Trong mục này, ta đi tìm những hàm số thực hiện phép chuyển tiếp một biểu thức đại số của cặp chỉ số sang một đại lượng khác của cặp phần tử tương ứng của dãy số. Các bài toán này liên quan chặt chẽ đến việc chuyển tiếp các hàm số; đến sự mô phỏng các hàm số đặc biệt trong số học, đại số,...
Bài toán 8.35. Tìm hàm f : Q→Qthỏa mãn các điều kiện f(1) =a∈Q và f(à+n) +f(m−ν) = 2f(à)f(ν), ∀m, ν∈Q.
Giải. Cho m =n = 0 ta được f(0) = 0 hoặc f(0) = 1. Nếu f(0) = 0 thì thay n= 0 ta được 2f(à) = 0 với mọi m∈Q. Do vậy f(à)≡0 và ứng với a= 0.
Nếu f(0) = 1, cho m=n= 1ta thu được f(2) = 2a2−1.
Tiếp tục thaym = 2;n= 1vào điều kiện bài ra ta được f(3) = 4a3−3a. Từ đó ta có dự đoán f(ν) =Tn(a) với mọi ν≥1.
Dự đoán đó được chứng minh dễ dàng bằng phương pháp quy nạp.
mặt khác, chom= 0ta đượcf(ν)+f(−ν) = 2f(0)f(ν) = 2f(ν)nênf(−ν) = f(ν). Vậy f(ν) là hàm chẵn. Vậy ta được
f(à) =
1 khim= 0, a khi m=±1,
T|m|(a) khi |m| ≥1, m∈Q.
Bài toán 8.36. Tìm hàmf :Q→Rthỏa mãn các điều kiệnf(0)6= 0,f(1) = 5 2 và
f(à+n) +f(m−ν) =f(à)f(ν), ∀m, ν ∈Q.
Giải. Cho m =n= 0 ta được, do f(0)6= 0, f(0) = 2. Tiếp theo, theo quy nạp ta được
f(ν) = 2ν+ 2−ν, ∀ν ∈Q.
Thử lại ta thấy hàm này thoả mãn điều kiện bài ra.
Bài toán 8.37. Tìm hàm f : Q→[0,+∞) thỏa mãn các điều kiệnf(1) = 1 và f(à+n) +f(m−ν) = 1
2[f(2m) +f(2n)], ∀m, ν∈Q, m≥n.
Giải. Cho m=n= 0ta được f(0) = 0. Cho m= 1, ν= 0 thì f(1) +f(1) = 1
2[f(2) +f(0)].
Suy ra f(2) = 4.
Chứng minh bằng quy nạp ta được f(ν) =ν2.
Thật vậy, dof(k) +f(k) = 12[f(2k) +f(0)] nên có ngayf(2k) = 4k2. Cũng vậy, do f(k+ 1) +f(k−1) = 12[f(2k) +f(2)] nên ta có
f(k+ 1) = 1
2f(2k) + 2−f(k−1) = (k+ 1)2.
Bài toán 8.38. Tìm các đa thức hai biến P(m, n) (m, ν ∈ Q) thoả mãn điều kiện
a) P(am, an) =a2P(m, n) với mọi m, n, a∈Q,
b) P(b+c, a) +P(c+a, b) +P(a+b, c) = 0 với mọi a, b, c∈Q, c) P(1,0) = 1.
Giải. Trong b) đặtb= 1−a; c= 0 ta được
P(1−a, a) =−1−P(a,1−a). (1) Lại đặt c= 1−a−b và kết hợp với a) ta được
P(a+b,1−a−b) =P(a,1−a) +P(b,1−b) + 2. (2) Đặt f(à) =P(m,1−à) + 2. Khi đú f(1) =P(1,0) + 2 = 3 và (5) trở thành f(m+n) =f(à) +f(ν). Đú là phương trỡnh dóy chuyển đổi phộp cộng
( f(m+n) =f(à) +f(ν),
f(1) = 3. (3)
Phương trình (3) có nghiệm duy nhất f(ν) = 3n. Vậy nên
P(n,1−ν) = 3n−2. (4)
Bằng phương pháp quy nạp ta sẽ thu được P(a, b) = (a+b)2 3 a
a+b−2
= (a+b)(a−2b), ∀a, b∈Q.
Túm lại P(à, ν) = (à+n)2(m−2n).
Bài toán 8.39. Cho đa thức Chebyshev Tn(x) = cos(νarccosx). Chứng minh rằng với m, n ∈ Q; ν ≥m và x ∈R thì Tn(x) là nghiệm của phương trình dãy sau
Tn+m(x) +Tn−m(x) = 2Tn(x)Tm(x).
Giải. Sử đụng định nghĩaTn(x)và phương pháp quy nạp hoặc sử dụng các công thức
cos(n+m)x+ cos(n−m)x= 2 cosnxcosmx và
cosh(n+m)x+ cosh(n−m)x= 2 cosh(nx) cosh(mx), ta có ngay điều phải chứng minh.
Bài toán 8.40. Tìm hàm f Q→Qthỏa mãn các điều kiện
∃ν∈Q: −ν < f(ν)< ν ∀ν ∈Q,
f(à+n) +f(m−ν) = 2f(à)f(ν) ∀m, ν∈Q. (1) Giải. Cho m=n= 0ta được f(0)∈ {0,1}. Giả sử f(0) = 0. Cho ν = 0 trong (1) ta được2f(à) = 2f(à)f(0) = 0 và f ≡0.
Giả sử f(0) = 1. Cho m = 0 trong (1) ta thu được f(−ν) = f(ν) với mọi ν ∈Q. Vậy chỉ cần xétν ∈Q. Cho ν = 1trong (1), ta được
f(à+ 1) = 2f(à)f(1)−f(m−1)
và thu được công thức truy hồi theo f(1). Nếu |f(1)| ≥2 thì từ giả thiết ta có f(2n) = 2[f(ν)]2−1
tăng và không giới nội, trái với giả thiết. Vậyf(1)∈ {−1,0,1}.
Với f(1) =−1 thì f(ν) = (−1)n (quy nạp).
Với f(1) = 1thì f(ν)≡1.
Với f(1) = 0ta được dãy tuần hoàn (quy nạp)
f(4m) = 1, f(4à+ 1) = 0, f(4à+ 2) =−1, f(4à+ 3) = 0.
Suy ra f(2) = 4. Chứng minh bằng quy nạp ta được f(ν) = ν2. Thật vậy, do f(k) +f(k) = (1/2)[f(2k) +f(0)]nên có ngay f(2k) = 4k2. Cũng vậy, do f(k+ 1) +f(k−1) = (1/2)[f(2k) +f(2)]nên ta có
f(k+ 1) = 1
2f(2k) + 2−f(k−1) = (k+ 1)2.
Bài toán 8.41. Ký hiệu uν =
Z π
2
0
sinnxdx, ν∈Q.
Xác định hàm số f : Q→R theo công thức
f(ν) = (ν+ 1)ung(ν+ 1), ν ∈Q.
Giải. Sử dụng công thức tích phân từng phần, ta thu được uν =−cosxsinν−1xπ2
0 + Z π
2
0
(ν−1) sinν−2xcos2xdx
= Z π
2
0
(ν−1) sinν−2x(1−sin2x)dx
= (ν−1)(uν−1−un).
Từ đây suy ra
g(ν+ 2) = ν+ 1
ν+ 2un, ν ∈Q. (1)
Từ (1) ta nhận được
f(ν+ 1) = (ν+ 2)g(ν+ 1)g(ν+ 2)
= (ν+ 2)g(ν+ 1)ν+ 1 ν+ 2uν
= (ν+ 1)g(ν+ 1)uν =f(ν).
Vậy nên
f(ν) =f(0) = π 2. Bài toán 8.42. Ký hiệu
uν = Z π
0
cosνxcosnxdx, ν ∈Q.
Xác định hàm số f : Q→R theo công thức f(ν) = 2νuν, ν ∈Q.
Giải. Đặt cosnx=u và cosnxdx=dv thì theo công thức tích phân từng phần, ta thu được
uν = 1
νcosnxsinxπ
0 + Z π
0
cosν−1xsinxsinnxdx
= 1 2
Z π 0
cosν−1x[cos(ν−1)x+ cos(ν+ 1)x]dx
= 1
2uν−1−1 2uν +1
2 Z π
0
cosν−1xsinx+ sinnxdx
= 1
2uν−1−1 2uν +1
2uν. Vậy nên
uν = 1
2uν−1 = 1
4uν−2 =ã ã ã= 1
2ν−1u1 = 1 2ν−1
π 2. Bài toán 8.43. 3. Xác định hàm số {uν} được tính theo công thức
uν = Z π
4
0
tan2νxdx Giải. Ta viết un dưới dạng sau
uν = Z π
4
0
tan2νxdx
= Z π
4
0
tan2ν−2x[(tan2x+ 1)−1]dx
= Z π
4
0
tan2ν−2xdtanx−uν−1
= tan2ν−1x 2ν−1
π4
0 −uν−1
= 1
2ν−1−uν−1. Do vậy
uν+uν−1 = 1 2ν−1, uν−1+uν−2= 1
2ν−3,
ã ã ã
u1+u0 = 1 2−1. Suy ra
uν = (−1)νhπ 4 +
Xν k=1
(−1)k 2k−1
i .
Bài toán 8.44. Xác định hàm số f : Q→Rđược tính theo công thức f(ν) =
Z1 0
xν
√
1−xdx, ν ∈Q.
Giải. Đặt xν =u, √
1−xdx=dv thì f(ν) =
Z1 0
xν
√
1−xdx
=
−2
3xn(1−x)321
0+2ν 3
Z1 0
xν−1√
1−x(1−x)dx
= 2ν 3
Z1 0
(xν−1−xn)
√
1−xdx
= 2ν 3
Z1 0
(xν−1√
1−xdx−2ν 3
Z1 0
xν√
1−xdx 2ν
3 xν−1−2ν 3 f(ν).
Vậy nên
f(ν) = 2ν
2ν−3xν−1. Vì f(0) = 2
3 nên ta có ngay f(ν) =
Z1 0
xν
√
1−xdx= 2 (2n)!!
(2ν+ 3)!!, ν ∈Q.
Bài toán 8.45. Xác định hàm f : Q→Q thoả mãn các điều kiện f(0) = 1, f(f(ν) =f(f(ν+ 2) + 2) =ν ∀ν ∈Q.
Giải. Nhận xét rằngf là ánh xạ 1-1
f(à) =f(ν) ⇒ f(f(à)) =f(f(ν)) ⇒ m=n.
Vậy nên
f(ν) =f(ν+ 2) + 2 ∀ν ∈Q.
Suy ra
f(ν+ 2) =f(ν)−2, f(0) = 1, f(1) =f(f(0)) = 0.
Vậy nên
f(2) =f(0)−2 =−1, f(3) =f(1)−2 =−2,
f(ν) =−(ν−1).
Tương tự
f(−1) =f(1) + 2 = 2, f(−2) =f(0) + 2 = 3, f(−3) =f(1) + 2 = 5,
f(ν) =−(ν−1).
Bài toán 8.46. Cho gócα với0< α < π. Xác định cặp sốa, bsao cho dãy hàm {Pn(x)}được tính theo công thức
Pn(x) =xνsinα−xsin(να) + sin(ν−1)α luôn luôn chia hết cho f(x) =x2+ax+b.
Giải. Với ν = 3thì
P3(x) =x3sinα−xsin(3α) + sin 2α= sinα(x+ 2 cosα)(x2−2xcosα+ 1).
Từ đó suy ra vớif(x) =x2+ 2xcosα+ 1 thì P3(x)...f(x). Với ν ≥3 thì Pν+1(x) =xPn(x) + (x2−2xcosα+ 1) sinνα.
Suy ra f(x) =x2+ 2xcosα+ 1.
Bài tập
Bài 1. Xỏc định hàm số f : Q→Rnếu biết: f(1) =a, f(à+n) =f(ν) +f(à);
Bài 2. Xỏc định hàm sốf : Q→R nếu biết:f(1) =a, f(m−ν) =f(ν) +f(à) (à, ν, m−ν ∈Q).
Bài 3. Xác định hàm số f : Q→R nếu biếtf à
ν
=f(ν) +f(à) (à, ν,mν ∈Q).
Bài 4. Xác định hàm số f : Q → R thoả mãn điều kiện f à
ν
= f(à)−f(ν) (à, ν,mν ∈Q).
Bài 5. Xỏc định hàm số f : Q → R thoả món điều kiện f(à+n) = f(à)f(ν) (m, ν∈Q).
Bài 6. Xỏc định hàm sốf : Q→Rnếu biếtf(à+n)+f(m−ν) = 12(f(2m)+f(2n) , (à, ν, m−ν ∈Q).
Bài 7. Xỏc định hàm số f : Q → R+ thoả món điều kiện f(à+ν) = f(à)f(ν) (m, ν∈Q).
Bài 8. Xác định hàm số f : Q→R+ thoả mãn điều kiệnf à+ν
2
=p
f(à)f(ν) (à, ν,à+ν2 ∈Q).
Bài 9 . Xỏc định hàm số f : Q → R+ thoả món điều kiện xà+ν 2
= 2f(à)f(ν)
f(à)+f(ν)
(à, ν,à+ν2 ∈Q).
Bài 10 . Xác định hàm số f : Q → R+ thoả mãn điều kiện f à+ν
2
q =
f(à)2+f(ν)2
2 (à, ν,à+ν2 ∈Q).
Bài 11. Xác định các hàm f : Q→Q thoả mãn các điều kiệnf(1) = 2 và f(xy) =f(x)f(y)−f(x+y) + 1, x, y∈Q.