Một số ví dụ dẫn đến bài toán QHTT

Chương 1 BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

1.1 Một số ví dụ dẫn đến bài toán QHTT

Ví dụ 1: (Bài toán lập kế hoạch sản xuất khi biết trước nguyên vật liệu).

Một xí nghiệp dùng 3 loại nguyên liệu N1; N2; N3 để sản xuất ra một loại sản phẩm theo ba theo ba phương pháp khác nhau: PP1, PP2, PP3. Định mức nguyên liệu và số lượng sản phẩm sản xuất ra trong một giờ theo các phương pháp cho ở bảng sau:

Nguyên liệu

Số lượng hiện có (đv)

Định mức tiêu hao trong một giờ

PP1 PP2 PP3

N1 250 4 5 3

N2 350 2 4 1

N3 450 3 6 4

Sản lượng (sp/giờ) 10 12 9

Hãy lập mô hình bài toán sao cho xí nghiệp sản xuất ra nhiều sản phẩm nhất?

Giải

Gọi x x x1, 2, 3 là thời gian sản xuất ra sản phẩm theo ba phương pháp PP1, PP2, PP3.

Tổng số sản phẩm sản xuất (cần làm cực đại)

1 2 3

( ) 10 12 9

f x = x + x + x → m ax

Do xí nghiệp chỉ có 250 nguyên liệu N1 nên x x x1, 2, 3 phải thỏa mãn

1 2 3

4x +5x +3x ≤250

Tương tự cho các nguyên liệu N2, N3, ta có

1 2 3 1 2 3

2x +4x +x ≤350; 3x +6x +4x ≤450 Dĩ nhiên ta phải có x x x1, 2, 3 không âm

Vậy mô hình của bài toán kinh tế được phát biểu như sau:

Tìm các biến x x x1, 2, 3 sao cho

1 2 3

( ) 10 12 9

f x = x + x + x → m ax (1.1.1) (Hàm mục tiêu) thỏa mãn các điều kiện

1 2 3

4 5 3 250

2 4 350

3 6 4 450

x x x

+ + ≤

 + + ≤

 + + ≤



(1.1.2) (Các ràng buộc)

1 0; 2 0; 3 0

x ≥ x ≥ x ≥ (1.1.3)

Bài toán này được gọi là bài toán QHTT Tổng quát

Để sản xuất n loại sản phẩm khác nhau cần m loại yếu tố sản xuất với trữ lượng hiện có là b ,b , ,b1 2 … m. Hệ số hao phí yếu tố i( i 1,m ) cho một đơn vị sản = phẩm j( j 1,n )= là aij. Giá 1 đơn vị sản phẩm j là c ( j 1,n )j = .

Hãy lập kế hoạch sản xuất trên cơ sở các yếu tố sản xuất hiện có sao cho tổng giá trị sản phẩm lớn nhất.

Gọi xj là số sản phẩm j được sản xuất. Điều kiện xj ≥0

là tổng doanh thu ứng với kế hoạch sản xuất x ( x ,x ,...,x )= 1 2 n Khi đó có mô hình toán học là:

n j 1 j j

f ( x ) c x max

= ∑ → (1.1.4)

ij j i j 1

a x b ( i 1,m ) x 0 ( j 1,n )

 ≤ =



 ≥ =



∑ (1.1.5)

Ví dụ 2: (Bài toán khẩu phần).

Có hai loại thức ăn I và II dùng trong chăn nuôi. Để nuôi một loại gia súc trong 1 ngày đêm cần có khối lượng tối thiểu các chất dinh dưỡng chất béo, đạm, chất khoáng tương ứng là 130, 90, 10 gram. Tỷ lệ phần trăm theo khối lượng các chất trên có trong các loại thức ăn I và II như sau:

Thức ăn Chất dinh dưỡng

Chất béo đạm khoáng

I 30 10 2

II 40 20 1

Cho biết giá 1 kg thức ăn I và II tương ứng là 4000 và 7000 đồng.

Hãy lập mô hình bài toán, xác định khối lượng thức ăn cần mua sao cho chi phí nuôi gia súc là thấp nhất.

Giải

Gọi x x1, 2là số gram thức ăn I, II cần mua.

Ta có mô hình của bài toán như sau:

1 2

( ) 4 7 min

f x = x + x →

1 2

0, 3 0, 4 130

0,1 0, 2 90

0, 02 0, 01 10

+ ≥

 + ≥

 + ≥



x x

1≥0; 2 ≥0

x x

Tổng quát

Có n loại thức ăn gia súc, giá một đơn vị thức ăn j là c jj( =1, )n . Gia súc cần m chất dinh dưỡng với nhu cầu tối thiểu chất i là b ii( =1, )m . Biết hàm lượng chất i có trong một đơn vị thức ăn j là aij.

Hãy xác định khẩu phần thức ăn cho gia súc sao cho chi phí thấp nhất đồng thời đảm bảo các chất dinh dưỡng cho gia súc.

Gọi xj là lượng thức ăn j có trong khẩu phần. Điều kiện xj ≥0 f(x) là giá khẩu phần x ( x ,x ,...,x )= 1 2 n

Khi đó có mô hình toán học là:

n j j j 1

f ( x ) c x min

= ∑ → (1.1.6)

ij j i j 1

a x b ( i 1,m ) x 0 ( j 1,n )

 ≥ =



 ≥ =



∑ (1.1.7)

Ví dụ 3: (Bài toán vận tải).

Giả sử có 2 kho hàng chứa 30 tấn và 40 tấn hàng. Có 3 cửa hàng có khả năng tiếp nhận 20 tấn, 25 tấn và 35 tấn. Cước phí vận chuyển (ngàn đồng/tấn) từ kho đến các cửa hàng như sau:

Kho C1: 20 C2: 25 C3: 35

K1: 30 3 5 4

K2: 40 6 7 1

Hãy lập mô hình bài toán vận chuyển thỏa hai yêu cầu: chi phí vận chuyển ít tiền nhất và giải tỏa kho.

Giải

Gọi x x x1, 2, 3 lượng hàng từ kho K1 về các cửa hàng C1, C2, C3 Gọi x x x4, 5, 6 lượng hàng từ kho K2 về các cửa hàng C1, C2, C3 Ta có mô hình của bài toán như sau:

1 2 3 4 5 6

( ) 3 5 4 6 7 min

f x = x + x + x + x + x + x →

1 2 3

4 5 6

1 4

2 5

3 6

30 40 20

25 35

x x x

x x

+ + =

 + + =

 + ≤

 + ≤

 + ≤



0, 1, 6 xj ≥ j = . Tổng quát

Có m kho hàng chứa cùng một loại hàng hóa với số lượng ở kho i là a ( i 1,m )i = . Đồng thời có n cửa hàng với nhu cầu ở cửa hàng j là b ( j 1,n )j = . Chi phí vận chuyển 1 đơn vị hàng từ kho i đến cửa hàng j là cij.

Hãy lập kế hoạch vận chuyển sao cho thỏa mãn nhu cầu các cửa hàng và chi phí vận chuyển thấp nhất.

Gọi xij là số hàng chuyển từ kho i đến cửa hàng j. Điều kiện xij ≥0 f(x) là tổng chi phí cho kế hoạch vận chuyển x

Khi đó có mô hình toán học là:

m n ij ij i 1 j 1

f ( x ) c x min

= =

= ∑ ∑ → (1.1.8)

ij i j 1

ij j i 1

x a ( i 1,m )

x b ( j 1,n ) x 0 ( i 1,m; j 1,n )

 ≤ =



= =



 ≥ = =





∑

∑ (1.1.9)

Phương pháp lập mô hỉnh toán học

Để lập mô hình toán học của một bài toán thực tế, ta phân tích bài toán đó theo ba bước sau:

Bước 1: Đặt ẩn và điều kiện cho ẩn.

Căn cứ vào yêu cầu của bài toán ta xác định được số ẩn và đơn vị tính của ẩn, sau đó ta đặt cho các ẩn các điều kiện để phù hợp với thực tế (như không âm, nguyên, lớn hơn bao nhiêu,...)

Bước 2: Lập hàm mục tiêu.

Dựa vào các ẩn đã đặt và yêu cầu tối ưu của bài toán, ta tìm ra được biểu thức diễn tả yếu tố “kinh tế” của bài toán (như tổng doanh thu, tổng lợi nhuận, tổng số tiền phải chi ra,...) và đặt yêu cầu tối ưu cho biểu thức đó.

Bước 3: Lập hệ ràng buộc chính.

Dựa vào các ẩn đã đặt, ta tính được các số liệu “kĩ thuật” của bài toán (như tổng số nguyên liệu sẽ sử dụng, tổng khối lượng các chất có trong nguyên liệu, tổng số sản phẩm thu được,...) để được các biểu thức toán học.

Dựa theo yêu cầu “kĩ thuật” của bài toán, ta đặt điều kiện cho các biểu thức toán học đó để được các phương trình hay bất phương trình ràng buộc của bài toán.

Hãng hàng không Vietnam Airline có nhu cầu vận chuyển 1500 hành khách và 150 tấn hàng hóa tại sân bay Nội Bài. Giả sử có hai loại máy bay có thể sử dụng với khả năng vận chuyển mỗi loại như sau:

Máy bay loại A: Một máy bay có thể chở 180 hành khách và 40 tấn hàng hóa với chi phí tương ứng là 350 triệu đ.

Máy bay loại B: Một máy bay có thể chở 200 hành khách và 20 tấn hàng hóa với chi phí tương ứng là 320 triệu đ.

Hãy lập mô hình bài toán tìm phương án sử dụng số máy bay mỗi loại sao cho thỏa mãn yêu cầu vận chuyển với tổng chi phí ít nhất?