Kiến thức
+ Biết được đường kính là dây lớn nhất trong các dây của đường tròn.
+ Nắm được hai định lí về đường kính vuông góc với một dây và đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm.
Kĩ năng
+ Thành thạo vẽ hình.
+ Tìm được mối liên hệ giữa đường kính và dây cung.
+ Vận dụng các định lí vào các bài toán so sánh, tính toán độ dài các đoạn thẳng, chứng minh vuông góc.
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
So sánh độ dài của đường kính và dây cung Định lí 1. Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.
Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung Định lí 2. Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
Định lí 3. Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.
AB vuông góc với CD⇔IA IB=
ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CUNG CỦA ĐƯỜNG
TRÒN
AB CD>
AB CD⊥
So sánh độ dài của đường kính và dây cung Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là
đường kính.
Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung
Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của
dây ấy.
Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì
vuông góc với dây ấy.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC, đường cao BH và CK. Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm B K H C, , , cùng thuộc một đường tròn.
b) HK BC< . Hướng dẫn giải
a) Gọi O là trung điểm của BC.
Vì tam giác BHC vuông tại Hcó trung tuyến HO ứng với cạnh huyền nên OB OC OH= = (1) Vì tam giác BKC vuông tại K có trung tuyến KO ứng với cạnh huyền nên OB OC OK= = (2) Từ (1) và (2) suy ra OB OC OK OH= = = .
Vậy bốn điểm B C H K, , , cùng thuộc đường tròn tâm O, đường kính BC.
b) Vì HK là dây cung của đường tròn ( )O , HK không đi qua O và BC là đường kính nên BC HK>
Ví dụ 2. Cho hình vuông ABCD. Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AB BC, . Gọi I là giao điểm của AN và DM. Chứng minh
a) Bốn điểm B M I N, , , cùng nằm trên một đường tròn.
b) BI MN<
Hướng dẫn giải
a) Xét hai tam giác ADM và BAN có AB AD= (ABCD là hình vuông);
1 BN AM= =2AB;
Do đó ∆ADM= ∆BAN(c.g.c)⇒ A1 =D1.
Xét tam giác ADM có
1 1 90 1 1 90
D M+ = ⇒A M+ = .
Xét tam giác AIM có
1 1 90 90
A M+ = ⇒AIM = ⇒AN DM⊥ .
Vì tam giác MIN vuông tại I nên ba điểm M I N, , cùng thuộc đường tròn đường kính MN. Vì tam giác MBN vuông tại B nên ba điểm M B N, , cùng thuộc đường tròn đường kính MN. Vậy bốn điểm B M I N, , , cùng thuộc đường tròn đường kính MN.
b) Vì MN là đường kính và IB là dây cung khác đường kính của đường tròn đi qua bốn điểm B M I N, , , nên MN BI> .
Bài tập tự luyện dạng 1 Bài tập cơ bản
Câu 1. Cho tứ giác ABCD có góc A và C bằng 90.
a) Chứng minh bốn điểm A B C D, , , cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh AC BD≤ .
Câu 2. Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. a) Chứng minh bốn điểm A D H E, , , cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh AH DE> . Bài tập nâng cao
Câu 3. Cho tam giác ABC có trực tâm H. Gọi D là điểm đối xứng của H qua trung điểm M của BC.
a) Chứng minh bốn điểm A B D C, , , cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh AD BC≥ .
Câu 4. Cho đường tròn ( )O R; và ba dây AB AC AD, , . Gọi M N, lần lượt là hình chiếu của B trên các đường thẳng AC AD, . Chứng minh rằng MN <2R.
Câu 5. Cho đường tròn ( )O R; . Vẽ hai dây AB và CD vuông góc với nhau. Chứng minh rằng
≤2 2 SACBD R .
Dạng 2. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho đường tròn ( )O đường kính AB, dây CD không cắt đường kính AB. Gọi H và
K theo thứ tựlà chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD. Chứng minh CH DK= .
Vì AH CD⊥ và BK CD⊥ nên AH BK∥ ⇒ tứ giác ABKH là hình thang vuông.
Dựng OI CD⊥ . Khi đó OI BK AH∥ ∥ .
Vì O là trung điểm của AB nên I là trung điểm của HK. Tức là IH IK= . Mặt khác IC ID= .
Khi đó IH IK= ⇔IC CH ID DK+ = + ⇔CH DK= (vì IC ID= ).
Ví dụ 2. Cho đường tròn ( )O có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H K, theo thứ tự là chân đường vuông góc của O xuống AB CD, . Biết EH EK= , chứng minh
a) EB ED= b) EA EC= Hướng dẫn giải
Vì OH ⊥AB nên H là trung điểm của 1 AB⇒HA HB= =2AB Vì OK CD⊥ nên K là trung điểm của 1
CD⇒KC KD= =2CD Mặt khác AB CD= ⇒HA HB KC KD= = = .
a) Theo giả thiết ta có EH EK= ⇔EB BH ED DK+ = + ⇔EB ED= . b) Ta có EA EH HA EC EK KC= + ; = + .
Mà HA KC= nên EH HA EK KC+ = + hay EA EC= .
Bài tập tự luyện dạng 2 Bài tập cơ bản
đường tròn (O R; 1) theo thứ tự tại A B, , cắt đường tròn ( )O R; theo thứ tự tại C D, (các điểm
theo thứ tự A C D B, , , ). Chứng minh AC BD= . Bài tập nâng cao
Câu 2. Cho đường tròn ( )O có hai dây cung AB và CD bằng nhau và cắt nhau tại điểm E nằm bên trong đường tròn (BE AE DE CE< ; < ). Gọi H K, theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của
O lên AB CD, . Biết EH EK= , chứng minh a) EA EC=
b) EB ED=
Câu 3. Cho đường tròn ( )O R; . Vẽ hai bán kính OA OB, . Trên các bán kính OA OB, lần lượt lấy các điểm M N, sao cho OM ON= . Vẽ dây CD đi qua M N, (M ở giữa C và N)
a) Chứng minh CM DN= .
b) Giả sử AOB=90. Tính OM theo R sao cho CM MN ND= = .
Dạng 1. Chứng minh hai đoạn thẳng không bằng nhau Bài tập cơ bản
Câu 1.
a) Gọi O là trung điểm của BD.
Vì tam giác ABD vuông tại A có trung tuyến AO ứng với cạnh huyền nên OA OB OD= = .
Vì tam giác CBD vuông tại C có trung tuyến CO ứng với cạnh huyền nên OB OD OC= = .
Do đó OA OB OC OD= = = .
Vậy bốn điểm A B C D, , , cùng thuộc đường tròn ( )O
đường kính BD.
b) Vì BD là đường kính, AC là một dây cung của đường tròn ( )O nên BD AC≥ .
Dấu “=” xảy ra khi AC là một đường kính của ( )O .
Câu 2.
a) Vì tam giác ADH vuông tại D nên A D H, , cùng thuộc đường tròn đường kính AH.
Vì tam giác AEH vuông tại E nên A E H, , cùng thuộc đường tròn đường kính AH.
Vậy bốn điểm A D H E, , , cùng thuộc đường tròn đường kính AH.
b) Vì AH là đường kính và DE là dây cung khác đường kính của đường tròn đường kính AH nên
AH DE> . Bài tập nâng cao Câu 3.
a) Tứ giác BDCH có hai đường chéo BC và HD cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường nên BDCH là hình bình hành ⇒BD CH∥ và DC BH∥ .
Vì CH vuông góc với AB nên DB vuông góc với AB.
Khi đó tam giác ABD vuông tại B nên ba điểm A B D, , cùng thuộc đường tròn đường kính AD.
Vì BH vuông góc với AC nên DC vuông góc với AC.
AD.
Vậy bốn điểm A B C D, , , cùng thuộc đường tròn đường kính AD.
b) Vì AD là đường kính và BC là dây cung của đường tròn đi qua bốn điểm A B C D, , , nên AD BC≥ .
Dấu “=” xảy ra khi BC là một đường kính của đường tròn đi qua bốn điểm A B C D, , , . Câu 4.
Vì M N, theo thứ tự là hình chiếu của B trên AC AD, nên ,
BM AC BN⊥ ⊥ AD.
Vì tam giác ABN vuông tại N nên ba điểm A B N, , cùng nằm trên đường tròn đường kính AB.
Vì tam giácABM vuông tại M nên ba điểm A B M, , cùng nằm trên đường tròn đường kính AB.
Suy ra bốn điểm A B M N, , , cùng nằm trên đường tròn đường kính AB.
Vì AB là đường kính và MN là dây cung khác đường kính của đường tròn đi qua bốn điểm , , ,
A B M N nên AB MN> . (1)
Mặt khác A B, cùng nằm trên đường tròn ( )O R; nên AB≤2R. (2)
Từ (1) và (2) suy ra MN<2R. Câu 5.
Diện tích tam giác ABC là 1 . 2
SABC = AB CI. Diện tích tam giác ABD là 1 .
2
SABD = AB DI .
Diện tích tứ giác ACBD là SACBD =SABC+SABD =12 AB CI DI( + )= 12AB CD. Vì AB và CD là hai dây cung nên AB≤2R và CD≤2R.
Vậy 1 . 1.4 2 2 2
2 2
SACBD = AB CD≤ R = R .
Dấu “=” xảy ra khi AB và CD là hai đường kính của đường tròn ( )O R; .
Dạng 2. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau Bài tập cơ bản
Câu 1.
Dựng OI ⊥AB tại I.
Theo định lí vềđường kính và dây cung ta có I là trung điểm của AB và CD.
Tức là IA IB IC ID= , = . Khi đó AC IA IC= −
BD IB ID= − .
Mà IA IC IB ID− = − nên AC BD= . Bài tập nâng cao
Câu 2.
a) Theo giả thiết ta có OH ⊥AB OK CD, ⊥ .
Theo định lí về đường kính và dây cung suy ra HA HB KC KD= = = (vì AB CD= ).
Ta có EA EH HA EC EK KC= + , = + .
Mặt khác EH EK= nên EH HA EK KC+ = + ⇔EA EC= .
Suy ra AB EA CD EC− = − ⇔EB ED= . Câu 3.
a) Dựng OH CD⊥ tại H.
Theo định lí đường kính và dây cung ta có HC HD= .
Xét tam giác OMN có OM ON= (giả thiết) nên tam giác OMN cân tại O.
Mặt khác OH MN⊥ nên OH là đường cao cũng là đường trung tuyến, đường trung trực, đường phân giác của tam giác OMN.
Suy ra HM HN= .
Ta có HC HD= ⇔HM CM HN DN+ = + ⇔CM DN= (vì HM HN= ).
Vậy CM DN= . b) Đặt HM x=
Ta có CM MN ND= = (giả thiết) và HM HN= (chứng minh trên) nên CH =3x.
Vì AOB=90 (giả thiết) nên tam giác OMN vuông cân tại O và tam giác OHM vuông cân tại H.
Suy ra OH HM x= = .
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông OCH, ta có
( )2
2 2 2 2 2 3
10 OC =OH +HC ⇔R =x + x ⇔ =x R .
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông MOH, ta có
2 2 2
2 2 2
10 10 5 5
R R R R
OM =OH +HM = + = ⇒OM = .
Vậy
5 OM= R .