2. No se cancela ningun cero del sistema
6.4 Metodos basados en realimentacion con rele
Los principales inconvenientes de los metodos de respuesta transitoria es que son sensibles a las perturbaciones, porque se basan en experimentos en bucle abierto. Los metodos basados en reles evitan esta dicultad porque los experimentos necesarios son ejecutados en bucle cerrado.
Autoajuste y ajuste por tabla de controladores 119 La idea basica es que muchos procesos tendran oscilaciones de ciclo lmite bajo realimentacion con rele. Las propiedades esenciales del proceso pueden determinarse de los parametros del ciclo lmite, y los parametros de un regulador PID pueden por tanto calcularse. La gura 6.3 muestra un diagrama de bloque para la aplicacion de este metodo. Cuando se requiere un ajuste, el conmutador se coloca en la posicion T, lo cual signica que la realimentacion por rele es activada y el regulador PID se desconecta. Cuando se alcanza un ciclo lmite, los parametros PID son calculados y el controlador PID es entonces conectado al proceso. Debera usarse en primer lugar un metodo aproximado para hacerse una idea de la informacion que puede obtenerse de un experimento con realimentacion por rele.
-
-
-
c
c
!
!
!
- -
6
PID
Rele A T
u y
r Proceso
Figura 6.3: Diagrama de bloque de autoajuste por rele
6.4.1 El metodo del balance armonico
A continuacion se va a comentar un metodo aproximado llamado metodo de balance armonico o el metodo de la funcion descriptiva. Considerando un sistema realimen- tado simple, compuesto de una parte lineal con la funcion de transferencia G(s) y la realimentacion con un rele ideal. El diagrama de bloques se muestra en la gura 6.4.
Se asume que r= 0. Una condicion de aproximacion para las oscilaciones puede ser determinada como sigue: Asumiendo que hay un ciclo lmite con perodo Tu
y frecuencia wu = 2=Tu tal que la salida de rele es una onda simetrica periodica cuadrada. Si la amplitud del rele es d, por expansion en serie de Fourier de la salida de rele, se muestra que el primer armonico tiene la amplitud 4d=. Se asume
120 Metodos basados en realimentacion con rele
-
- - -
6
r e u y
Proceso Rele
Figura 6.4: Sistema lineal con control por rele
ademas que los procesos dinamicos tienen caracter paso bajo y que la contribucion del primer armonico domina la salida. La se~nal de error tiene entonces la amplitud:
a= 4d
jG(jwu)j (6:8)
La condicion para la oscilacion es tal que:
argG(jwu) = y Ku = 4d
a = jG(jw1 u)j (6:9) dondeKu puede interpretarse como la ganancia equivalente del rele para transmision de se~nales sinusoidales con amplituda. La condicion es ademas que el sistema lineal en la gura 6.4, tenga una curva Nyquist que intersecte el eje real negativo. La amplitud a y la frecuencia de oscilacionwu son facilmente deducibles de la ecuacion 6.9. La frecuencia del ciclo lnmite es ademas automaticamente ajustada a la fre- cuencia wu en la cual el proceso dinamico en bucle abierto tiene un retraso de fase de 180o. FsicamenteKues la ganancia que lleva el sistema al lmite de estabilidad bajo control proporcional. Un experimento con realimentacion por rele dara ademas el perodo y la amplitud de la funcion de transferencia en bucle abierto del proceso en la frecuencia en la cual el retardo de fase es 180o. Hay que hacer notar tambien que una se~nal de entrada cuyo contenido de energa esta concentrado en wu es generada automaticamente en el experimento.
Se pueden utilizar varios renamientos o mejoras del metodo. La amplitud de las oscilaciones del ciclo lmite pueden especicarse por introduccion de una reali- mentacion que ajuste la amplitud del rele. Por otro lado, una histeresis en el rele es util para hacer al sistema menos sensible al ruido. Se va a mostrar a contin- uacion como determinar los parametros de un regulador PID. El metodo puede ser insensible a las perturbaciones por comparacion y promediado de varios perodos de oscilacion.
Autoajuste y ajuste por tabla de controladores 121
6.4.2 El metodo de Ziegler-Nichols en bucle cerrado
Una regla simple para escoger los parametros de los reguladores PID esta idealmente emparejada a la determinacion de Ku y Tu por el metodo del rele. Los valores del controlador estan dados en la tabla adjunta. Estos parametros dan un sistema en bucle cerrado con amortiguamiento bajo. Sistemas con mejor amortiguamiento pueden obtenerse por ligeras modicaciones de los valores de la tabla.
Controlador Kc Ti Td
P 0.5 Ku
PI 0.4 Ku 0.8 Tu
PID 0.6 Ku 0.5 Tu 0.12 Tu
Estimaciones mejoradas
A partir del experimento del rele se han obtenido solo dos parametros (Ku y Tu). Cambiando el punto de trabajo durante el experimento es posible determinar la ganancia estatica (k) del proceso. El producto kKu puede utilizarse para evaluar si el ajuste del regulador PID mediante las reglas de Ziegler Nichols es adecuado.
Si 2 < kKu < 20 entonces puede utilizarse el metodo. Valores mas peque~nos indican que se necesita una ley de control que admita compensacion del tiempo muerto. Valores mas grandes indican que debe utilizarse un algoritmo de control mas complejo.
6.4.3 Oscilaciones de rele
Dado que los ciclos lmites con realimentacion por rele es una idea clave de los metodos de autoajuste por rele, es importante comprender por que un sistema lineal oscila en estas condiciones y cuando la oscilacion es estable. Es importante tambien tener metodos para la determinacion del perodo y la amplitud de las oscilaciones.
Considerando el sistema mostrado en la gura 6.4, e introduciendo la realizacion en el espacio de estados de la funcion de transferencia G(s):
dxdt = A x+B u
y = C x (6.10)
122 Metodos basados en realimentacion con rele El rele puede ser descrito por:
u=
( d; sie >0
d; sie <0 (6:11)
donde e = r - y.
A continuacion se va analizar el periodo del ciclo lmite. Para ello asumiendo que el sistema denido en la gura 6.4 y las ecuaciones 6.10 y 6.11 tiene un ciclo lmite simetrico con perodo T. El perodo T es entonces el valor mas peque~no de T > 0 que satisface la ecuacion,
C(I+ ) 1 = 0 (6:12)
donde
=eAT=2
y =Z0T=2eAsds B
Hay que hacer notar que la condicion de la ecuacion 6.12 puede escribirse tambien como,
HT=2( 1) = 0 (6:13)
dondeHT=2(z) es la funcion de transferencia impulsional obtenida cuando se muestrea el sistema de ecuacion 6.10 con perodo T=2.
Habiendo obtenido la formula exacta de la ecuacion 6.12 para T, es posible investigar la precision de la aproximacion de la funcion descriptiva. Considerando el caso simetrico e introduciendo h=T=2. La funcion de transferencia impulsional obtenida cuando se muestrea el sistema de ecuacion 6.10 con perodo h esta dada por: Hh(esh) = 1h
1
X
n= 1
s+1jhws(1 e h(s+jnws))G(s+jnws) donde ws= 2=h. Haciendo sh =j
Hh( 1) = X1
1
j(+ 22 n)Gj+ 2n h
= X1
0
(1 + 24 n)Im
Gj+ 2n h
= 0
Autoajuste y ajuste por tabla de controladores 123 El primer termino de la serie da,
Hh( 1) 4 Im
Gjh= 4Im
Gj2 T
= 0
que es el mismo resultado para el calculo de T obtenido del analisis de la funcion descriptiva. Esto implica que la aproximacion de la funcion descriptiva es correcta solo si G(s) tiene un caracter de paso-bajo.