
— Xác định đỉnh A của parabôn (điểm giữa
của đoạn OF);
40
Hình 2-74
Hình 2-75
Hình 2-76
RSS *
— Trên nửa đường thẳng Ax lấy một điểm N tuỳ ý và vẽ qua N đường thẳng n song song
với đường chuẩn đ; .
~ Vé cung trdn (F, ON), nó cắt đường thẳng n vira vé tai hai diém M va M’ thuéc parabôn ˆ cần vẽ. Làm tương tự ta có được các điểm khác của parabôn.
* Vẽ parabôn biết đỉnh, trục và một điểm của nó (H.2-—77).
Giả sử cho biết trục Ax, đỉnh A và một điểm M của parabôn. Xác định các điểm khác của
parabôn như sau:
— Vẽ đường thẳng Ay LAx;
— Qua M vẽ đường thẳng song song với trục
B y
Ax tới cắt Ay tại điểm B; h 2
— Chia các đoạn AB va BM ra cùng một số
phần bằng nhau; ~— Nối các điểm chia như chỉ rõ trên hình vẽ; B 1 2
— Nối các giao điểm của từng cặp đường thẳng tương ứng bằng đường cong trơn đều, ta được một nửa parabôn cần vẽ. Bằng phép đối xứng qua trục Ax ta sẽ nhận được nửa còn lại.
Hinh 2-77
€) Hypecbôn : Hypecbôn là tập hợp các điểm thuộc một mặt phẳng có hiệu khoảng cách tới hai điểm cố định của mặt phẳng đó bằng một hằng số
MF; ~ MF, = A,A, = 2a (H.2-78).
F, và F; gọi là các tiêu điểm; A; và A; là các đỉnh của hypecbôn.
Đường thẳng nối hai tiêu điểm gọi là trục cha hypecbon.
Cách vẽ hypecbôn khi biết hai tiêu điểm và hai đỉnh của nó như sau (H.2—79).
— Tren trục đi qua hai tiêu điểm lấy một điểm tuỳ ý, chẳng hạn điểm N;
— Vẽ cung tròn tâm F;, bán kính R) = NA, và cung tròn tâm F;, bán kính R; = NA¿;. Giao của hai cung tròn này là các điểm M và M' thuộc hypecbôn cần vẽ.
Các điểm khác của hypecbôn được vẽ
tương tự. Hình 2-79
41
* Vẽ hypecbôn biết các tiệm cận và một diém
_M thuộc hypecbôn : Cách vẽ dựa vào tính chất sau:
trên một cát tuyến bất kỳ, các đoạn thẳng gồm giữa tiệm cận và hypecbôn đều bằng nhau. Trên hình 2-80 qua điểm M cho trước, vẽ cất tuyến bất kỳ, trên đó lấy các đoạn AM = BM’, diém M’ sẽ thuộc hypecbôn.
2.4.3.2. Đường xoắn ốc
Đường xoắn ốc là đường cong phẳng được tạo nên bởi một điểm chuyển động trên một nửa đường thẳng, khí nửa đường thẳng này quay trong một mặt phẳng quanh dâu mút của nó.
4) Đường xoắn ốc Acsimét
Đường xoắn ốc Acsimét là đường cong phẳng được tạo nên bởi một điểm chuyển động đếu trên một nửa đường thẳng, trong khi nửa đường thẳng
này quay déu trong mot mat phẳng quanh đầu mút của nó.
Độ đời của điểm trên nửa đường thẳng khi nửa dường thẳng quay một góc 360° gọi là bước của đường xoắn ốc. Vẽ đường xoắn ốc Acsimét khi biết
bước z của nó như sau (H.2-81).
— Vẽ đường tròn tâm O, bán kính OA = a;
— Chia đều đường tròn và bán kính OA ra cùng một số phần bằng nhau, được các điểm chia 1, 2,3... và 1,2”, 3°...
— Vẽ các cung tròn tâm O, bán kính lần lượt bằng các đoạn thẳng O1, O2, O3... Giao điểm của các cung tròn này với các bán kính tương ứng O1), O2”, O3" là các điểm thuộc đường xoắn ốc Acsimét.
Nối các điểm vừa nhận được bằng đường cong trơn đều.
b) Đường xoắn ốc nhiều tâm: Người ta có thể đùng compa để vẽ các đường cong có đạng giống như đường xoắn ốc. Có thể đùng hai, ba, bốn hay nhiều tăm.
Hình 2-82 vẽ đường xoắn ốc hai tâm : Vẽ
cung tròn tâm O¡, bán kính O,O;¿, sau dé lại lấy O;
làm tâm vẽ cung tròn bán kính bằng O;1. Vẽ cung tròn tăm O, bán kính O,2 và cứ thế tiếp tục vẽ.
42
X oe
Hình 2~80
4
Hình 2-81 8M Thứ >†
Hình 2-82
ort. es eo,
Hình 2—83 vẽ đường xoắn ốc ba tâm.
Hình 2—84 vẽ đường xoắn ốc bốn tâm.
= =
Hình 2-83 Hình 2-84
Hình 2-85 vẽ đường xoắn ốc I-ô-ních. Ta thấy đường xoắn ốc này trên mũ cột l-ô-ních. Trước tiên vẽ đường tròn "mắt", trong đó xác định các tâm của các cung xoắn ốc (1,2,3... 12) (H.2-85a). Lấy điểm 1 làm tâm, vẽ cung xoắn ốc AB có bán kính bằng 9 lần bán kính đường tròn mắt. Tiếp tục vẽ cung BC, tâm là điểm 2, bán kính bằng đoạn 2B. Tương tự vẽ các cung tiếp theo... (H.2-85b).
A
Hình 2-85 bị
43
2.4.4. Một số đường cong của vom và gờ kiến trúc
Trong xây dựng thường gặp một số đường cong trên các vòm hay trên các gờ kiến trúc. Nguyên tắc vẽ các đường cong này chủ yếu là đựa trên cách vẽ nối tiếp hình học.
2.4.4.1. Các đường cong cia vom
a} Vom thép ; Hinh 2-86 trình bày cách vẽ vòm thấp theo nhịp / của nó. Người ta vẽ ba đường tròn có bán kính hằng 1⁄4!. Giao của đường thẳng O,A với trục đối xứng xác định điểm B là tâm của cung khoá °. Các điểm C và C° nằm trên các đường tròn O; và O; là các điểm nối tiếp.
b) Vòm cao : Hình 2—87 trình bày cách vế vòm cao theo nhịp ỉ và chiều cao h của nó. Sau khi vẽ hình chữ nhật ADCO, người ta vẽ các phân giác của các góc DAC và DCA. Hai phân giác này cắt nhau tại điểm K. Từ K vẽ đường thẳng vuông góc với AC. Đường thẳng này xác định trên AB điểm 2 và trên
OC điểm 1. Lấy I làm tâm với hán kính 1C, vẽ cũng khoá CK; lấy 2 làm tâm vẽ cung AK. Bằng phép đối
xứng. qua OC, ta vẽ được nửa còn lại của vòm.
€) Vòm hình trứng : Hinh 2-88 trình bày cách vẽ vòm hình trứng
theo nhịp Ì của nó. .
— Vẽ nửa đường tròn đường kính AB = l;
- Vẽ các đường thẳng AC
và BC;
* Cung khoá là cung ở đỉnh vòm
44
8
Hình 2-86
Hinh 2-87
Hình 2-88
kho về
~ Vẽ các cung tròn tâm ở A và B, bán kính bằng I. Chúng cắt các đường thẳng AC và BC lần lượt tại D và E. Vẽ cung khoá DE tâm ở C bán kính bằng CD.
d) Vom dốc: Hình 2—89 trình bày cách vẽ vòm đốc theo nhịp 1 cha nó và theo đường dốc d tiếp xúc với dỉnh vòm.
~ Qua A và B vẽ các đường thẳng vuông góc với AB, chúng cát đường dốc d lần lượt tại CvàD.
— Vẽ cung tròn tâm D, bán kính DB tới cắt CD tại E.
~ Đường thẳng vẽ qua E và vuông góc với CD cắt AB tại điểm 1 là tâm của cung tròn BE.
— Vẽ cung tròn tâm C, bán kính CE tới cắt AC tại F.
— Đường thẳng vẽ qua F và vuông góc với AC cắt đường thẳng E1 tại điểm 2 của cung khoá FE của vòm.
Hình 2-9
2.4.4.2. Một số gờ kiến trúc
Ta thường gặp các gờ này ở các phào tường, bệ tường, chân cột... trong các công trình kiến trúc (H.2-90). Phổ biến nhất là các gờ tròn (H.2-91a, b) ; gờ có hình cổ ngỗng (H.2-91c, d) ; gờ hình đế giầy (H.2-9le, f) và gờ lõm (H.2-91g, h). Cách vẽ các đường cong này được chỉ rõ trên hình vẽ.
“`. vi 2