Chương IV. TỪ TRƯỜNG TRONG CHÂN KHÔNG Mục tiêu
Tiết 43 8.1. THUYẾT MAXWELL VỀ ĐIỆN TRƯỜNG XOÁY
8.1. 1. Điện trường xoáy
Trong các thí nghiệm về cảm ứng điện từ ta đã biết rằng nếu đặt một mạch điện vào trong một từ trường biến thiên thì trong mạch xuất hiện dòng điện cảm ứng. Sự xuất hiện của dòng điện cảm ứng trong mạch chứng tỏ đã chứng tỏ có lực tác dụng lên các điện tích trong mạch làm nó chuyển động, và như vậy trong dây dẫn đã xuất hiện một điện trường E
có chiều là chiều của dòng điện cảm ứng. Điện trường này không thể là điện trường tĩnh vì công của điện trường tĩnh trong dịch chuyển các điện tích theo đường cong kín bằng không và do vậy không thể tạo ra dòng điện trong mạch. Do vậy công làm dịch chuyển điện tích theo đường cong kín trong trường hợp này là:
qEdl 0
Nghĩa là các đường sức điện trường phải là các đường cong kín điều này là phù hợp với thực nghiệm. Điện trường này được gọi là điện trường xoáy. Điện trường xoáy tác dụng lực lên các hạt mang điện làm cho chúng chuyển dộng theo quỹ đạo khép kín và do đó tạo ra dòng điện trong mạch. Điện trường xoáy khác với trường tĩnh điện: Lưu số của véctơ cường độ điện trường xoáy theo đường cong kín có giá trị khác không, lưu số của véc tơ cường độ điện trường giữa hai điểm không những phụ thuộc vào vị trí điểm đầu và điểm cuối là còn phụ thuộc vào dạng của đường cong tính lưu số.
Dựa trên các phân tích này Maxwell dã rút ra kết luận tổng quát: mọi từ trường biến thiên theo thời gian đều sinh ra một điện trường xoáy.
8.1. 2.Phương trình Maxwell – Faraday
Kết luận trên của Maxwell được biểu diễn dưới dạng định lượng bằng một phương trình toán học gọi là phương trình Maxwell – Faraday.
a.Phương trình dưới dạng tích phân
Để thiết lập phương trình Maxwell – Faraday dưới dạng tích phân, ta xét một vòng dây dẫn khép kín (C) đặt trong từ trường B
biến đổi (h 8.1). Suất điện động cảm ứng xuất hiện trong vòng dây đó là:
C dΦ d ( BdS) BdS
dt dt t
E (8.1)
Trong đó BdSlà từ thông gửi qua diện tích S giới hạn bởi vòng dây dẫn mà ta xét. Và véc tơ cảm ứng từ B
tổng quát BB(x,y,z)Mà theo định nghĩa của suất điện động ta lại có:
l
L
d E
) (
C
E (8.2)
Trong đó E
là vectơ cường độ điện trường xoáy (vectơ trường lực lạ) trên đoạn dịch chuyển dl của vòng dây.
So sánh (8.1) và (8.2) ta thấy:
Ed Bt dS
) (
l
L (8.3)
Đây là phương trình Maxwell – Faraday dưới dạng tích phân.
Ý nghĩa của phương trình này là cho phép ta tính được điện trường xoáy E
nếu biết quy luật biến đổi của từ trường vào thời gian.
b.Phương trình Maxwell – Faraday dưới dạng vi phân Áp dụng công thức Stoke trong lý thuyết trường vectơ
S L
S d A rot l
d
E
199
dS B
S
dl (L)
Từ phương trình (8.3) ta có:
S L
l dS rotEdS t
d B E
) (
ta có phương
trình Maxwell – Faraday dưới dạng vi phân:
t B y
E x
E
t B x
E z
E
t B z
E y
E
t E B
ro t
z x
y
z y x
y x z
Tiết 44
8.2. DÒNG ĐIỆN DỊCH. PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL – AMPÈRE 8.2. 1.Dòng điện dịch
Như ta đã thấy mọi từ trường biến thiên đều sinh ra dong điện xoáy. Phân tích các hiện tượng điện từ khác nhau Maxwell đã đi đến kết luận là phải xảy ra điều ngược lại:Mọi điện trường biến thiên theo thời gian đều sinh ra từ trường.
Mặt khác dòng điện dẫn cũng sinh ra từ trường mà bản chất của nó là các hạt điện tích chuyển động. Do vậy Maxwell đã cho rằng về phương diện sinh ra từ trường thì điện trường biến đổi theo thời gian cũng có tác dụng giống như một dòng điện và ông gọi dòng điện này là dòng điện dịch.
Xét về phương diện sinh ra từ trường thì bất kì một điện trường nào biến đổi theo thời gian cũng giống như một dòng điện gọi là dòng điện dịch có vectơ mật độ dòng bằng
t jd D
, trong đó D
là véc tơ cảm ứng điện tại điểm mà ta đang xét.
Phương và chiều của từ trường do điện trường biến đổi sinh ra cũng được xác định theo quy tắc vặn đinh ốc.
Nói chung các vectơ của mật độ dòng điện vẫn có tính liên tục khi có dòng điện biến thiên chạy trong mạch điện hở. Do vậy trong trường hợp tổng quát khi xét từ trường trong vật dẫn phải xem xét nó như nó được gây ra bởi cả dòng điện dịch và dòng điện dẫn. Dòng điện toàn phần là tổng của dòng điện dẫn và dòng
điện dịch, với khái niệm này từ trường là do dòng điện toàn phần gây ra. Mật độ của dòng điện toàn phần là:
t j D j j jtp d
Dòng điện toàn phần là dòng khép kín.
Jd<<j đối với vật dẫn điện tốt và điện trường biến thiên chậm và ngược lại đối với điện môi và điện trường biến thiên nhanh thì sự đóng góp của dòng điện dịch vào dòng điện toàn phần là chủ yếu. Như vậy sự phân loại môi trường vật dẫn và điện môi dựa theo đặc tính của vật liệu là mang tính chất tương đối vì nó còn phụ thuộc vào tần số biến thiên của điện trường.
8.2. 2. Phương trình Maxwell – Ampère
Nêu lên mối quan hệ định lượng giữa từ trường và dòng điện toàn phần.Xét một vật dẫn có dòng điện biến thiên. Ta vẽ một mặt bất kì S giới hạn bởi một đường cong kín (hình). Dòng điện toàn phần được xác định bằng biểu thức:
S
Itp
l d H
Mà ta lại có:
S S
S t )d i D ( S d i
Itp tp
Từ đó ta có:
L S
S d t ) i D ( l d
H
Đây chính là phương trình
Maxwell – Ampère dưới dạng tích phân. Từ phương trình này ta có thể tính được từ trường H khi biết sự phân bố dòng điện dẫn và quy luật biến đổi theo thời gian của điện trường tại mọi điểm trong không gian.
Tính toán tương tự như phương trình Maxwell – Faraday dạng vi phân ta thu được phương trình:
201
dl
dS id
S dl
H
t j D y H x
H
t j D x H z
H
t j D z H y
H
z z y x
y y z x
x x z y
Hay :
t j D H
rot
Là phương trình Maxwell – Ampère dưới dạng vi phân.
Tiết 45
8.3. TRƯỜNG ĐIỆN TỪ. HỆ PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL 8.3. 1. Trường điện từ
Khái niệm về trường điện từ lần đầu tiên được Maxwell đề cập đến. Từ các lập luận ở trên ta thấy rằng từ trường biến đổi theo thời gian thì sinh ra điện trường xoáy và ngược lại thì điện trường biến đổi theo thời gian cũng sinh ra từ trường. Như vậy giữa điện trường và từ trường có mối quan hệ chặt chẽ với nhau và thống nhất với nhau trong trường điện từ.Trường điện từ có năng lượng và năng lượng đó tồn tại trong không gian có trường điện từ do vậy mật độ năng lượng trường điện từ bao gồm mật độ năng lượng điện trường và mật độ năng lượng từ trường:
) 2(
1 2
1 2
2 0
0E2 B EDBH
Trường điện từ biến thiên theo thời gian thì lan truyền trong không gian.
Thật vậy ta xét một điểm O nằm trong miên không gian không có dòng điện, không có vật dẫn và không có điện tích tự do. Giả sử ở thời điểm nào đó tại O có điện trường E
(hình). Vì không có điện tích để duy trì nên điện trường này sẽ biến mất. Nhưng theo lý thuyết điện từ trường thì khi điện trường E giảm thì nó sẽ gây ra xung quanh nó một từ trường H. Ta xác định được chiều của đường sức từ theo chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ phía trên xuống dưới. Tuy nhiên do không có dòng điện dẫn để duy trì từ trường này nên từ trường H sẽ giảm dần và biến mất. Trong quá trình giảm như thế từ trường H sẽ gây ra điện trường E1
tại điểm 1, E1 có hướng ngược chiều kim đồng hồ làm triệt tiêu điện trường tại O và xuất hiện một từ trường H1 ở điểm 1 làm triệt tiêu H và tạo ra từ trường ở xa hơn. Quá trình lại xảy ra tương tự như đối với điểm O. H1 biến mất làm xuất hiện E2 ở điểm 2...
Như vậy từ trường và điện trường có mối quan hệ chặt chẽ chúng thống nhất, biến đổi lẫn nhau và lan truyền trong không gian tạo ra sóng điện từ.
8.3. 2. Hệ phương trình Maxwell
Để mô tả điện từ trường một cách định lượng Maxwell đã thiết lập hệ phương trình toán học gọi là hệ phương trình Maxwell bao gồm hai phương trình đã thiết lập trong 2 bài trước và các phương trình khác đã nghiên cứu trong các chương trước.
a.Hệ phương trình Maxwell dạng tích phân:
- Phương trình Maxwell – Faraday :
Edl Bt dS
(8.3.1)
- Phương trình Maxwell – Ampère:
S L
S d t ) j D ( l d
H
(8.3.2)
- Phương trình của định lý Gauss cho điện trường:
0 S d B
S
(8.3.3)
- Phương trình của định lý Gauss cho từ trường:
q S d D
S
(8.3.4)
a. Hệ phương trình Maxwell dạng vi phân:
t E B
rot
(8.3.5)
t j D H
rot
(8.3.6)
D div
(8.3.7) 203
0 B div
(8.3.8) Ngoài 4 phương trình đó ta còn có các hệ thức sau:
E εε D 0
(8.3.9)
μμ B H 1
0
(8.3.10)
E σ
j
(8.3.11)
Trong đó q là điện tích tự do bên trong mặt kín b.Nhận xét
Phương trình (8.3.1) chứng tỏ rằng khi từ trường biến thiên theo thời gian thì sinh ra điện trường xoáy.
Phương trình (8.3.7) các đường sức điện xuất phát từ các điện tích dương và tận cùng tại các điện tích âm.
Phương trình (8.3.8) chứng tỏ các đường cảm ứng từ không có điểm xuất phát và các điểm tận cùng hay các đường cảm ứng từ là các đường cong khép kín
Trong phương trình (8.3.6) nếu j= 0 thì :
t H D
rot
Điều này chứng tỏ rằng điện trường biến thiên theo thời gian thì sinh ra từ trường xoáy.
Hệ phương trình Maxwell là hệ phương trình tổng quát của điện từ trường , nó giúp ta xác định được các đại lượng vật lý của trường điện từ. Trong đó các đại lượng ε, μ, σ là các đại lượng đặc trưng cho các tính chất của môi trường trong đó có trường điện từ. Vì các phương trình trên phụ thuộc thời gian nên để giải các phương trình ta cần biết thêm các điều kiện ban đầu.
8.3. 3. Giá trị của thuyết Maxwell
- Thuyết Maxwell về điện từ trường có vai trò rất quan trọng trong sự phát triển của điện từ học. Trước Maxwell các hiện tượng điện và từ còn rời rạc, chưa được tập hợp và tổng quát hoá. Ngay đến khoảng năm 1820 người ta vẫn quan
niệm rằng điện và từ là hai hiện tượng hoàn toàn khác biệt và không liên quan đến nhau. Maxwell đã phát triển các ý tưởng của Faraday về hiện tượng điện từ một cách sâu sắc và đã dùng công cụ toán học để xây dựng nên lí thuyết định lượng . Mối liên hệ chặt chẽ giữa điện trường và từ trường đã được xây dựng trên cơ sở lí thuyết chắc chắn và biểu diễn bằng các phương trình Maxwell. Vì vậy thuyết Maxwell là một bước phát triển mới, hoàn thiện những hiểu biết của con người về điện và từ. Nó đưa ra khái niệm về điện từ trường bao gồm điện trường và từ trường có quan hệ chặt chẽ chuyển hoá lẫn nhau.
Các phương trình Maxwell bao gồm mọi định luật cơ bản của điện trường và từ trường, do đó chúng là những phương trình cơ bản, tổng quát của trường điện từ (trong các môi trường đứng yên)
- Thuyết Maxwell không những đã giải thích được các hiện tượng đã biết mà còn tiên đoán được nhiều hiện tượng mới, quan trọng, trong đó đặc biệt là nó tiên đoán được sự tồn tại của sóng điện từ (là điện từ trường biến thiên trong không gian lan truyền với vận tốc xác định).
- Việc nghiên cứu bằng lý thuyết các tính chất của sóng điện từ đã đưa Maxwell đến việc xây dựng thuyết điện từ về ánh sáng, theo đó ánh sáng là một loại sóng điện từ. Những thí nghiệm sau đó (của Hert,Popov...) đã xác minh sự tồn tại của sóng điện từ. Nhiều thí nghiệm quang học đã chứng minh sự đúng đắn của thuyết điện từ về ánh sáng.
C. Tài liệu học tập chương 8
1. Vũ Thanh Khiết (2007), Điện học, Dự án ĐT Giáo viên THCS, Nxb ĐHSP, Hà Nội.
2. Tôn Tích Ái (2009), Điện và từ, NXB ĐHQG HN, Hà Nội.
3. Vũ Thanh Khiết, Nguyễn Văn Ẩn, Hoàng Văn Tích (2001), Bài tập vật lý đại cương, tập một, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
205