Ngày thi thứ nhất Bài 1.
Bộ tộc của Mumbo và Jumbo sống bên cạnh một bờ sông. Có một lần hai người dân bộ lạc phải chạy gấp đến bộ tộc bên cạnh để đưa tin: Mumbo trẻ khỏe và Jumbo thông thái. Mumbo chạy với vận tốc 11km/h đến trại bè gần nhất và đi bè đến bộ tộc bên cạnh. Còn Jumbo không vội vàng mà đi bộ với vận tốc 6km/h đến một trại bè khác và đi bè đến bộ tộc bên cạnh. Kết quả là Jumbo đến sớm hơn Mumbo.
Biết rằng dòng sông thẳng, các bè di chuyển với vận tốc của dòng sông và vận tốc này không đổi trên toàn tuyến sông và là một số nguyên không nhỏ hơn 6km/h. Hãy tìm giá trị lớn nhất có thể của vận tốc này.
Bài 2.
Phải chăng với mọi n nguyên dương lớn hơn2009, từ các phân số 1
n, 2
n−1, 3
n−2, . . . , n−1 2 , n
1
luôn chọn được hai cặp phân số có tổng bằng nhau?
Bài 3.
Cho tam giác ABC cân tạiB. ĐiểmDnằm trong tam giácABC sao cho gócADC gấp đôi góc ABC. Chứng minh rằng hai lần khoảng cách từ B đến phân giác ngoài góc D của tam giác ADC bằng AD+DC.
Bài 4.
Ở đất nước Leonardia mọi con đường đều có một chiều. Mỗi con đường nối hai thành phố và không đi qua các thành phố khác. Bộ thống kê tính cho mỗi thành phố tổng số dân của các thành phố mà từ đó có đường đi đến thành phố đang tính và tính tổng số
239
dân của các thành phố mà từ thành phố đang tính có đường đi tới. Chứng minh rằng có ít nhất một thành phố mà số thứ nhất không nhỏ hơn số thứ hai.
Ngày thi thứ hai Bài 1.
Tồn tại hay không một cách thay 6 số nguyên liên tiếp vào các dấu “∗” để được một đẳng thức đúng
BSCN N(∗, ∗, ∗)−BSCN N(∗, ∗, ∗) = 2009?
Bài 2.
Trong tứ giác ABCDta có AB=BD, ∠ABD=∠DBC. Trên đường chéo BD tồn tại điểm K sao cho BK =BC.Chứng minh rằng ∠KAD=∠KCD.
Bài 3.
Trên bàn có 10 đống hạt dẻ với số lượng là 1, 2, 3,4, 5,6, 7,8, 9,10 hạt dẻ. Hai người luân phiên nhau bốc hạt dẻ, mỗi lần bốc 1 hạt cho đến khi còn lại 3 hạt dẻ thì dừng.
Nếu đây là 3 hạt dẻ thuộc3 đống khác nhau thì người đi sau thắng. Trong trường hợp ngược lại người đi trước thắng. Hỏi ai là người có chiến thuật thắng, cho dù đối thủ của anh ta chơi thế nào?
Bài 4.
Trên một băng giấy vô hạn ta viết các số liền nhau. Đầu tiên là số 1và các số sau bằng số trước cộng với chữ số khác 0 nhỏ nhất của số đứng trước. Hãy tìm số chữ số của số đứng ở vị trớ 9ã10001000.
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN TRUNG ÂU 2010
Phần A. Đề thi cá nhân Bài 1.
Tìm tất cả các hàm số f :R→R thỏa mãn
f(x+y) +f(x)f(y) = f(xy) + (y+ 1)f(x) + (x+ 1)f(y), với mọi x, y ∈R.
Bài 2.
Tất cả các ước dương của số nguyên dương N được viết lên một bảng đen. Hai người chơi A và B tiến hành một trò chơi luân phiên như sau: Ở lượt đầu tiên, A xóa đi số N. Nếu số cuối cùng được xóa là d thì người chơi tiếp theo phải xóa một ước số của d hoặc một bội số của d.Người nào không xóa được nữa sẽ thua. Xác định tất cả các giá trị của N sao cho A luôn có cách thắng mà không phụ thuộc vào B.
Bài 3.
Cho tứ giác ABCD nội tiếp có E nằm trên đường chéo AC thỏa mãn AD = AE, CB = CE. Gọi M là tâm đường tròn ngoại tiếp k của tam giác BDE. Đường tròn k cắt đường thẳng AC tại E và F. Chứng minh rằngF M, AD, BC đồng quy.
Bài 4.
Tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn hai điều kiện sau (a) n phải có ít nhất 4ước nguyên dương khác nhau.
(b) Với hai ước a, b bất kỳ củan thỏa mãn 1< a < b < n,thì (b−a)|n.
Phần B. Đề thi đồng đội Bài 1.
Cho ba dãy tăng thực sự gồm các số nguyên dương
a1, a2, a3, . . . , b1, b2, b3, . . . , c1, c2, c3, . . .
Biết rằng mỗi số nguyên dương thuộc về đúng một trong ba dãy nêu trên. Đồng thời, với mỗi số nguyên dương n, các điều kiện sau đây được thỏa mãn.
(a) can =bn+ 1.
(b) an+1 > bn.
(c) cn+1cn−(n+ 1)cn+1−ncn là số chẵn.
Tính a2010, b2010, c2010. Bài 2.
Tìm hằng số Cn lớn nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi a1, a2, . . . , an >0, a21+a22+ã ã ã+a2n
n ≥
a1+a2 +ã ã ã+an n
2
+Cn(a1−an)2.
Bài 3.
Tại mỗi đỉnh của n-giác đều có đặt một pháo đài. Tại cùng một thời điểm, mỗi pháo đài bắn vào một trong hai pháo đài gần nó nhất và trúng đích. Ta gọi kết quả bắn là tập hợp các pháo đài bị bắn trúng (chú ý không phân biệt pháo đài bị bắn một hay hai lần). Gọi P(n)là số lượng có thể của kết quả bắn. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương k ≥3, ta có P(k) và P(k+ 1) là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 4.
Cho n là một số nguyên dương. Một hình vuôngABCD được chia thànhn2 hình vuông đơn vị. Mỗi hình vuông đơn vị lại được chia đôi thành hai tam giác bởi đường chéo song
song với cạnh BD. Ta tô màu đỏ một số đỉnh của các hình vuông đơn vị sao cho mỗi tam giác trong 2n2 tam giác con nêu trên có ít nhất một đỉnh được tô màu đỏ. Tìm số nhỏ nhất các đỉnh được tô màu đỏ.
Bài 5.
Đường tròn nội tiếp của tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA và AB lần lượt tại D, E vàF.Gọi K là điểm đối xứng với Dqua tâm đường tròn nội tiếp. DE cắt F K tại S. Chứng minh rằng AS song song với BC.
Bài 6.
Cho các điểm A, B, C, D, E thỏa mãn ABCD là tứ giác nội tiếp và ABDE là hình bình hành. Các đường chéo AC và BD cắt nhau tạiS, các tiaAB và DC cắt nhau tại F. Chứng minh rằng∠AF S =∠ECD.
Bài 7.
Với mỗi số tự nhiên n, ta gọian là số nguyên dương có biễu diễn thập phân là 1 0. . .0
| {z }
n
2 0. . .0
| {z }
n
2 0. . .0
| {z }
n
1.
Chứng minh rằng an
3 luôn có thể biểu diễn thành tổng của hai số lập phương nhưng không thể biểu diễn thành tổng của hai số chính phương.
Bài 8.
Cho n ∈N∗, n không là lũy thừa của 2. Chứng minh tồn tại m∈N∗ sao cho (a) m là tích của hai số nguyên dương liên tiếp.
(b) Biễu diễn thập phân của mgồm hai phần giống nhau, mỗi phần có đúngnchữ số.
ĐỀ KIỂM TRA SỐ 1 (10/10/2010) (CÂU LẠC BỘ TOÁN HỌC)
Bài 1.
Trên một hòn đảo, một cư dân bất kỳ hoặc toàn nói thật, hoặc toàn nói dối. Alice và Bob là cư dân hòn đảo này. Alice nói “Đúng một trong hai chúng tôi nói dối”. Bob nói
“Alice đã nói thật”. Hãy xác định xem ai là người nói thật, ai là người nói dối.
Bài 2.
Có 8 vật có trọng lượng là1, 2,3, 4, 5, 6, 7,8 nhưng một vật bị mất, còn 7vật còn lại được xếp thành một dãy tăng dần theo trọng lượng. Hãy dùng 3 lần cân bàn (có thể kiểm tra được hai nhóm vật có trọng lượng bằng nhau hay không) để xác định xem vật bị mất có trọng lượng bao nhiêu.
Bài 3.
Chứng minh rằng tổng bình phương của 24 số nguyên tố có ba chữ số bất kỳ đều chia hết cho 24.
Bài 4.
Hai số nguyên tố p và q được gọi là hai số nguyên tố sánh đôi nếu q = p+ 2. Chứng minh rằng nếu p và q là hai số nguyên tố sánh đôi thì pq+qp chia hết chop+q.
Bài 5.
Dãy số Fibonacci là dãy số xác định bởi F1 = 1, F2 = 2, Fn+1 = Fn+Fn−1 với mọi n ≥2.Chứng minh rằng với mọi n ≥2ta có
|Fn2−Fn+1Fn−1|= 1.