CHƯƠNG III:PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI- ĐƯỜNG THẲNG- PARABOL A.LÝ THUYẾT
DẠNG 17: TÌM THAM SỐ m SAO CHO KHOẢNG CÁCH TỪ GỐC TỌA ĐỘ ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG ĐÃ CHO LÀ LỚN NHẤT HOẶC NHỎ NHẤT
D. MỘT SỐ CÂU VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRONG ĐỀ TUYỂN SINH
III. Kiến thức lớp 9 cần nhớ. “GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN”
7. Tứ giác nội tiếp a) Định nghĩa
Tứ giác có 4 đỉnh nằm trên một đường tròn gọi là tứ giác nội tiếp b) Tính chất
• Trong một tứ giác nội tiếp thì hai góc đối có tổng số đo bằng 1800
• Nếu một tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn.
c) Dấu hiệu
• Tổng hai góc đối của một tứ giác bằng 1800thì tứ giác nội tiếp đường tròn
• Nếu tứ giác có 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc bằng nhau thì bốn đỉnh của tứ giác ấy cùng thuộc một đường tròn
d) Vận dụng
Phương pháp: Để chứng minh một tứ giác nội tiếp (hay 4 điểm cùng thuộc một đường tròn) ta cần:
(1) Chứng minh cho bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm nào đó (2) Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800
(3) Chứng minh từ hai đỉnh cùng kể một cạnh cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau.
(4) Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng 1800thì tứ giác đó nội tiếp được trong một đường tròn.
Cụ thể: Cho tam giác ABCD. Nếu các bạn chứng minh được A C+ = +B D thì tứ giác ABCD cũng nội tiếp trong một đường tròn. Đây có thể nói là một trường hợp đặc biệt của trường hợp thứ 2.
( )5 Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện của đỉnh đó thì nội tiếp được trong một đường tròn.
( )6 Chứng minh bằng phương pháp phản chứng.
Liên hệ tài liệu word toán: 039.373.2038 Website: tailieutoanhoc.com Chú ý: Các bạn có thể chứng minh tứ giácABCD là một trong những hình đặc biệt sau:
Tứ giácABCD là hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông.
Ví dụ 1:Cho tam giác nhọnABC cóAˆ =600 . Các đường phân giác trong BB CC1, 1 của tam giác ABCcắt nhau tại I.
1. Chứng minh tứ giác AB IC1 1 nội tiếp.
2. Gọi K là giao điểm thứ hai khácB của đường thẳngBC với đường tròn ngoại tiếp tam giácBC I1 . Chứng minh tứ giác CKIB1 nội tiếp.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O R; ) . Hạ đường cao AD BE, của tam giác. Các tia AD BE, lần lượt cắt ( )O tại các điểm thứ hai M N, . Chứng minh rằng:
1. Bốn điểm A E D B, , , nằm trên một đường tròn.
2. MNDE 3. DE⊥OC
4. Cho( )O và dây AB cố định , điểmC di chuyển trên cung lớnAB . Chứng minh rằng độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CED không đổi.
Hướng dẫn giải VD1:
a. Ta có ˆ
2 IBC IBA B
∠ = ∠ = ( do BB1 là phân giác) ˆ
2 ICB ICA C
∠ = ∠ = ( do CC1 là phân giác)
Áp dụng định lý tổng ba góc trg một tam giác tính được Bˆ+ =Cˆ 1200 Có ∠IBC+ ∠ICB+ ∠BIC=1800( đlý tổng ba góc trg một tam giác)
K I
C1 B1
A
C B
Liên hệ tài liệu word toán: 039.373.2038 Website: tailieutoanhoc.com
( ) 0
1 ˆ ˆ 180
2 B C BIC
⇔ + + ∠ = ⇔ ∠BIC=1200 = ∠B IC1 1
Chứng minh được tứ giác AB IC1 1 nội tiếp do có tổng hai góc đối bằng 1800. b. Tứ giác IKBC1 nội tiếp nên ∠BC I1 = ∠IKC
Tứ giác AB IC1 1 nội tiếp nên ∠BC I1 = ∠AB I1 Mà ∠CB I1 + ∠AB I1 =1800 (kề bù)
0
1 180
IKC CB I
⇒ ∠ + ∠ = . Mà hai góc ở vị trí đối nhau Vậy tứ giác IKCB1 nội tiếp.
VD2
a. Ta có ∠AEB= ∠ADB=900(gt)
Suy ra E D, thuộc đường tròn đk AB.
Vậy A E D B, , , cùng nằm trên một đường tròn.
b. Theo câu a tứ giác AEDB nội tiếp đường tròn ∠BED= ∠BAD(góc nt) Mà ∠BAD= ∠BNM ( góc nt) ⇒ ∠BED= ∠BNM
Mà hai góc ở vị trí đồng vị nên MNDE
c. Tứ giác AEDB nội tiếp nên ∠EAD= ∠EBD(góc nt) ⇒ ∠CAM = ∠NBC CM CN
⇒ = . Suy ra C là điểm chính giữa cung MN Suy ra DE⊥OC
d. Gọi H là trực tâm tam giác ABC Gọi I là trung điểm AB
Kể đường kính CK
Ta có ∠KAC=900 ( góc nt chắn nửa đường tròn (O)) KA AC
⇒ ⊥ . Mà BH ⊥AC ⇒AKBH(1)
I
H K
O' B
N
M
E
D
O A
C
Liên hệ tài liệu word toán: 039.373.2038 Website: tailieutoanhoc.com CM tương tự BKAH(2)
Từ (1), (2)⇒AKHBlà hình bình hành
Suy ra I là trung điểm KH (tính chất đường chéo hbh) , ,
K I H
⇒ thẳng hàng
CM được tứ giác CEHD nội tiếp đường tròn tâm O'(do có tổng hai góc đối bằng 1800)
Suy ra đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEHD là đường tròn ngoại tiếp ∆CED Xét ∆CKH có IA=IB OK; =OC. Suy raOI là đường trung bình
1 OI 2CH
⇒ = ⇒CH =2OI . Do OI cố định nên CH không đổi
Vậy khi C di chuyển trên cung lớn AB thì độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CED không đổi.