Chương 2. Ứng dụng phần mềm GeoGebra xây dựng một số mô hình Toán học
7. Vẽ mô hình thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng
Trong quá trình giảng dạy về hình học không gian, các bài toán về thiết diện luôn gây khó với học sinh, Có nhiều năm khi giảng dạy thầy cô có thể dùng các thanh tre tạo các mô hình học chóp và tạo thiết diện! Đây cũng là một ý tưởng hay để dạy hình học không gian! Nhưng thực tế làm các mô hình này thì việc nối các que tre với nhau thiếu linh hoạt và giá trị sử dụng không được lâu, dẫn đến khi sử dụng các mô hình này thường mất nhiều thời gian để chỉnh các mô hình. Để khắc phục những khó khăn đó tôi nghĩ đến ý tưởng dùng phần mềm GeoGebra để xây dựng mô hình này.
Xét bài toán: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là tứ giác. Gọi M N P, , lần lượt là các điểm trên các cạnh SA SB SC, , . Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng MNP.
Để làm được mô hình này tôi làm như sau:
Vào hiển thị nháy chuột vào “Hiển thị 3D” tạo vùng làm việc 3D (hoặc có thể dùng phím tắt là: CTRL+shift+3)
Ta vẽ một tứ giác trong “Vùng làm việc” khi đó thì bên hiển thị 3D ta thấy một tứ giác được hiển thị trên mặt phẳng (Oxy) của hệ trục tọa độ Oxyz bằng cách nháy chuột vào đa giác và ta vẽ 4 điểm trên mặt phẳng Oxy trong vùng làm việc
Nháy chuột phải song vùng làm việc 3D thì trên thanh công cụ xuất hiện các chức năng của 3D và sau đó chọn chức năng vẽ hình chóp và chọn vào 4 đỉnh của đa giác và lấy 1 điểm ngoài mặt phẳng (Oxy), ở đây tôi lấy thêm 1 điểm nằm trên trục Oz thì ta thu được một hình chóp như hình vẽ
Mở ô hiển thị danh sách các đối tượng để quan sát tên các điểm và chọn đối tượng đơn giản hơn. Khi đó tối nháy chuột vào đa diện e để có thể màu sắc và đường nét của hình chóp theo ý của mình
Ở đây ta có chỉnh màu như sau
Để hình chóp hiện các tên ta nháy chuột phải vào điểm và chọn vào hiển thị tên, đổi tên thành S.ABCD.
Giờ ta lấy các điểm M, N, P trên các canh SA, SB, SC. Để tạo các thanh trượt mục đích khi khi trượt thanh trượt chuyển động thì các điểm M, N, P thay đổi ta làm như như sau
Tạo các thanh trượt tên là m, n, p với cực tiểu 0 cực đại là 1 và số gia là 0.00001 (với số gia càng bé thì tốc độ chuyển động chậm hơn)
Bằng các gõ vào ô nhập lệnh các lệnh
M=m S+(1-m)A; N=n S+(1-n)B và P=p S+(1-p)C
Khi đó ta tạo được các điểm M, N, P chạy trên các cạnh và khi cho thanh trượt di chuyển thì điểm M, N, P di chuyển.
Giờ ta dựng thiết diện tạo bởi hình chóp với mặt phẳng (MNP) bằng cách: Gọi O ACBD, I SOMP, QNISDkhi đó thiết diện cần tìm là tứ giác MNPQ
Dựng hình chóp có S.MNPQ , bằng cách nháy chuột vào vùng làm việc 3D thì các chức năng của vẽ hình 3 D hiện ra. Khi đó ta chọn vào vẽ hình chóp ta thu được giao diện
Khi đó thu được hình chóp có tên là l ở hình với mũi tên số 3 trong ô danh sách lệnh (hình trên), ta có thể tích vào chấm tròn màu xanh để ẩn hình chóp đi! Thao tác này rất tiện lợi khi ta vẽ hình rắc rồi.
Tiếp tục ta vẽ hình đa diện ABCD.MNPQ bằng cách dùng chức năng đa giác trên thanh công cụ ta vẽ các đa giác mặt bên và mặt đáy của hình đa diện.Để tạo màu giữa các hình đa diện giống hệt nhau ta sử dụng chức năng sao chép hiển thị
Chọn màu cho hình chóp S.MNPQ mà quý thầy cô thích, rồi chọn vào chức năng sao chép. Rồi ta thực hiện các bước sau: Bước 1 chọn vào màu cần sao chép, bước 2 chọn vào đa giác cần sau chép màu và chỉnh độ sáng giống nhau.
Ta tạo một phép tịnh tiến theo véc tơ cho trước khi đó ta có thể tạo vectơ bằng chức năng vectơ đi qua hai điểm. Ưu điểm của ý tưởng này là rất đơn giản khi có công cụ có sẵn. nhưng nhược điểm là để học sinh quan sat mô hình ta phải kéo thả điểm cuối của vectơ để di chuyển không tạo được chuyển động (tự động) và không thuận tiện trong khi giảng bài.
Để thuận tiện trong quá trình giảng tôi làm như sau: Tạo một thanh trượt r=>Vẽ đường tròn có bán kính r và vẽ đường tròn với tâm là điểm đầu vectơ điểm cuối là 1 điểm trên đường tròn.
Lấy một điểm trên mặt phẳng hệ trục tọa độ Oxy và dùng chức năng vẽ đường tròn với tâm và bán kính cho trước nhập bán kính là r.
Khi đó ta thấy đường tròn xuất hiện ở cả vùng làm việc và trong hiển thị 3D. Để đường tròn không xuất hiện trong vùng 3D ta nháy chuột phải vào đường tròn và vecto đã vẽ chọn thuộc tính vào tab nâng cao bỏ tích “ Hiển thị 3D”.
Thực hiện phép tịnh tiến hình chóp S.MNPQ theo vecto u ta nhập vào ô nhập lệnh:
PhepTinhTien(l, u) khi đó ta thu được một hình chóp mới được thực hiện bởi phép tịnh tiến theo vecto u có tên là l’ như hình vẽ sau
Khi đó dịch chuyển thanh trượt r ta thấy hình chóp mới được dịch chuyển đi.
Cho ẩn đi hình chóp S.MNPQ bằng cách bỏ tích xanh trên ô nhập lệnh
Khi đó tính huống xảy ta là trên đồ thị 3 D xuất hiện đoạn thừa SE để ẩn đi thì tôi tạo một đoạn thẳng nối qua S và E, đoạn thẳng qua S và O và cho ẩn đoạn thẳng SO. Thực hiện phép tịnh tiến đoạn SE, MP, NQ theo vecto u bằng cách nhập vào ô nhập lệnh:
PhepTinhTien(ĐoạnThẳng(S, E), u) PhepTinhTien(ĐoạnThẳng(N, Q), u) PhepTinhTien(ĐoạnThẳng(M, P), u)
Ta được hình chóp S’.M’N’P’Q’ và để hình chóp hiện tên là chop S.MNPQ ta nháy chuột vào vào điểm S’ chọn vào thuộc tính đổi tiêu đề thành $\LARGE S$
(mục đích hiển thị S lớn hơn)
Tương tự với các điểm M’, N’, P’, Q’ và với các thay đổi hiển thị này các đỉnh của hình chóp hiển thị lớn hơn dễ quan sát hơn.
Khi r=0 thì tại các điểm M, N, P, Q xuất hiện lặp lại hai lần như hình vẽ dưới đây
Để chỉnh điều này khi r=0 thì chỉ xuất hiện 1 điểm M ta chọn vào cách điểm M’, N’, P’, Q’, E’ trong ô danh sách đối tượng nháy chuột phải chọn vào thuộc tính chọn vào tab nâng cao chọn vào điều hiện hiển thị là r>0
Đến đây ta thu được mô cắt hình chóp bởi mặt phẳng MNP khi đó học sinh quan sát trực quan thiết diện.
Các đối tượng thừa do hiển thị cả vùng làm việc ta có thể ẩn đi ta thu được giao diện như sau
Với mô hình này thì khi thầy cô dạy học chúng ta có thể di chuyển thanh trượt r ta thấy chóp S.MNPQ được cắt ra học sinh có thể trực quan, quan sát thấy được thiết diện mô hình này có thể dùng trong bài tỉ số thể tích khối chóp trong chương trình lớp 12.
Để mô hình thêm sinh động khi cho hình chóp S.MNPQ tịnh tiến đi thì thiết diện MNPQ đổi màu khác thì ta làm như sau: Lấy hai điểm I và H trên cạnh NP và MQ theo tham số r bằng cách nhập vào ô nhập lệnh
I=Điểm(ĐoạnThẳng(M, Q), Neu(0 ≤ r ≤ 1, 1 - r, 0)) H=Điểm(ĐoạnThẳng(N, P), Neu(0 ≤ r ≤ 1, 1 - r, 0)) Và nhập ô nhập lệnh: DaGiac(P, Q, I, H)
Và tôi tô màu tím đa giác này, và thêm tùy chọn nâng cao để điều kiện hiển thị là r>2 vì khi r<=2 thì đa giác này không hiển thị, không ảnh hưởng đến hình chóp ban đầu.
Quý thầy cô sẽ thấy hình của mình sinh động hơn rất nhiều. Ngoài ra thầy cô có thể tạo các chức năng tạo chuyển động hoặc giống như trong mục tích phân hoặc trong mục hình thành parabol quy thầy cô sẽ thấy được những chức năng tuyệt với của GeoGebra.