Xét bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số dạng (2.5), trong đúF(x, à),K(λ),M,Λđược định nghĩa như trong Mục 2.1. Giả sử(x0, à0, λ0)∈ X ×M ×Λ là bộ ba thỏa mãn điều kiện
0∈ F(x0, à0) +NK(λ0)(x0). (2.8) Kết quả đầu tiên của chúng ta về độ nhạy nghiệm của bài toán (2.5) đối với sự thay đổi của cặp tham số (à, λ) được phỏt biểu như sau.
Định lý 2.10. Giả sử rằng các điều kiện sau đây được thỏa mãn a) Với mọi à∈ M, F(ã, à) là toỏn tử đơn điệu cực đại.
b) Tồn tại lân cận U của x0 sao cho với mọi ε >0 tồn tại δ > 0 để nếu (x1, x∗1), (x2, x∗2)∈graf F(ã, à)∩(U ìX∗),
với à∈ M nào đú, và
||x2−x1|| > ε, thì
< x∗2 −x∗1, x2−x1 > > δ.
c) Tồn tại lõn cận U0 của x0, lõn cận W của à0 và hằng số γ > 0 sao cho F(x, à)6=∅ với mọi (x, à)∈ U0ìW,
sup{||x∗|| :x∗ ∈ F(x, à), x∈ U0, à∈W}< γ, (2.9) và với mọi x∈ U, F(x,ã) là nửa liờn tục dưới theo nghĩa Hausdorff tại mọi điểm à∈ W.
d) Tồn tại hàm số β :R+ →R+ thỏa mãn
t→0limβ(t) = 0, lân cận U00 của x0 và lân cận V của λ0 sao cho
K(λ0)∩U00 ⊂ K(λ) +β(d(λ0, λ))BX, ∀λ0, λ ∈V. (2.10)
Khi đú tồn tại lõn cận Wf của à0, lõn cận Ve của λ0 sao cho với mọi (à, λ) ∈ WfìVe tồn tại duy nhất nghiệm x = x(à, λ)∈ U của bất đẳng thức biến phõn suy rộng sau đây
0∈ F(x, à) +NK(λ)(x). (2.11) Hơn nữa, x(à0, λ) = x0 và hàm (à, λ)7−→x(à, λ) liờn tục trờn WfìVe.
Các nhận xét dưới đây sẽ giúp chúng ta hiểu rõ hơn về các giả thiết a)→d).
Nhận xột 2.11. Nếu tồn tại một hằng số α > 0 sao cho với mọi à ∈ M và (x1, x∗1),(x2, x∗2) ∈ graf F(ã, à), bất đẳng thức (2.7) được nghiệm đỳng thỡ b) được thỏa mãn. Cũng dễ thấy rằng nếu tồn tại một hàm không giảm ω : R+ → R+, ω(t) > 0 khi t > 0, sao cho với mọi à ∈ M và với mọi (x1, x∗1),(x2, x∗2) ∈ graf F(ã, à), bất đẳng thức (2.6) nghiệm đỳng, thỡ b) được thỏa món.
Nhận xột 2.12. Nếu a) và b) được thỏa món, với mọi à∈M, hạn chế của ỏnh xạ F(ã, à) trờn U là đơn điệu chặt. Thật vậy, do a), F(ã, à) là đơn điệu. Giả sử rằng tồn tại (x1, x∗1),(x2, x∗2)∈graf F(ã, à)∩(U ìX∗), x1 6=x2 thỏa món
< x∗2 −x∗1, x2−x1 > = 0.
Đặt ε = 1
2||x2−x1||. Với mọi δ >0, ta có ||x2−x1|| > ε. Ta lại có
< x∗2−x∗1, x2−x1 > = 0< δ.
Điều này mâu thuẫn với b).
Nhận xột 2.13. Nếu F(x, à) = {f(x, à)}, trong đú f : X ìM → X∗ là ỏnh xạ đơn trị và liên tục thì c) thỏa mãn.
Nhận xét 2.14. Giả sử rằng Λ là một tập con trong không gian định chuẩn và β(t) = k(t), trong đó k > 0 là một hằng số. Khi đó (2.10) trở thành
K(λ0)∩U00 ⊂ K(λ) +k||λ0−λ||BX
với mọi λ, λ0 ∈ V. Trong trường hợp này, ta núi rằng K(ã) là giả Lipschitz tại (λ0, x0). Theo thuật ngữ trong [8] và [12], ỏnh xạ K(ã)là cú tớnh chất Aubin tại (λ0, x0). Các tác giả của [10] đã đề nghị thay cụm từ “có tính chất Aubin” bởi cụm từ “liờn tục Aubin”. Dễ thấy rằng nếu K(ã) liờn tục Aubin tại (λ0, x0) thỡ d) thỏa mãn.
Nhận xột 2.15. Nếu với mọi à ∈ M, ỏnh xạ F(ã, à) cú giỏ trị lồi, đúng, đơn điệu và hê-mi liên tục trên X, thì a) thỏa mãn. Để chứng minh điều đó ta chỉ cần áp dụng Bổ đề 2.4 và Bổ đề 2.5.
Nhận xét 2.16. Định lý 2.22 dưới đây là trường hợp đặc biệt của Định lý 2.10, trong đó F là một ánh xạ đơn trị.
Khái niệm đơn điệu đều (theo một hàm cỡ ω nào đó) của các toán tử đã tỏ ra rất hữu ích trong Giải tích hàm phi tuyến. Trong [11] và [9] đã chỉ ra rằng có thể đặc trưng tính lồi đều của các không gian Banach bằng cách sử dụng tính đơn điệu đều của các toán tử. Lưu ý rằng lớp các toán tử đơn điệu mạnh là khá hẹp và không thích hợp cho việc thiết lập những đặc trưng như thế.
Dưới đây là một số ví dụ về các toán tử là ω - đơn điệu dều ( với một hàm cỡ ω nào đó ) mà không là đơn điệu mạnh.
Ví dụ 2.17. Xét ánh xạ F : R→2R được xác định bởi công thức F(u) = {|u|p−2u},
với mọi u ∈ R, trong đó p > 2 là một hằng số cho trước. Khi đó tồn tại một hằng số c sao cho
(|u|p−2u− |v|p−2v, u−v)≥c|u−v|p,
với mọi u, v ∈R. Do đú F(ã) là một toỏn tử ω đơn điệu đều với ω(t) :=ctp−1. Chỳ ý 2.18. Cú thể chứng tỏ rằng F(ã) khụng là toỏn tử đơn điệu mạnh.
Vớ dụ 2.19. Giả sử ϕ :R →R, à(x) = x4. Vỡ ϕ là một hàm lồi khả vi liờn tục nên
∂ϕ(x) = {ϕ0(x)}.
Với mọi x, y ∈R ta có
< ϕ0(y)−ϕ0(x), y−x >= (4y3−4x3)(y−x)
= 4(y2+xy+x2)(x−y)2
≥ (y−x)4.
Vỡ vậy F(ã) = ∂ϕ(ã) là ω - đơn điệu đều, trong đú ω(t) = t3. Chỳ ý rằng toỏn tử F này không đơn điệu mạnh.
Ví dụ 2.20. Giả sử X = Lp([0,1]), p >2, là không gian Banach gồm các hàm đo được xác định trên [0,1], sao cho
1
Z
0
|x(s)|pds < +∞.
Theo định nghĩa,
||x||=
1
Z
0
|x(s)|pds
1/p
. Đặt
φ(x) = 1
p ã ||x||p, ∀x ∈X.
Xột ỏnh xạ f : X →2X∗ được xỏc định bởi cụng thức F(ã) := ∂ϕ(ã). Nhận xột rằng F(ã) là một ỏnh xạ đối ngẫu chuẩn tắc. ta cú
||tx+ (1−t)y||p ≤ t||x||p+ (1−t)||y||p− 1
p2pc(t)||x−y||p, với mọi x, y ∈X và t ∈[0,1], trong đó
c(t) = t(1−t)p+tp(1−t).
Sử dụng sự kiện này và lập luận trong chứng minh của Mệnh đề 2.26 của Mục 2.5 trong chương này, ta thu được
< x∗ −y∗, x−y > ≥ α||x−y||p, với mọi x, y ∈ X, x∗ ∈ F(x), y∗ ∈ F(y), trong đó α = 2
p22p. Điều này chứng tỏ rằng F là toán tử ω - đơn điệu đều với ω(t) = αtp−1. Tuy nhiên, F không là đơn điệu mạnh. Thật vậy, giả sử ngược lại rằng tồn tại β >0 sao cho
< x∗−y∗, x−y > ≥ β||x−y||p,
với mọi x, y ∈X, x∗ ∈F(x), y∗ ∈ F(y). Cho x = 2y, y 6= 0 ta có
< x∗−y∗, y > ≥ β||y||2,
với mọi y ∈X, x∗ ∈F(2y), y∗ ∈ F(y). Theo Mệnh đề 2.1 trong [9], F(x) ={x∗ ∈X :< x∗, x >= ||x||p, ||x∗|| =||x||p−1}.
Vậy ta có
β||y||2 ≤< x∗−y∗, y >= 2p−1||y||p − ||y||p = (2p−1−1)||y||p. Từ đây suy ra
β ≤ (2p−1−1)||y||p−2.
Vì bất đẳng thức này không thỏa mãn với y ∈ X có chuẩn đủ nhỏ nên ta đi đến mâu thuẫn.
Chứng minh Định lý 2.10: Giả sử rằng các giả thiết a) - d) được thỏa mãn. Khi đó, do c) và d), tồn tại các hằng số s >0, δ >0 sao cho
B(x0, s)⊂ U ∩U0∩U00, B(λ0, δ)⊂ V, và
β(d(λ, λ0)) < s, ∀λ ∈ B(λ0, δ). (2.12) Do cách chọn s > 0 và δ > 0, ta có
sup{||x∗||: x∗ ∈F(x, à), x∈ B(x0, s), à∈ W} ≤ γ, (2.13) K(λ0)∩B(x0, s)⊂K(λ) +β(d(λ0, λ))BX, (2.14) với mọi λ0, λ ∈ B(λ0, δ). Thay λ0 = λ0 vào (2.14), ta thấy rằng với mỗi λ ∈ B(λ0, δ) tồn tại zλ ∈ K(λ) thỏa mãn
||zλ−x0|| ≤β(d(λ, λ0)) < s.
Do đó ta có K(λ)∩B(x0, s) 6= ∅ với mọi λ ∈ B(λ0, δ). Cố định một cặp (à, λ)∈ W ìB(λ0, δ) và xột bao hàm thức
0∈ F(x, à) +NK(λ)∩B(x
0,s)(x). (2.15)
Vì K(λ)∩B(x0, s) là tập lồi đóng, toán tử nón pháp tuyến x 7−→NK(λ)∩B(x
0,s)(x), (2.16)
là đơn điệu cực đại (xem [13, p. 859]). Do a) nờn F(ã, à) cũng là đơn điệu cực đại. Do c) và do cách chọn s, ta có
B(x0, s)⊂int (dom F(ã, à)).
Vì miền hữu hiệu của toán tử (2.16) là tập bị chặn và khác rỗng K(λ)∩ B(x0, s) nên theo Bổ đề 2.6, ánh xạ đa trị
x7−→F(x, à) +NK(λ)∩B(x
0,s)(x) (2.17)
là đơn điệu cực đại với miền hữu hiệu bị chặn. Theo Bổ đề 2.7 tồn tại vectơ x = x(à, λ) ∈ K(λ) ∩B(x0, s) thỏa món bao hàm thức (2.15). Vỡ F(ã, à) là đơn điệu chặt (theo nhận xột 2.12), vectơ x= x(à, λ)là xỏc định duy nhất. Do (2.15), tồn tại zà,λ∗ ∈F(x(à, λ), à) sao cho
< zà,λ∗ , z−x(à, λ)> ≥ 0, ∀z ∈ K(λ)∩B(x0, s).
Nói riêng ra,
< zà,λ∗ , zλ−x(à, λ)> ≥ 0. (2.18) Do (2.14) và do x(à, λ)∈ K(λ)∩B(x0, s), tồn tại z0 ∈ K(λ0) thỏa món
||x(à, λ)−z0|| ≤β(d(λ, λ0)).
Do (2.8), tồn tại x∗0 ∈ F(x0, à0) sao cho
< x∗0, z−x0 > ≥ 0, với mọi z ∈ K(λ0). Nói riêng ra,
< x∗0, z0−x0 > ≥ 0. (2.19) Vỡ F(ã, à) là đơn điệu cực đại, giỏ trị của nú phải là cỏc tập lồi đúng yếu∗ trong X∗ (xem [13, Proposition 32.6]). Như vậy F(x0, à), à ∈M là cỏc tập con lồi đúng yếu∗ trong X∗. Hơn nữa do c) ta cú F(x0, à)6= ∅. Vỡ X là khụng gian Banach phản xạ nờn tồn tại y∗à ∈F(x0, à) thỏa món
d(x∗0, F(x0, à)) = inf
z∗∈F(x0,à)||x∗0−z∗||= ||x∗0−y∗à||. (2.20) Sử dụng (2.18) và (2.19), và tớnh đơn điệu của F(ã, à) ta cú
0≤< zà,λ∗ −yà∗, x(à, λ)−x0 >
≤< zà,λ∗ −yà∗, x(à, λ)−x0 > + < x∗0, z0−x0 > + < zà,λ∗ , zλ−x(à, λ)>
=< zà,λ∗ , zλ−x0 > + < y∗à, x(à, λ)−x0 >+ < x∗0, z0−x0 >
=< zà,λ∗ , zλ−x0 > + < y∗à, x(à, λ)−x0 >+ < yà∗, z0−x0 >+ + < x∗0−yà∗, z0−x0 >
=< zà,λ∗ , zλ−x0 > + < y∗à, z0−x(à, λ)>+ < x∗0−yà∗, z0−x0 >
≤ ||zà,λ∗ || ã ||zλ −x0||+||yà∗|| ã ||x(à, λ)−z0||+||x∗0 −yà∗|| ã ||z0−x0||.
Do (2.13) ta có
||zà,λ∗ || ≤γ, ||yà∗|| ≤γ,
||x(à, λ)−z0|| ≤β(d(λ, λ0)), ||zλ −z0|| ≤β(d(λ, λ0)),
||z0−x0|| ≤ ||z0 −x(à, λ)||+||x(à, λ)−x0|| ≤β(d(λ, λ0)) +s < 2s.
Vì vậy
0≤< zà,λ∗ −yà∗, x(à, λ)−x0 >≤ 2γβd(λ, λ0) + 2s||x∗0−yà∗||. (2.21) Ta khẳng định rằng ||x∗0−yà∗|| →0 khi à→à0. Thực vậy, từ c) suy ra rằng ỏnh xạ đa trị F(x0,ã) là nửa liờn tục dưới Hausdorff tạià0. Do đú với mỗiε > 0 tồn tại δ0 > 0 sao cho
F(x0, à0)⊂ F(x0, à) +εβx∗, ∀à∈B(à0, δ0).
Vỡ x∗0 ∈ F(x0, à0) nờn
d(x∗0, F(x0, à)) < ε.
Do (2.20) ta có
||x∗0−yà∗||< ε, ∀à∈B(à0, δ0).
Như vậy ta đó chứng minh được rằng ||x∗0 −yà∗|| → 0 khi à→à0. Chú ý rằng từ (2.21) ta có
< zà,λ∗ −yà∗, x(à, λ)−x0 >→0 (2.22) khi (à, λ) → (à0, λ0). Bõy giờ chỳng ta sẽ sử dụng giả thiết b). Giả sử ε > 0 cho trước, chọn δ >0 sao cho tính chất được phát biểu trong b) nghiệm đúng.
Do (2.22), tồn tại θ > 0 sao cho với mọi cặp (à, λ) thỏa món d(à, à0) < θ, d(λ, λ0)< θ ta có
< z∗à,λ−y∗à, x(à, λ)−x0 >≤δ.
Vỡ (x(à, λ), zà,λ∗ ), (yà∗, x0)∈graf F(ã, à) nờn từ b) ta suy ra rằng đỏnh giỏ
||x(à, λ)−x0|| ≤ε
nghiệm đỳng với mọi cặp (à, λ) mà d(à, à0)< θ và d(λ, λ0)< θ. Điều này cho thấy rằng x(à0, λ0) = x0 và x(à, λ) → x0 khi (à, λ) → (à0, λ0). Do đú tồn tại lõn cận mở Wf của à0, lõn cận mở Ve của λ0 sao cho Wf ⊂ W, Ve ⊂ B(λ0, δ) và x(à, λ)∈ B(x0, s) với mọi cặp (à, λ)∈ WfìVe. Với mọi (à, λ) ∈WfìVe, do x = x(à, λ) thỏa món (2.15) và do
NK(λ)∩B(x
0,s)x(à, λ) =NK(λ)x(à, λ), ta có
0∈ F(x(à, λ), à) +NK(λ)(x(à, λ)).
Điều này chứng tỏ rằng x= x(à, λ) là nghiệm của bài toỏn (2.11).
Ta cũn phải chứng minh rằng hàm (à, λ) 7−→ x(à, λ) liờn tục trờn WfìVe. Giả sử (à, λ)∈ WfìVe được cho tựy ý. Đặt x= x(à, λ), ta cú
0∈ F(x, à) +NK(λ)(x).
Bõy giờ thay cho bộ ba (x0, à0, λ0), chỳng ta xột bộ ba (x, à, λ).
Chú ý rằng các giả thiết a), b) không phụ thuộc vào việc chọn bộ ba (x0, à0, λ0). Do c) và d) nờn ta cú W và V tương ứng là cỏc lõn cận của à và λ, trong khi U, U0 và U00 là các lân cận của x. Vì vậy các giả thiết a) → d), ở đú (x0, à0, λ0) được thay thế bởi (x, à, λ), vẫn cú hiệu lực. Khi đú theo kết quả đã được thiết lập trong phần trước của chứng minh này, tồn tại các lân cận mở W ∈ fW và V ∈ Ve tương ứng của à và λ sao cho với mỗi (à, λ) ∈ V ìW tồn tại duy nhất vectơ u= u(à, λ) thỏa món (2.11), đồng thời u(à, λ)→x khi u(à, λ)→(à, λ) và u(à, λ) = x. Với mọi cặp (à, λ)∈M ìΛ, vỡ (2.11) cú nhiều nhất một nghiệm nờn ta phải cú u(à, λ) = x(à, λ) với mọi (à, λ)∈ WìV. Tớnh liờn tục của hàm x(à, λ) tại (à, λ) suy ra từ tớnh liờn tục của hàm u(à, λ) tại
(à, λ). Định lý được chứng minh.
Bây giờ chúng ta chỉ ra rằng dưới những điều kiện chặt hơn các điều kiện a)
→ d), ỏnh xạ nghiệm x= x(à, λ) của bài toỏn (2.11) cú tớnh chất liờn tục kiểu Lipschitz - H¨older, mạnh hơn tính chất liên tục nói trong kết luận của Định lý 2.10.
Định lý 2.21. Giả sử rằng a) và các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
b’) Tồn tại lân cận U của x0 và hằng số α > 0 sao cho nếu ta có (x1, x∗1), (x2, x∗2) ∈graf F(ã, à)∩(U ìX∗) với một phần tử à ∈M nào đú thỡ
< x∗2−x∗1, x2−x1 > ≥ α||x2−x1||2. (2.23) c’) Tồn tại lõn cận U0 của x0, lõn cận W của à0 và hằng số l > 0 sao cho
F(x, à)6=∅ với mọi (x, à)∈ U0ìW0 và
h(F(x1, à1), F(x2, à2)) ≤l(||x1−x2||+d(à1, à2)), (2.24) với mọi (x1, à1), (x2, à2)∈ U0ìW, trong đú
h(A, B) = max
sup
a∈A
b∈Binf ||a−b||,sup
b∈B
a∈Ainf ||a−b||
ký hiệu khoảng cách Hausdorff giữa hai tập hợp A, B ⊂ X∗.
d’) Tồn tại lõn cận U0 của à0, lõn cận V của λ0 và hằng số k > 0 sao cho K(λ0)∩U00∩K(λ) +kd(λ0, λ)BX, ∀λ, λ0 ∈ V. (2.25) Khi đú tồn tại lõn cận Wf của à0, lõn cận Ve của λ0, cỏc hằng số k1, k2 > 0 sao cho với mọi (à, λ) ∈ WfìVe tồn tại duy nhất nghiệm x = x(à, λ) ∈ U của bài toỏn (2.11) thỏa món đẳng thức x(à0, λ0) = x0 và
||x(à0, λ0)−x(à, λ)|| ≤k1d(à0, à) +k2d(λ0, λ)1/2, với mọi (à0, λ0), (à, λ)∈ WfìVe.
Chứng minh. Trước tiên ta chỉ ra rằng các giả thiết a) → d) của Định lý 2.10 được thỏa mãn. Hiển nhiên b’) suy ra b) và d’) suy ra d). Từ c’) ta có x0 ∈ int (dom F(ã, à0)). Vỡ F(ã, à0) là đơn điệu cực đại nờn F(x0, à0) phải là tập bị chặn (xem [13, Proposition 32.33]). Do c’) và do tớnh bị chặn của tập F(x0, à0) tồn tại hằng số γ > 0 sao cho tính chất (2.9) nghiệm đúng. Vì vậy chứng minh của Định lý 2.10 áp dụng được vào trường hợp đang xét.
Theo Định lý 2.10, tồn tại các lân cận Wf, Ve và duy nhất một hàm liên tục x(à, λ) xỏc định trờn fW ìVe sao cho với mọi (à, λ)∈ fW ìVe ta cú x= x(à, λ) là nghiệm của (2.11).
Giả sử s, δ được chọn như trong chứng minh của Định lý 2.10. Gọi fW, Ve và x = x(à, λ) tương ứng là cỏc lõn cận và ỏnh xạ nghiệm được xõy dựng như trong chứng minh của Định lý 2.10. Lấy tựy ý (à0, λ0), (à, λ)∈WfìVe. Do
x(à, λ)∈K(λ)∩B(x0, s)⊂ K(λ)∩U00 và do (2.25) nên tồn tại z ∈ K(λ0) sao cho
||x(à, λ)−z|| ≤kd(λ, λ0). (2.26) Tương tự, do x(à, λ0)∈ K(λ0)∩B(x0, s)⊂ K(λ0)∩U00 và do (2.25) nờn tồn tại y ∈K(λ) sao cho
||x(à, λ0)−y|| ≤kd(λ, λ0). (2.27) Vỡ x(à, λ) (và x(à, λ0)) là nghiệm bao hàm thức
0∈ F(x, à) +NK(λ)(x),
(tương ứng0∈ F(x, à)+NK(λ0)(x)), tồn tạiy∗ ∈ F(x(à, λ), à)(z∗ ∈ F(x(à, λ), à) tương ứng) sao cho
< y∗, y−x(à, λ) > ≥ 0,
< z∗, z−x(à, λ0)> ≥ 0.
(2.28) Từ (2.23) và (2.26) - (2.28) ta có
α||x(à, λ0)−x(à, λ)||2 ≤< z∗ −y∗, x(à, λ0)−x(à, λ)>
≤< z∗−y∗, x(à, λ0)−x(à, λ)> +< y∗, y −x(à, λ)> +< z∗, z−x(à, λ0)>
=< z∗, z−x(à, λ)> +< y∗, y −x(à, λ0) >
≤ ||z∗|| ã ||z −x(à, λ)||+||y||∗ ã ||y−x(à, λ0)||
≤2γkd(λ, λ0).
Do đó
||x(à, λ0)−x(à, λ)|| ≤ 2γk
α ãd(λ, λ0)1/2. (2.29) Tiếp theo do x(à, λ0) (và x(à0, λ0)) là nghiệm của bao hàm thức
0 ∈F(x, à) +NK(λ0)(x),
(tương ứng, 0 ∈ F(x, à0) + NK(λ0)(x)), tồn tại u∗ ∈ F(x(à, λ0), à) (v∗ ∈ F(x(à0, λ0), à0) tương ứng) sao cho
< u∗, x(à0, λ0)−x(à, λ0)> ≥ 0,
< v∗, x(à, λ0)−x(à0, λ0)> ≥ 0.
(2.30) Do (2.24) nờn tồn tại ω∗ ∈ F(x(à0, λ0), à) thỏa món
||v∗ −ω∗|| ≤ld(à0, à). (2.31) Từ b’) và (2.30) suy ra
α||x(à0, λ0)−x(à, λ0)||2 ≤< ω∗ −u∗, x(à0, λ0)−x(à, λ0) >
≤< ω∗−u∗, x(à0, λ0)−x(à, λ0)> +< u∗, x(à0, λ0)−x(à, λ0)> + +< v∗, x(à, λ0)−x(à0, λ0)>
=< ω∗−v∗, x(à0, λ0)−x(à, λ0)>
≤ ||ω∗ −v∗|| ã ||x(à0, λ0)−x(à, λ0)||.
Do đó sử dụng (2.31) ta có
α||x(à0, λ0)−x(à, λ0)|| ≤ld(à0, à). (2.32) Kết hợp (2.29) với (2.32) ta có
||x(à0, λ0)−x(à, λ)|| ≤ ||x(à0, λ0)−x(à, λ0)||+||x(à, λ0)−x(à, λ)||
≤ l
αd(à0, à) + 2γk
α d(λ0, λ) 1/2
.
Đặt k1 = 1
α, k2 = 2γk
α 1/2
, ta có các hằng số thỏa mãn tính chất liên tục kiểu Lipschitz- H¨older nói trong kết luận của định lý.