Chương 2. Ứng dụng phần mềm GeoGebra xây dựng một số mô hình Toán học
8. Xây dựng mô hình khối tròn xoay giới hạn bởi hình phẳng quay quanh trục Ox và tính thể tích khối tròn xoay
a. Ý tưởng thiết kế
Trong quá trình giảng dạy môn toán 12, khi dạy về tính thể tích khối tròn xoay quay quanh trục Ox. Việc em gặp khó khăn không biết hình phẳng quay quanh trục Ox như thế nào? Mặc dù tính tích phân các em đã nắm kĩ ở bài học trước. Để học sinh có thể quan sát và tưởng tượng được hình phẳng và khối tròn xoay quay quanh trục Ox, tỗi đã tạo ra sản phẩm “XÂY DỰNG MÔ HÌNH KHỐI TRÒN XOAY GIỚI HẠN BỞI HÌNH PHẲNG QUAY QUANH TRỤC OX VÀ TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY”. Trong mô hình này tôi đã lập trình được các kết quả sau:
+ Tạo được hộp đầu vào cho hàm y f x( ) và hai cân xa x, b có thể thay đổi tùy ý, áp dụng cho các mọi bài toán dạng này.
+ Vẽ miền phẳng giới hạn bởi hàm số y f x y( ), 0, xa x, b và khi thay đổi hàm thì miền phẳng tương ứng đổi theo.
+ Tạo được khối tròn xoay quay xung quanh trục Ox.
+ Tạo lời giải và tính toán kết quả chuẩn xác tương ứng cho hàm số y f x( ) và cận kể cả khi thay đổi hàm số và cận.
b. Một số bước thiết kế ra mô hình
Tính thể tích khối tròn xoay giới hạn bới
( ) 0 y f x y x a x b
quay quanh trục Ox
Tạo một hàm cụ thể chẳng hạn ở đây tôi nhập hàm ycosx2
Tạo biến chạy cho hai cận của hình phẳng ( )H bằng chức năng thanh trượt
Tình huống xảy ra là cận tích cân có dạng vô tỉ hoặc dạng phân số ta có thể dùng chức năng CAS để tạo chuyển đổi số thập phân sang phân số hoặc dạng căn
Khi đó ta thực hiện lệnh a1:=a thi a1 chuyển sang phân số, tương tự với b1:=b
Tạo hộp nhập dữ liệu đầu vào khi hướng dẫn học sinh ta có thể thay đổi cận tích phân
Lưu ý chọn đối tượng liên kết ở đây là a và b chứ không phải là a1,b1.Nhập đề bài và tạo hộp đề bài
Tạo lời giải cho bài toán ta vào chức năng chèn chữ cỏa GeoGebra
Tính kết quả của tích phân bằng chức năng CAS trên geo bằng cách; Trong vùng làm việc của CAS ta định nghĩa hằng số c là giá trị của tích phân
bằng lệnh c:=TíchPhân(pi f^2, a, b)
Tạo lời giải cho GeoGebra túc là khi ta nhập các hàm khác nhau phần mềm đưa các kết quả của bài toán tương ứng với hàm và cận mới
Khi đó ta có giao diện của GeoGebra như sau
Bây giờ ta đi vào vùng làm việc 3D để vẽ mặt tròn xoay quay quanh trục Ox, qua đó học sinh tưởng tượng được khối tròn xoay được tạo ra như thế nào. Để cho giao diện dễ nhìn ta tắt vùng làm việc của CAS đi khi nháy chuột trái vào ô X và chọn vào vùng làm việc 3D như hình vẽ
Khi đó trên vùng làm việc 3D ta sẽ thấy hình ảnh của đường cong y=f(x) trong vùng làm việc mặt phẳng Oxy được hiện ra trong mặt phẳng Oxy với hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ
Trong vùng làm việc 3D chúng ta muốn tạo ra một bề mặt do đường y=f(x) với x chạy từ a đến b, thì ta nháy chuột trái vào vùng làm việc 3D và vẽ lại đồ thị y=f(x) với x chạy từ a đến b bằng cách nháy vào khung nhập lệnh HàmSố( <Hàm số>, <Giá trị đầu-x>, <Giá trị cuối-x> ), cụ thể với mô hình này ta làm như sau
“HàmSố(f, a, b)”
Trước hết ta tạo thanh trượt về góc
Vẽ bề mặt khi quay đường q(x) khi quay tranh trục hoành bằng lệnh BeMat(p, q, TrucHoanh)
Khi đó ta cho góc quay q từ 0 180ta có được bề mặt tạo bởi hàm p(x) quay quanh trục hoành như hình vẽ
Ta tạo một lênh bề mặt tạo bởi đường cong p(x) trục hoành theo lệnh sau BeMat( <Expression>, <Expression>, <Expression>, <Tham biến 1>, <Số liệu bắt đầu>, <Số liệu kết thúc>, <Tham biến 2>, <Số liệu bắt đầu>, <Số liệu kết thúc> )
Cụ thể ở đây tôi gõ lệnh: BeMat(t, u p(t), 0, t, a, b, u, 0, 1)
Biến t chạy từ a đến b và u chạy từ 0 đến 1. Khi đó ta có bề mặt như hình vẽ
Tiếp tục ta vẽ bề mặt giới hạn bởi đường cong p(x) mặt phẳng x=b BeMat(b, u p(b) cos(t), u p(b) sin(t), u, 0, 1, t, 0, q)
Tiếp tục ta vẽ bề mặt giới hạn bởi đường cong p(x) mặt phẳng x=a BeMat(a, u p(a) cos(t), u p(a) sin(t), u, 0, 1, t, 0, q)
Vấn đề tiếp theo là ta tạo lệnh vẽ bề mặt giơi hạn bởi p(x) và trục hoành khi quay phép quay góc quay q
Khi đó ta tạo một đường cong là ảnh quả đường q(x) qua phép quay trục quay ox góc quay q bằng lệnh
PhepQuay( <Đối tượng>, <Góc>, <điểm trên trục quay>)
Cụ thể ở bài toán này ta dùng lệnh: PhepQuay(p(x), q, TrucHoanh) Ta được một đường mới
Và tạo phép quay của lệnh bề mặt giới hạn bởi q(x) trục hoành với x chạy từ a đến b theo lệnh
PhepQuay(e, q, TrucHoanh)
Sau khi chỉnh đổi màu sắc và chỉnh hàm, cận tôi thu được kết quả như sau
c. Ứng dụng thực tiễn trong dạy và học
Với các chức năng tôi giới thiệu trên, tạo ra một mô hình trực quan, qua đó học sinh có thể tưởng tượng ngay ra. Và tính được kết quả ngay của bài toán.
Ý tưởng sử dụng mô hình Ý tưởng 1.
- Giáo viên đưa ra đề bài hoặc nhập hàm và cận tạo ra bài tạo mới - Tích hình phẳng hiện ra miền mặt phẳng giới hạn bởi các đường
- Gọi học sinh lên thực hiện ví dụ
- Giáo viên nhận xét và đưa lời giải, bằng cách tích vào ô “Hiện lời giải”
- Nháy chuột vào biểu tượng để hình phẳng quay quanh trục Ox.
- Giữ chuột trái vào miền hiển thị 3D và giữ chuột và rê chuột cho học sinh quan sát các góc nhìn khác nhau.
Ý tưởng 2.
Giáo viên chuyển giao sản phẩm cho học sinh. Hướng dẫn các em dùng sản phẩm ở nhà.