Khi khảo sát các bài toán cơ học vật rấn , ta gặp nhiễu bài toán hay , có nhiều ứng dụng . Chúng ta sẽ xét một số bài toán mà nó có ứng dụng cụ thể , trực tiếp trong đời sống : bài toán người chuyển động trên
cái đĩa ; bài toán mô hình máy dát mỏng kim loại ; các bài toán về cuộn
chỉ. Trong đó ta đặc biệt quan tâm đến các bài toán liên quan đến chuyển động cùa cuộn chỉ .
1.Bài toán l :
Một đĩa tròn nằm ngang có thể quay không ma sát quanh một trục
thẳng đứng qua khối tâm O của đĩa . Một người có trọng lượng ?, đi với vận tốc tương đối không đổi u , khoảng cách r đối với tâm O cố định . Tính vận tốc quay của đĩa coi trọng lượng ? của đĩa phân bố đều trên diện tích vòng tròn bán kính R .biét ban đầu hệ đứng yên .
+ Phân tích :
-Người chuyển động tròn quanh O .Làm đĩa quay quanh trục thẳng đứng đi qua tam O
-Các trọng lực tác dụng vào cơ hệ đều song song với trục quay , nên moment động lượng của cơ hệ được bảo toàn .
+Gidi ;
Goi ứœ,,œ, lần lượt là vận tốc gúc của đĩa và cũa người
I¡ , lạ lần lượt moment quán tính của đĩa và cũa người so
với trục quay .
Như phân tích ở trên , moment động lượng của hệ được bảo toàn .
Vì lúc đầu hệ đứng yên nên :
SVTH: Mai Cao Cường 85
Luận văn tốt nghiệp GVHD:Dương Đào Tùng
1,0, + 1,0, =O
>low,+la,=O0O (1) voi: = 21 ' hatte
£ 2£
M+@,
| @Fr=ur+ar > @,= r
Thé vao (1) ta được :
F. Rew, ch t9) .o
2g r
âđ ứa(P,.R` +2P,rè +2P,r.u =Q
~ 2P, ral
Resins ©) wont 7
20, =
+ Nhận vét :
-Dau “-“ ở biểu thức (*) chứng tỏ đĩa quay ngược chiểu với chiều chuyển động của người.
-Cũng từ biểu thức (*) ta thấy giá trị vận tốt góc của đĩa tỷ lệ thuận với giá trị vận tốc của người .
2.Bài toán 2: Điều kiện để cuộn chỉ không trượt.
Một cuộn chỉ -
khối lượng m đặt trên E
mặt phẳng ngang
Moment quan tinh cia |
nó đối với trục quay là | QO) a
I. Hệ số ma sát giữa | +
cuộn chỉ va mặt phẳng R
ngang là k. |
na
Kéo cuộn chỉ bằng lực F lệch so với phương ngang l góc œ. Lực F phải có giá trị như thế nào để cuộn chỉ lăn không trượt.
SVTH: Mai Cao Cường 86
Luận văn tốt nghiệp GVHD:Dương Đào Tùng
+ Phân tích:
Gọi N là phản lực của mặt phẳng tác dụng lên cuộn chỉ. Ta sử dụng điểu kiện để nó lăn không
trượt: f„„< kN. x
Lực F tác dụng vào cuộn
chỉ gây ra moment làm cuộn chỉ
có xu hướng quay ngược chiều kim oO, , a đồng hồ. Điểm tiếp xúc M có xu HL
hướng trượt về bên phải, nên lực F <4 ma sát xuất hiện giữ điểm M lại, 7V he
đồng thời gây ra moment làm vật g
quay theo chiều ngược lại.Do đó
lực ma sát phải có chiều hướng sang trái.
+Giải:
Gọi A là đường thẳng nối các điểm tiếp xúc của cuộn chỉ với mặt phẳng ngang. Lúc đó A chính là trục quay tức thời của cuộn chỉ.
Các phương trình động lực học:
RA
M,+Mi+M?+M7 =1.f
Chọn chiều đương từ trái sang phải, chiều quay cùng chiều kim đồng hỗ:
F cosa — f,, = ma
Seana ~ F sina.HN =(1 + mR’)B
= F.cosa(R —rcosa)— F sinar.sina =(/ + mR?)8
<> F(R.cosa —r)=(/] + mR`)8 _ F(Reosa —r)
ape a
SVTH: Mai Cao Cường 87
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Duomg Dao Ting
mRF(Rcosa - r)
I+mR°
Jur + mR? )cosa + mR(r ~ Rcosa)|
F.cosa — f,, = Ta suy ra: © /„„ ae F
F Ị +mrR) [4
mm. mrR) [4]
=> fa =
Để cuộn chỉ không trượt, ta cần có điều kiện:
F„„< k.N.
Với N=P-Fsinœ Suy ra: f„„< k(mg-Fsinơ)
Thế vào [4] ta được:
(/ cosa + mrR) < k(mg — F sina)
kmg(1 + mR’) 1+mR’
©F< = (N)
M(cosa + ksina)+mR*( +ksina) 3.Bài toán 3:
Cho đĩa tròn
bán kính R ,trục R
quay qua tâm O cố L3)
định, giữa đĩa và z ole -
mặt phẳng ngang có Serr} 277777777 777777 nhiều
wt wl UU
vật A vào khe hở , KG 2005056
khi đĩa quay , lực ma sát giữa đĩa và vật A kéo vật qua khe hở (vật sẽ bị
biến dạng ). Tìm chiểu đày d của khe hở để nó có thể qua khe . Biết hệ số masát trượt giữa vật A và đĩa , giữa vật A và mặt phẳng lần lượt là f,
f;d>a.
"#J. ứ zZ
+ Phân tich :
SVTH: Mai Cao Cudng 88
Luận văn tốt nghiệp GVHD:Dương Đào Tùng - Nguyên nhân làm cho vật A chuyển động là do tác dụng của các lực ma sát .Các lực tác dụng lên vật A :
Do đĩa : lữc ma sát F, phản lực N của đĩa
Do mặt phẳng : lực ma sắt F_, phản lực N của mặt phẳng , trọng lực P.
-_ Lúc vật A trượt qua khe thì :F =f.N ; F =f.N -Các lực tác dụng lên vật được phân tích như hình vẽ .
+Giải :
Gọi là góc hợp bởi lực ma sát do đĩa tác dụng vào vật và phương ngang Phương trình động lực học của A :
F+N+F+N+P=ma (®) Chiếu (*) lên trục Oy :
N'z F sina + N.cosœ F=fN
N'= N(f.sina + cosa) (1)
Chiếu (*) xuống trục Ox , diéu kién dé vat qua khe 1a :
F.cosa - F”= N.sina > O
VOi:F=f.N , F=/.N
I N.cosa - f° N=N.sina>O
SVTH: Mai Cao Cường 89
Luận văn tốt nghiệp GVHD:Dương Đào Tùng Thế N ở (I1) vào ta được :
f N.cosa — f'(f.sina + cosa).N = N.sina > O
<> cosa( f —f')>sina(l+ f.f')
_f-f œ
I+/./
> tga <
nên từ (2) suy ra:
f-(Fee=4) f-f
R+a-d “4 ff
R
Biến đổi ta được:
(
d<a+Ril- >
| (5% ẽ |
- Khi giải quyết bài toán, ta chỉ xét điều kiện để vật qua khe a chứ không quan tâm khi qua khe nó sẽ biến dạng thế nào.
+ Nhận xét:
- Cần chú ý đến phương, chiều các lực tác dụng lên vat A.
œc(0x/2) - Ta có:
=> fgđ >0
- Nên từ (2) suy ra: f > f. Tức là để vật có thể qua được khe thì trước hết hệ số ma sát giữa vật và đĩa phải lớn hơn hệ số ma sát giữa vật
và mặt phẳng ngang.
SVTH: Mai Cao Cường 90
Luận văn tốt nghiệp GVHD:Dương Đào Tùng
Kết quả bài toán này được ứng dụng trong các máy ép, máy đát mỏng
kim loại. Những vật đưa vào máy phải thoả một điều kiện nhất định thì máy mới hoạt động.
4.Bài toán 4:
Một cuộn chỉ có trục F
quay qua O, các bán kính R và r. Moment quán tính
của nó so với trục quay là O : i &
I. Kéo cuộn chỉ bằng một
lực F không đổi. Xác định R
truyền động của cuộn chỉ 1
theo góc œ là góc hợp bởi lực kéo F và phương ngang.
Biết cuộn chỉ lăn không trượt.
+ Phân tích:
Ta tạm gọi cuộn chỉ có 2 vành: vành trong bán kính r và vành ngoài bán kính R. Bài toán cuộn chỉ đặc biệt ở chỗ: lực kéo đặt vào vành trong còn lực ma sát xuất hiện ở vành ngoài.
Khó xác định chiều của lực ma sát.
Cuộn chỉ lăn không trượt nên lực ma sát là ma sát nghỉ.
Lực F tác dụng vào cuộn chỉ gây ra moment làm cuộn chỉ có xu
hướng quay về phía trái(ngược chiều kim đồng hổ). Điểm tiếp xúc A có xu hướng trượt về bên phải, nên lực ma sát xuất hiện giữ điểm A lại, đồng thời gây ra moment làm vật quay theo chiều ngược lại.Do đó lực ma sát phải có chiều hướng sang trái.
SVTH: Mai Cao Cường 91
Luận văn tốt nghiệp
+Gidi:
GVHD: Duong Dao Ting
Chọn chiểu đương từ trái sang phải, chiều quay dương trùng chiều kim đồng hồ.
Ta có các phương trình động lực học:
+N
“sl
Với a,Ð lần lượt là gia tốc tịnh tiến của O và gia tốc góc của cuộn chỉ,
Do lăn không trượt nên: f,
a=B.R. ;
Chiếu hệ trên , ta được
phương trình đại số:
F.cosa ~ f„ = ma R./.-r.F =L8
Giải hệ trên ta thu được kết quả:
E.Rˆ(cosœ — ”)
— ——-.ệ Vốn mR? +]
+ Biện luận:
Khi lực ép tiếp xúc với vành trong tại C,giá của nó qua điểm A
thì ta có:
cosœ=r/R. Nên từ (*) suy ra: sai
a=0. Tâm O của cuộn chỉ không Ems
chuyển động.
Khi F được đặt tiếp tuyến với cung BC: cosœ>r/R.
SVTH: Mai Cao Cường 92
Luận văn tốt nghiệp GVHD:Dương Đào Tùng
Suy ra: a>0. Cuộn chỉ chuyển động qua phải.
Khi F được đặt tiếp tuyến với cung CD: cosa<r/R.
Suy ra: a<0.Lúc đó cuộn chỉ chuyển động qua trái.
SVTH: Mai Cao Cường 93
Luận văn tốt nghiệp GVHD:Dương Đào Tùng
HI.Phần nhận xét:
Với bài toán người chuyển động trên cái đĩa, ta có thể mở rộng khi xét lúc người bất đầu chuyển động đĩa đã có vận tốc; hoặc xét người chuyển động có gia tốc.
Nếu ngườu chuyển động tiến vào tâm đĩa hoặc từ tâm đĩa đi ra, lúc đó khồng những vận tốc thay đổi mà moment quán tính của hệ đối với trục quay biến đổi, sẽ làm vận tốc góc của đĩa thay đổi đáng kể.
Điều này được các nghệ sĩ xiếc vận dụng để biểu diễn.
Với bài toán (3) được vận đụng cho các máy ép , máy dat mong
kim loại.Người ta sẽ nâng cao hệ số ma sát giữa vật và đĩa, giảm hệ số ma sất giữa vật và mặt phẳng ngang để vật có thể qua máy dễ dàng.
Các bài toán về cuộn chỉ được ứng dụng trong các bánh đà kép của máy; trong các vành bánh xe; được mở rộng đối với cơ cấu chuyển động của các bánh xe (xe máy, xe đạp,..)
SVTH: Mai Cao Cường 94
Luận văn tốt nghiệp GVHD:Dương Đào Tùng