CHƯƠNG 6 MỘT SỐ MÔ HÌNH MẪU LAN TRUYỀN CHẤT Ô NHIỄM
6.4 Mô hình toán sinh thái
6.4.2 Xây dựng mô hình toán mô tả một số hệ sinh thái
Như ủó biết, cỏc phương phỏp hiện ủại dự bỏo sự phỏt triển của cỏc hệ sinh thỏi trong ủiều kiện cú sự tỏc ủộng mạnh mẽ của con người dựa trờn cơ sở ứng dụng cỏc mụ hỡnh toỏn sinh thái khác nhau và trên cơ sở tiến hành các tính toán mô phỏng trên các mô hình này.
Mô hình là sự mô tả trừu tượng hiện tượng này hay hiện tượng khác của thế giới thực cho phép dự báo hiện tượng này. Mô hình toán học mô tả hiện tượng thực bằng các phương tiện toỏn học như hệ phương trỡnh vi phõn, ủồ thị, hệ cỏc phương trỡnh sai phõn … Mụ hỡnh toán học trong lĩnh vực môi trường sinh thái phát triển mạnh mẽ trong thời gian qua. Việc sử dụng mụ hỡnh toỏn học ủể mụ tả sự phỏt triển và dự bỏo tỡnh trạng mụi trường ủó mang lại những hiệu quả to lớn. Bắt ủầu từ năm 1926, Volterra ủó ứng dụng cụng cụ toỏn học nhằm làm sỏng tỏ mối quan hệ giữa hai loài cạnh tranh ủến nay số lượng cỏc mụ hỡnh lờn tới hàng trăm và ủang tiếp tục phỏt triển. Cỏc mụ hỡnh này mụ tả ủộng lực học của cỏc quỏ trỡnh khỏc nhau với sự tham gia của nhiều tham số và với ủộ chớnh xỏc khỏc nhau dự bỏo sự thay ủổi của chúng.
Hệ sinh thỏi là tổ hợp của một quần xó sinh vật với mụi trường vật lý mà quần xó ủú tồn tại, trong ủú cỏc sinh vật tương tỏc với nhau và với mụi trường ủể tạo nờn chu trỡnh vật chất và sự chuyển hóa của năng lượng.
Hệ sinh thỏi ủược nghiờn cứu từ lõu và vỡ vậy, khỏi niệm này ủó ra ủời ở cuối thế kỷ XIX dưới cỏi tờn khỏc nhau như “Sinh vật quần lạc”, sau này ủược mở rộng thành khỏi niệm
“sinh vật ủịa quần lạc” (biogeocenose) vào năm 1944. Từ “hệ sinh thỏi” (ecosystem) ủược A.
Tansley nờu ra vào năm 1935 và trở thành phổ biến, ủược sử dụng rộng rói nhất vỡ nú khụng chỉ bao hàm các hệ sinh thái tự nhiên mà cả các hệ sinh thái nhân tạo. Hệ sinh thái luôn là một hệ ủộng lực mở, bởi vỡ trong quỏ trỡnh tồn tại và phỏt triển, hệ phải tiếp nhận cả nguồn vật chất và năng lượng từ môi trường.
Cỏc dạng vật chất của một hệ sinh thỏi ứng với một ủiều kiện nhất ủịnh ủược gọi là một trạng thái của hệ và gọi là biến trạng thái (State variables). Các yếu tố bên ngoài có ảnh hưởng tỏc ủộng ủến cỏc biến trạng thỏi ủược gọi là cỏc biến ngoại sinh (exogenous variables)
136
như mưa, nắng, giú, nhiệt ủộ, ỏp suất … . Cỏc yếu tố do con người ủưa vào ủể ủiều khiển sự biến ủộng của hệ ủược gọi là biến ủiều khiển (decision variables). Cỏc trạng thỏi khi mà thời gian biến ủổi nú vẫn giữ nguyờn ủược gọi là trạng thỏi bền vững (Steady state).
Trong nghiờn cứu cỏc hệ sinh học người ta ủặc biệt quan tõm tới việc ủi tỡm phương phỏp giải thớch sự biến ủổi trạng thỏi của hệ và sự dẫn tới cỏc trạng thỏi bền vững. Một số vấn ủề cần quan tõm ở ủõy khi nghiờn cứu hệ như: cỡ của hệ (tức là ủộ lớn của hệ như chiều dài, ủộ cao, …), thời gian tồn tại của hệ (tuổi thọ), khả năng phỏt triển (sinh sản, chết chúc), sự tổn thất ủối với hệ (như bệnh tật, thiờn tai…) … Cụng việc thiết lập cỏc mối liờn hệ nào ủú trong một hệ ủược gọi là mụ hỡnh húa hệ sinh thỏi. Lưu ý rằng, một hệ cú thể cú nhiều loại ủối tượng như quần thể, loài, cỏ thể …. ðể xõy dựng ủược mụ hỡnh cho một hệ sinh thỏi cần thiết ủến cỏc kiến thức về mụi trường, phương trỡnh vi phõn, tớch phõn, xỏc suất thống kờ, lý thuyết tối ưu.
6.4.2.1 Tốc ủộ dũng
Một hệ sinh thỏi S gồm cỏc thành phần (biến trạng thỏi) ký hiệu là Si . Khi ủú cú thể biểu diễn dưới dạng 1 vec tơ như sau: S = (S1, S2, … , Sn). n gọi là chiều của hệ sinh thái. Với n =1, S ủược gọi là hệ 1 chiều, n ≥ 2 , S ủược gọi là hệ nhiều chiều. Ngoài cỏc thành phần là biến trạng thỏi ra hệ cũn cú cỏc biến ngoại sinh và biến ủiều khiển ảnh hưởng ủến cỏc biến trạng thái.
Ví dụ: Hệ sinh thái nước
Hỡnh 6.9. Sơ ủồ hệ sinh thỏi nước
ðịnh nghĩa. 1. Dũng dịch chuyển vật chất từ trạng thỏi này ủến trạng thỏi khỏc của hệ trong một ủơn vị thời gian ủược gọi là tốc ủộ dũng giữa 2 trạng thỏi.
Ký hiệu J(i,j) là tốc ủộ dũng từ trạng thỏi i ủến trạng thỏi j. Vớ dụ dưới ủõy là vớ dụ của hệ thú mồi.
Dinh dưỡng trong nước (S1) Thực vật nổi (S2)
ðộng vật nổi (S3) ðộng vật ủỏy (S4) Cá (S5)
Mưa, giú, nhiệt ủộ, bức xạù, ỏp suất, khụng khớ
Chế ủộ ủỏnh bắt cỏ và bổ sung dinh dưỡng
137
Hỡnh 6.10 Sơ ủồ thỳ mồi
Nếu quần thể chỉ cú sinh, khụng chết, cỏc ủiều kiện mụi trường là dừng (trong một khoảng thời gian nào ủú) thỡ
) 1
1 , 1
( rS
J ≡
trong ủú r – là tốc ủộ sinh sản của một cỏ thể. Nếu quần thể cú sự hạn chế bóo hũa của mụi trường là K thỡ Verhulst ủó ủề xuất cụng thức:
1
) 1
1 , 1
( S
K S r K
J
−
≡
trong ủú K – là mức bóo hũa.
Dựa vào qui luật biến ủổi cỏc quần thể trong ủiều kiện cú sự cạnh tranh giữa hai loài quần thể Volterra và cỏc nhà nghiờn cứu sau ụng ủó thiết lập:
2 1
) 1
2 , 1
( a S S
J ≡
2
) 2
2 , 2
( r S
J ≡
6.4.2.2 Tốc ủộ biến ủổi
ðịnh nghĩa 2. Tốc ủộ biến ủổi của một biến trạng thỏi i của hệ bằng tổng tất cả cỏc hiệu quả thực sự của cỏc dũng vật chất ủối với biến ủú trong một ủơn vị thời gian. Núi một cỏch khỏc là bằng tổng tất cả cỏc dũng vật chất ủi vào trừ ủi tổng tất cả cỏc dũng vật chất ủi ra từ biến i trong 1 ủơn vị thời gian.
Ký hiệu tốc ủộ biến ủổi của một biến trạng thỏi i là Fi . Khi ủú
Mồi S1 Thú S2
J(1,1) J(2,2)
J(1,2)
∑ − ∑
=
= ≠
N
j ij j i
i J j i J i j
F
1α ( , ) ' ( , ' )
138
Trong ủú N – là số cỏc biến trạng thỏi của hệ, trong ủú αji - là tỷ lệ chuyển húa vật chất từ j vào I (j=1,2,…, N).
Ví dụ trong trường hợp hệ sinh thái gồm hai loài quần thể cạnh tranh nhau ta có
6.4.2.3 Phương trình dự báo Phương trình
ðược gọi là phương trình dự báo trạng thái (Si (t))
Ví dụ như hệ thú – mồi ta có hệ phương trình Volterra – Lotka: (trong ví dụ này ta ký hiệu lại S1 ủược thay bằng N, S2 ủược thay bằng P)
- N – mật ủộ con mồi, t: thời gian, r1- hệ số sinh trưởng tiềm năng của con mồi khi khụng cú vật ăn thịt; P – mật ủộ vật ăn thịt, t: thời gian, r2- hệ số chết tiềm năng của vật ăn thịt khi không có con mồi.
- K1 : Hệ số thể hiện mức giảm sự phát triển của quần thể con mồi do một cá thể vật ăn thịt;
- K2 : Hệ số thể hiện mức tăng sự phát triển của quần thể vật ăn thịt theo một ủơn vị (hoặc sinh khối) con mồi;
- Cỏc ủiều kiện ban ủầu là số lượng mồi và thỳ tại thời ủiểm ban ủầu: N(0) = N0, P(0) = P0 . Dưới ủõy ta gọi bài toỏn này là bài toỏn A.
6.4.2.4 Mô hình hệ sinh thái nước:
Vào năm 1971, Ditoro cú ủưa ra mụ hỡnh hệ sinh thỏi nước với 3 biến trạng thỏi là dinh dưỡng (S1), thực vật nổi (S2) và ủộng vật nổi (S3). Sơ ủồ dũng thụng tin và cỏc tốc ủộ dũng ủược thể hiện trờn Hỡnh 6.11.
2 1 1 1
1
1 J ( 1 , 1 ) J ( 1 , 2 ) r Q a Q Q
F = − = −
2 1 2 2
2 12
2 J ( 1 , 2 ) J ( 2 , 2 ) r Q a Q Q
F = α + = +
).
(t dt F
dS
i
i =
N P K dt r
dN = ( 1− 1 )
P r N dt K
dP = ( 2 − 2)
(1)
139
Hỡnh 6.11. Sơ ủồ hệ sinh thỏi nước với cỏc tốc ủộ dũng chuyển húa vật chất
Việc xỏc ủịnh cỏc tốc ủộ dũng ủó ủược Diroto thực hiện như sau:
- ðộng vật nổi không hút dinh dưỡng trực tiếp mà qua thực vật nổi: J(1,3)=0;
- Thực vật nổi khụng ăn ủộng vật nổi nờn J(3,2)=0
- ðộng vật nổi ăn thức qua sự lọc bởi thực vật nổi nên xem nó là vật chủ, thực vật là vật mồi và do ủú thỏa phương trỡnh Volterra J(2,3)=
V Cg
S2S3 trong ủú Cg là tốc ủộ lọc của mỗi cá thể; V: thể tích;
- J(1,2) là tốc ủộ tiờu thụ dinh dưỡng của thực vật nổi phụ thuộc vào một số biến ngoại sinh như: nhiệt ủộ, bức xạ, tổng số dinh dưỡng S1.
S M K
S S K X a G X G
J T T S S
1 1
2 1 1
). 1
( ) ( ) 2 , 1
( = +
GT(XT) và GS(XS) – là cỏc hàm số lưu ý tới sự ảnh hưởng của nhiệt ủộ XT và bức xạ XS. M: tốc ủộ tăng trưởng cực ủại; K1: là hệ số bỏn bóo hũa giữa thực vật nổi và dinh dưỡng;
a1:hệ số kinh nghiệm;
- J(2,1) là tốc ủộ tỏi sinh dinh dưỡng qua thực vật nổi bài tiết và chết, nú phụ thuộc vào thời tiết và số lượng thực vật nổi:
( T )
p
T X
G S J ( 2 , 1 ) = 2
- J(3,1) là tốc ủộ tỏi sinh dinh dưỡng qua ủộng vật nổi , tức là do sự thối rữa của ủộng vật nổi, và phần dinh dưỡng qua thực vật ủến với ủộng vật nổi, sau khi dùng không hết lại trở về với dinh dưỡng.
140
3 2 2 2
2 2 23
3
) 3
1 , 3
( S S
S K
K a a
S K
J
− + +
= α
K3, α23 , a, a2 - là các hệ số thực nghiệm.
Dựa trờn ủịnh luật cõn bằng Ditoro ủó xõy dựng phương trỡnh dự bỏo như sau:
M X G X S G
K S S K a
S S S K
K a a
S K X
G V S
q S v qD dt F
dS
S S T T
T p T
) ( ) (
) ( )
(
1 1
2 1 1 1
3 2 2 2
2 2 23
3 3 31 2
21 1 1
1 1
− +
+
− + +
+ +
−
=
= α α α
3 2 2
1 1
2 1 1 1 12 2 2
2
2 MG ( X ) G ( X ) a G ( X ) aS S
S K
S S K a V
q S qC dt F
dS
T p T s
s T
T − −
+ +
−
=
= α
− + +
− +
−
=
= 2 3
2 2
2 2 23
3 3 3
2 23 3
3 3
3 S S
S K
K a a
S K S
V aS q S qC dt F
dS α α
Cỏc hệ số thực nghiệm ủược xỏc ủịnh dựa trờn cỏc nghiờn cứu thớ nghiệm thực tế. Hệ phương trỡnh trờn cựng với ủiều kiện ban ủầu S1(0) = S1 , S2(0) = S2 , S3(0) = S3 tạo thành bài toỏn Cauchy. Tiếp theo ủõy ta sẽ gọi bài toỏn này là bài toỏn B.
ðể giải số bài toán A và B người ta xây dựng nhiều giải thuật khác nhau dựa trên giải số bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân thường. Một trong những thuật toán thường ủược ỏp dụng là thuật toỏn Runge – Kutta.
Câu hỏi và bài tập
1. Mô hình là gì và vì sao cần thiết phải xây dựng và ứng dụng mô hình.
2. Trỡnh bày cỏc khỏi niệm phỏt tỏn, lan truyền, khuếch tỏn, lắng ủọng trong bài toỏn mụ hình lan truyền chất trong môi trường không khí.
3. Hóy trỡnh bày bốn phạm vi khụng gian – thời gian của ủối tượng cần mụ hỡnh húa trong nghiên cứu môi trường.
4. Hãy trình bày công thức Berliand cho trường hợp khí và bụi nhẹ. Làm rõ các giả thiết ủể nhận ủược cụng thức này cũng như ý nghĩa cỏc tham số tham gia vào cụng thức Berliand.
5. Hãy trình bày công thức Berliand cho trường hợp bụi nặng. Nêu rõ ý nghĩa các tham số tham gia vào công thức Berliand.
6. Hóy trỡnh bày cụng thức Gauss cho nguồn liờn tục. Làm rừ cỏc ủiều kiện ủể nhận ủược công thức Gauss.
7. Thế nào là nguồn vùng.
8. Hãy trình bày mô hình Hanna – Gifford cho nguồn vùng.
9. Hóy trỡnh bày mụ hỡnh Paal cho nguồn ủiểm nằm trờn bờ phải của sụng.
141 10. Tốc ủộ dũng là gỡ?
11. Hãy trình bày phương trình Lotka – Volterra.
Tài liệu tham khảo
1. Falcovskya và các cộng sự, 1982. Cơ sở dự báo chất lượng nước mặt. Nhà xuất bản Khoa học, Matxcơva. 181 trang.
2. Lê Thị Quỳnh Hà và các cộng sự, 2000. Mô hình hóa quá trình hình thành chất lượng nước sụng ðồng Nai.// ðề tài nhỏnh của ủề tài KH.07.17 “Xõy dựng một số cơ sở khoa học phục vụ cho việc quản lý thống nhất và tổng hợp chất lượng môi trường nước lưu vực sông ðồng Nai”. 75 trang.
3. Phạm Ngọc ðăng, 1997. Môi trường không khí. Nhà xuất bản khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội. 371 trang.
4. Trần Ngọc Chấn, 2000. Ô nhiễm môi trường không khí và xử lý khí thải. Tập 1, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội. 214 tr.
5. Chu ðức, 2001. Mô hình toán các hệ thống sinh thái. Nhà xuất bản ðại học quốc gia Hà Nội. 204 trang.
142
PHẦN THỨ BA