Tính dầm BTCT thường về cường độ chịu lực cắt

Chửụng 4 NGUYEÂN LYÙ THIEÁT KEÁ CAÀU DAÀM

B. Xác định nội lực trong dầm ngang

4.5 TÍNH TOÁN THIẾT KẾ DẦM CẦU BTCT THƯỜNG

4.5.4 Tính dầm BTCT thường về cường độ chịu lực cắt

Các cấu kiện BTCT chịu tải trọng vuông góc với trục phải đủ sức kháng đối với lực cắt cũng như mômen uốn và lực dọc trục. Cơ chế kháng cắt của các dầm cao cũng khác với dầm mảnh.

Các chỉ dẫn của AASHTO khuyến cáo sử dụng mô hình thanh kéo - nén khi khoảng cách từ điểm lực cắt bằng không tới gối nhỏ hơn 2 lần chiều cao có hiệu của dầm hoặc khi tải trọng gây ra ít nhất 1/2 lực cắt tại gối nằm trong khoảng cách hai lần chiều cao có hiệu.

Đối với các dầm cao, mặt cắt không còn phẳng khi chịu lực và mô hình thanh bêtông chịu nén, cốt thép chịu kéo sẽ mô tả cơ chế chịu lực của cấu kiện tốt hơn như trong hình 4.9.

Hình 4.9Moâ hình thanh keùo - neùn cho daàm cao

a) Sự truyền lực; b) Hình chiếu đầu dầm; c) Mô hình dàn (AASHTO hình C5.6.3.2-1)

Các cấu kiện dầm cầu nói chung là mảnh và có thể coi mặt cắt cấu kiện trước và sau khi chịu lực vẫn phẳng.

Do đó, lý thuyết thiết kế dầm là sự mô tả mối quan hệ giữa ứng suất, biến dạng, đặc trưng tiết diện và tải trọng.

Các dầm BTCT thường được thiết kế chống phá hoại do uốn tại các vị trí mômen lớn nhất. Tuy nhiên, khả năng chịu uốn này không thể đạt được nếu sự phá hoại cắt xảy ra sớm hơn do kích thước và cốt thép sườn dầm không đủ.

Mô hình thiết kế mặt cắt theo AASHTO [A5.8.3] được sử dụng để đánh giá sức kháng cắt của các dầm cầu điển hình. Mô hình này thoả mãn điều kiện cân bằng lực, biến dạng và dùng các đường cong ứng biến kinh nghiệm cho cốt thép và bêtông nứt xiên.

Cơ sở và chi tiết của mô hình mặt cắt có thể xem trong tài liệu của Vecchio và Collins (1986, 1988) và sách

ỷ C lli ứ Mit h ll (1991)

Sức kháng cắt danh định của mặt cắtVnđược lấy theo trị số nhỏ hơn trong hai giá trị sau đây ( Điều 5.8.3.3 ) :

Vn=Vc+Vs+Vp (4.32) Vn= 0,25 .bv.dv+Vp

Phương trình thứ hai thể hiện sự đảm bảo không cho bêtông bụng dầm bị vỡ trước khi cốt thép ngang chảy.

trong đó Vclà cường độ kháng cắt danh định của bêtông, Vs là cường độ kháng cắt danh định của cốt thép sườn và Vp là cường độ kháng cắt danh định do thành phần thẳng đứng của dự ứng lực xiên tạo ra.

Trên hình (4.9), Vp có thể được xác định từ hình dạng của đường cáp còn Vc và Vs có thể được xác định bằng cách cân bằng ứng suất, biến dạng của sườn bêtông cốt thép theo mặt cắt xiên. Việc xây dựng phương trình cho VcvàVsdựa trên mô hình dàn có góc thay đổi và lý thuyết trường nén sửa đổi sẽ trình bày ở các muc sau.

fcc

2- Mô hình dàn có góc thay đổi :

• Mô hình dàn tương tự là một trong những mô hình phân tích lực cắt trong dầm bêtông cốt thép sớm nhất. Theo Mitchell và Collins (1991), mô hình này có khoảng 100 năm trước khi Ritter đưa ra năm 1899 và Morsch thí nghiệm vào năm 1902.

• Một ví dụ về mô hình dàn có góc thay đổi của một dầm chịu tải trọng phân bố đều được mô tả trên hình 4.10a.

Nó tương tự như mô hình của Hsu (1993). Các đường nét đứt thể hiện các thanh bêtông chịu nén là các thanh biên trên và thanh xiên của dàn. Các đường nét liền thể hiện các thanh chịu kéo thép là các thanh biên dưới và thanh đứng của dàn.

Diện tích thép biên dưới bằng diện tích cốt thép dọc chịu uốn và các thanh đứng là cốt đai với khoảng cáchs.

• Các thanh biên trên chịu nén bằng bêtông cân bằng với các thanh biên dưới bằng thép chịu kéo, tạo ra cặp ngẫu lực kháng mômen uốn. Các thanh bêtông xiên chịu nén tạo với trục dầm một góc và nối đỉnh của cốt đai với biên dưới.

Các thanh xiên có hình nan quạt tại giữa và tại gối sẽ truyền tải trọng cho từng thanh cốt đai. Nội lực trong thanh biên ở giữa nhịp bằng mômen ở dầm giản đơn tương đương chia cho cánh ta đònd

T

• Theo AASHTO [A5.8.2.7] dv được xác định là chiều cao có hiệu tính theo phương vuông góc với trục trung hòa giữa các hợp lực của lực kéo và nén do uốn nhưng không cần lấy nhỏ hơn giá trị lớn của 0,9devà 0,72h. Chiều cao có hiệudetừ thớ chịu nén ngoài cùng tới trọng tâm của lực kéo vàhlà chiều cao toàn bộ của cấu kiện.

• Trong thiết kế không cần thiết phải xét tất cả các cốt đai và thanh xiên khi xây dựng mô hình dàn cho một dầm bêtông. Các cốt đai trên một đoạn dầm có thể gộp lại thành một phần tử thẳng đứng và sẽ tạo ra một mô hình dàn đơn giản hoá. Có thể thấy rằng, có nhiều cách để xây dựng mô hình dàn.

• Trong ví dụ ở đây, dầm được chia thành sáu khoang, tải trọng trên mỗi khoang làwL/6. Chọn chiều cao chịu cắt có hiệu dv=L/9, có tan = 2/3. Nội lực trong các thanh dàn có thể xác định bằng phương pháp mặt cắt hoặc tách nút.

T

Hình 4.10Mô hình dàn cho dầm chịu tải phân bố đều a) Mô hình dàn góc thay đổi; b) Mô hình thanh kéo - nén được đơn giản hóa

c) Sơ đồ tách một phần dàn; d) Biểu đồ nội lực trong dàn

Sự thay đổi lực trong cốt đai và lực trong cốt chịu kéo được thể hiện trên hình 4.10d. Do đặc tính của dàn, biểu đồ các lực này có dạng bậc thang.

Biểu đồ nội lực trong cốt đai luôn nằm dưới biểu đồ lực cắt của dầm trong khi biểu đồ nội lực trong cốt thép chịu kéo luôn ở trên biểu đồ mômen của dầm chia chodv.

Nếu thể hiện nội lực trong các thanh chịu nén biên trên thì nó sẽ nằm dưới biểu đồ nội lực tính từ mômen của dầm giản đơn. Sự khác biệt này có thể giải thích bằng cách xét sự cân bằng các nút ở biên trên và biên dưới.

Sự có mặt của lực nén trong các thanh xiên làm giảm lực kéo trong các thanh đai đứng, làm giảm lực nén trong các thanh biên trên và làm tăng lực kéo trong thanh biên dưới.

Hỡnh 4.11ẹieàu kieọn caõn baống cho dàn góc thay đổi a) Sườn nứt nghiêng;

b) Mặt cắt ngang;

c) Lực kéo trong cốt thép sườn

Xét điều kiện cân bằng cho một mặt cắt chịu cắt thuần túy (M

= 0) như hình 4.11. Cân bằng các lực đứng :

hoặc (4.33)

trong đó:

f2- ứng suất nén chủ trong sườn dầm

bv- chiều rộng nhỏ nhất của sườn dầm trong phạm vi chiều caodv. Từ việc cân bằng lực, có tan = V/Nvvà

(4.34)

với Nvlà lực kéo theo phương dọc cần thiết để cân bằng với lực cắt V.

Giả thiết lực kéo Nv được chia đều cho các biên trên và dưới của dàn, làm tăng lực kéo thanh dưới và giảm lực nén thanh treân.

ƒ ƒ

sin sin cos sin tan

cot

v v v

v v v

v v v

Vsb Vs

A b d d

A d

V s

T T T T T

T

v cot

N V T

T

Phần lực kéo0,5Vcotg được thêm vào lực kéo M/dv trong phần bên phải hình 4.10d. Đường nét đứt là giá trị gần đúng nhất thể hiện lực kéo trong các thanh.

(4.35) Không thể xác định ngay khả năng chịu cắtVtừ hệ ba phương trình (4.33)y(4.35) vì có tới bốn ẩn số , fv,Nv và f2. Một cách giải là giả thiết = 450 và giá trị chofv như một phần củafykhi thiết kế cường độ. Phương trình (4.35) cho khả năng chịu lực cắt phụ thuộc vào ứng suất kéo trong cốt đai và hướng của ứng suất nén chủ trong bêtông mà không phụ thuộc vào cường độ chịu kéo của bêtông.

Nói cách khác, mô hình dàn có góc xiên thay đổi chỉ phụ thuộc vào thành phần Vs trong phương trình (4.31), thành phầnV đươc coi là bằng không

ƒ

ƒ

sin sin cos sin tan

cot

v v v

v v v

v v v

Vsb Vs

A b d d

A d

V s

T T T T T

T

T

T

T

T

Tóm lại, mô hình dàn có góc thay đổi cho thấy một cách rõ ràng qua phương trình (4.35) rằng lực cắt theo phương ngang trên một mặt cắt ngang tạo ra lực dọc trục và làm tăng lực kéo trong cốt thép dọc. Tuy nhiên, nó có hai thiếu sót : không thể dự đoán được hướng của ứng suất chính và bỏ qua cường độ chịu kéo của bêtông. Cả hai thiếu sót này được khắc phục bằng lý thuyết vùng nén sửa đổi, trong đó, sự phù hợp biến dạng sẽ là phương trình thứ tư cho phép xác định khả năng chịu lực cắtV.

3- Lý thuyết vùng nén sửa đổi :

Trong thiết kế, các dầm thép có sườn tương đối mỏng, các khoang sườn giữa các sườn tăng cường chịu ứng suất cắt được xem như chịu ứng suất kéo khi lực nén xiên gây ra mất ổn định. Độ ổn định cục bộ sườn dầm phụ thuộc vào hướng của ứng suất kéo chủ, khoảng cách sườn tăng cường, chiều cao dầm, chiều dầy sườn và cường độ chảy của vật liệu. Lý thuyết trường kéo đã được phát triển để xác định mối quan hệ giữa những tham số này và để dư đoán cường độ chịu cắt của sườn dầm thép

Đối với dầm bêtông cốt thép chịu ứng suất cắt, trạng thái làm việc tương tự cũng xảy ra trừ hiện tượng nứt do kéo và sườn dầm chủ yếu chịu nén xiên. Và lý thuyết trường nén đã được phát triển để giải thích trạng thái làm việc của các dầm BTCT chịu cắt. Ban đầu, lý thuyết trường nén giả thiết ngay khi sườn bị nứt, ứng suất kéo chủ sẽ triệt tiêu. Tuy nhiên, sau đó lý thuyết này được sửa đổi để xét tới ứng suất kéo chủ và đưa ra sự mô tả phù hợp hơn cơ chế phá hoại do cắt.

Hình 4.12 thể hiện trạng thái ứng suất ở sườn dầm BTCT trước và sau khi nứt. Mỗi trường hợp được biểu diễn qua một vòng tròn Mo (Morh) ứng suất.

Trước khi nứt (H.4.12a), sườn dầm được xem như là đồng nhất và vòng tròn ứng suất có tâm trùng với gốc toạ độ, bán kínhvvà 2 = 90o. Sau khi nứt (H.4.12b), cốt thép ở sườn chịu kéo và bêtông chịu nén do đó hướng của ứng suất chính sẽ nhỏ hơn 45o. Nếu không bỏ qua cường độ chịu kéo của bêtông thì trạng thái ứng suất của lý thuyết trường nén sửa đổi (H.4.12b) sẽ được dùng để mô tả ủi à ki ọ l ứ i ọ ỷ ứ d à BTCT

T T

T

T Hình 4.12Trạng thái ứng suất trong sườn dầm BTCT chịu cắt thuần túy a) Trước khi nứt f1= f2= v, = 45o; b) Lý thuyết trường nén f1= 0, < 45o c) Lý thuyết trường nén sửa đổi f1= 0, < 45o(theo Mitchell và Collins, 1991)

T

Vòng tròn ứng suấtMocho phần bêtông chịu nén ở hình 4.12c được giải thích cụ thể ở hình 4.13. Một phần tử BTCT chịu cắt thuần túy ứng với một vòng tròn ứng suất như hình 4.13a. Sự tương tác bên trong phần tử tạo ra lực nén trong bêtông và lực kéo trong cốt thép. Phần bêtông của phần tử được giả thiết chịu toàn bộ lực cắt và lực nén và ứng với vòng tròn ứng suất ở hình 4.12c và 4.13b. Góc xiên 2 phụ thuộc vào giá trị tương đối giữa lực cắt và lực nén.

Không có vòng tròn ứng suất ứng với cốt thép vì sức kháng cắt của nó được bỏ qua. Ứng suất kéo là các ứng suất kéo giả định của bêtông tương đương với lực kéo trong cốt thép. Sử dụng phép cộng biểu đồ như hình 4.13b và 4.13c có :

(4.36)

*

* s v x s s

s

s s x s

v x

f b s f A

f A f f

b s U T

*, * s v

f f

và

(4.37) trong đó : sx- khoảng cách thẳng đứng của cốt thép dọc

s- cự ly giữa các cốt đai.

(4.38) (4.39) Ứng suất giữa bêtông và cốt thép có thể không giống nhau sau khi bêtông bị nứt do môđun đàn hồi của bêtông và cốt thép khác nhau nhưng biến dạng của chúng thì baèng nhau.

Từ điều kiện này sẽ có thêm một phương trình để tạo thành hệ phương trình và từ đó có thể xác định góc nghiêng và cường độ chịu cắt của cấu kiện BTCT

*

* v v x v v

v

v v v v

v x

f b s f A

f A f f

b s U

U x s

v x

A tỷ số cốt dọc b s

v v v

A tyû soá coát ngang U b s

T

Việc xác định nghiệm của hệ phương trình được thực hiện bằng cách coi sườn dầm như một phần tử tấm mỏng với ứng suất, biến dạng có thể xác định bằng các vòng trònMo ứng suất, biến dạng.

Trước khi viết các phương trình cân bằng của lý thuyết trường nén sửa đổi, cần xác định các điều kiện cân bằng dựa trên một vòng trònMobiến dạng.

Xét phần tử sườn dầm BTCT bị nứt có trạng thái ứng suất hai phương và các biến dạng trung bình là theo phương dọc, ngang và 45olần lượt là x, tvà 45. Biến dạng vuông góc là độ dãn dài trên một đơn vị chiều dài (H.4.14a), còn biến dạng cắt là sự thay đổi gócDŽtừ góc vuông ban đầu (H.4.14b). Do giả thiết các đặc trưng vật liệu là đối xứng nên góc này ở hai bên góc vuông ban đầu bằng nhau. Hướng của biến dạng cắt tương ứng với hướng dương giả thiết của ứng suất cắt trên hình 4.13.

H H H

Hình 4.13Phần tử BTCT chịu cắt thuần túy a) Beâtoâng coát theùp; b) Thanh choáng beâtoâng; c) Coát theùp

Một vòng tròn biến dạng có thể xác định nếu biết ba biến dạng tại một điểm và góc giữa chúng. Ba biến dạng đó là x, tvà 45. Để xác định góc nghiêng của thanh chịu nén cần xác định mối quan hệ giữa các biến dạng này với các biến dạng chính trung bình 1, 2và gócH H .

H

H H

T

Hình 4.14 ẹieàu kieọn caân baèng của phần tử sườn dầm bị nứt

Hình 4.15 Các điều kiện caân baèng cuûa thuyết trường nén sửa đổi

a) Sườn BTCT bị nứt;

b) Mặt cắt ngang c) Lực kéo trong

cốt thép sườn;

d) Vòng tròn ứng suất của bêtông

Cân bằng các lực đứng ở hình 4.15c được :

thayf2ở phương trình (4.45) vàvở (4.46) vào, được : (4.47) Phương trình này thể hiện sự phân bố sức kháng cắt của bêtông và ứng suất kéo trong cốt thép sườn dầm. So sánh phương trình (4.45) với (4.47) thấy rằng so với mô hình dàn có góc thay đổi, lý thuyết trường nén sửa đổi đã xét thêm khả năng chịu cắt của bêtông.

Cân bằng các lực dọc ở hình 4.15a. có : thayf2ở phương trình (4.45) vào, được :

Nếu không có tải trọng dọc trục thìNv sẽ do cốt thép dọc chịu :

2 2

2 sin 1 cos

v v v v

A f f sb T f sb T

1 v vcot A f dv v vcot V f b d

T s T

2 2

2 cos 1 sin

v v v v v

N f b d T f b d T

( cot 1)

v v v

N v T f b d

v sx sx px px

N A f A f

trong đó : Asx- tổng diện tích cốt thép dọc

Apx- tổng diện tích thép dự ứng lực dọc fsx,fpx- ứng suất trung bình trên diện tíchbvdv trong cốt thép thường và cốt thép dự ứng lực dọc.

Cân bằng hai phương trình trên và chia cả hai vế chobvdv: (4.48) trong đó :

(4.49) (4.50) Với các điều kiện cân bằng về ứng suất và biến dạng đã trình bày, chỉ còn mối quan hệ giữa ứng suất và biến dang là đủ để hoàn thành lý thuyết trường nén sửa đổi

cot 1 sx sxf px pxf v f

U U T

sx sx

v v

A tỷ lệ cốt thép thường U b d

px px

v v

A tỷ lệ cốt thép dự ứng lực U b d

Hình 4.16Mối quan hệ cơ bản của các phần tử

a) Bêtông chịu nén; b) Bêtông chịu kéo; c) Cốt thép thường; d) Thép dự ứng lực

Trong việc xác định sự làm việc của bêtông chịu kéo trên hình 4.16b đã xét tới hai giả thiết : (1) dùng ứng suất trung bình và biến dạng trung bình trên nhiều vết nứt và (2) các vết nứt không đủ rộng để lực cắt vẫn có thể truyền qua chuùng.

Hình 4.17a thể hiện một sườn dầm bị nứt xiên với biểu đồ ứng suất kéo thực và ứng suất chính trung bìnhf1 cùng với biến dạng kéo chính trung bình 1xác định trên một đơn vị chiều dài. Đối với sườn bị nứt do biến dạng kéo đàn hồi tương đối nhỏ nên ứng suất kéo chính chủ yếu là do sự mở rộng của các vết nứt, và bằng :

(4.51) trong đó :Z- bề rộng vết nứt;

sm - khoảng cách trung bình của các vết nứt xiên.

Nếu bề rộng vết nứt w trở nên quá lớn, nó sẽ không thể truyền lực cắt qua vết nứt theo cơ chế cài cốt liệu như thể hiện của chi tiết vết nứt. Nói cách khác, nếu vết nứt quá rộng, phá hoại do cắt sẽ xẩy ra do hiện tượng trượt doc theo bề mặt vết nứt

H

1 m

w s T H |

T

Hình 4.17Truyền lực cắt qua vết nứt

a) Sườn dầm nứt do lực cắt ; b) Ứng suất trung bình giữa các vết nứt c) Ứng suất cục bộ tại vết nứt

4- Thiết kế chống cắt sử dụng lý thuyết trường nén sửa đổi:

Trở lại công thức cơ bản của sức kháng cắt danh định ở phương trình (4.32), có

(4.58) Thay sức kháng cắt của bêtông và cốt thép đai từ phương trình (4.47), được

(4.59) Nếu giả thiết rằng ở trạng thái giới hạnfv=fy, phương trình (4.52) và (4.53) sẽ trở thành biên trên của ứng suất keùo chuû trung bình :

(4.60) Phương trình (4.59) có thể biểu diễn thành :

n p c s

V V V V

1 cot v v vcot

n p v v

f f d V V f b d

T s T

1 0 18

0 3 24

max 16

tan , tan

, ( )

c ci

f v f

w a

d T d c T

cot

v v v

n p c v v

f f d

V V f b d

c s

E T

trong đó :

(4.62) Khi đó bề rộng vết nứt Z có thể biểu diễn dưới dạng tích của biến dạng chính trung bình 1 và khoảng cách trung bình giữa các vết nứtsm : (4.63)

Để đơn giản hoá, Collins và Mitchell (1991) giả thiết rằng cự ly vết nứtsm = 300mmvà kích thước lớn nhất của cốt liệu là 20mm. Từ đó có cận trên của b :

(4.64) Cùng với giới hạn của f1 bởi ứng suất cắt xiên ở phương trình (4.60), f1 được giả thiết là tuân theo moỏi quan heọ treõn hỡnh 4.16b :

(4.65)

T

H

T 0 18 0 3 24

max 16 ,

, w

a E d

1 m

w H s T

1

0 18 0 3 200

, E d ,

H

1 2 1

0 33 1 500

, fc

f D D c

H

1

với :

ǂ1 là hệ số xét tới điều kiện liên kết của cốt thép trong beâtoâng :

ǂ1= 1,0 cho cốt thép có gờ

ǂ1= 0,7 cho cốt thép trơn, sợi hay tao thép cường độ cao ǂ1= 0 cho cốt thép không liên kết với bêtông

và ǂ2là hệ số xét tới điều kiện tải trọng : ǂ2= 1,0 cho tải trọng ngắn hạn, không lặp ǂ2= 0,7 cho tải trọng lâu dài, tải trọng lặp Nếu thay vào, được :

Giả thiết hệ số liên kết ǂ1ǂ2 bằng đơn vị, có mối quan hệ thứ hai với ò phụ thuộc và biến dạng kộo chớnh trung bình 1:

(4 66)

D D T

E H

1 2

1

0 33 1 500

. cot

H T

E H1 0 33 1 500

. cot