Bài 1. Tìm 3 số nguyên tố sao cho tích của chúng gấp 5 lần tổng của chúng?
Giải Gọi 3 số nguyên tố phải tìm là a, b, c.
Ta có abc = 5(a+b+c). Suy ra abc... 5.
Vì a, b, c có vai trò bình đẳng nên không mất tính tổng quát giả sử a...5.
Suy ra a = 5.
Khi đó 5bc = 5(5 +b+c)
⇔(c−1)(b−1) = 6 ⇔
b−1 = 1 c−1 = 6
hoặc
b−1 = 2 c−1 = 3 Vậy bộ số cần tìm là hoán vị của (2, 5, 7).
Bài 2. Tìm p, q∈ ℘ sao cho p2=8q + 1.
Giải Ta có
p2 = 8q + 1 ⇒ 8q = p2 −1 = (p−1)(p+ 1). (1) Do p2 = 8q + 1 lẻ nên p2 lẻ. Đặt p= 2k+ 1.
Thay vào (1) ta có
8q = 2k(2k+ 2) → 2q = k(k+ 1) (2)
Nếu q = 2 thì ta có 4=k(k+ 1). Suy ra không thể tìm được k ∈ N.
Vậy q > 2. Vì q ∈ ℘nên (2, q)=1.
Từ (2) ta có
+ Nếu k = 2 và q = k+ 1 thì k = 2, q = 3. Khi đó p= 2.2 + 1 = 5.
+ Nếu q = k và 2 = k+ 1 thì q = 1 (loại).
Vậy p= 5, q = 3.
Bài 3. Tìm tất cả các số nguyên dương a, b phân biệt sao cho a2+b và b2+a là lũy thừa của một số nguyên tố.
Giải
Từ giả thiết, ta có a2 ≡ −b(modpk); b2 ≡ −a(modpk) Với pk=b2+a → a2b2 ≡ ab(modpk)
Suy ra ta có hai trường hợp Trường hợp 1: pk|ab
Do pk
a2 +b (giả thiết)
⇒pk
a2 b+b2
⇒pk
b2 (vô lý vì pk = b2 +a) Trường hợp 2: pk|ab−1
Ta có pk
a2 +b+ab−1
⇒pk|(a+ 1)(a+ b−1)
+ Nếu pk|a+ 1 thì a = b = 1. (thỏa mãn) + Nếu pk|a+b−1 (vô lý).
+ Nếu p|a+ 1 và pk|a+b−1 thì ta có
a ≡ −1(modp) ⇒a2 ≡ 1(modp) ⇒ b ≡ −1(modp) (do pk
a2 +b) Mặt khác, từ p|a+ b−1 ta có b ≡2 (mod p).
Do a ≡ −1 (mod p)
Vậy −1≡ 2 (mod p)
Suy ra p = 3, a= 2, b = 1 ( loại) Vậy a = b = 1.
Bài 4. Cho số nguyên dương N có đúng 12 ước số dương khác nhau kể cả chính nó và 1, nhưng chỉ có ước nguyên tố khác nhau và tổng các ước nguyên tố là 20. Tính giá trị nhỏ nhất có thể có của N?
Giải
Do N có tối đa 12 ước nên ta đặt N = (p1)a(p2)b(p3)c(p4)d (a, b, c, d > 0) Và (a+ 1)(b+ 1)(c+ 1)(d+ 1)=12=1.2.2.3 (1)
Mà a, b, c, d >0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra vô lý.
Vậy N = (p1)a(p2)b(p3)c
Ta đi tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của N.
Lại có (a+ 1)(b+ 1)(c+ 1)=12=2.2.3
Suy ra hai trong ba số a, b, c= 1 và số còn lại bằng 2.
Vì p1 +p2 +p3 = 20 nên có một số bằng 2.
Giả sử p1 =2 → p2 +p3 = 18
N = 22.(p2)1.(p3)1 ( do p2, p3 không chia hết cho 3 nên p2, p3 ≥ 5) là các số nguyên tố dễ chứng minh được p2=13, p3=5 là các số thỏa mãn đề bài.
Vậy N=25.51.131 = 260.
Bài 5. Tìm số nguyên tố abcd sao cho ab và ac là các số nguyên tố và b2 = cd+b−c?
Giải
Vì abcd, ab, ac là các số nguyên tố nên b, c, d là các số lẻ khác 5.
Ta có b2 = cd+b−c ⇔b(b−1) = cd−c = 10c+d−c = 9c+ d.
Do 9c+d ≥ 10 nên b(b−1) ≥ 10 ⇒b ≥ 4. Vậy b = 7 hoặc b = 9.
+ Nếu b = 7 ta có 9c+d=42 ... 3 ⇒ d... 3 ⇒d = 3 hoặc d = 9.
Nếu d = 3 thì 9c = 39. Do đó không tồn tại c ∈ N. Nếu d = 9 thì 9c+d ... 9, còn 42 không chia hết 9 (loại).
+ Nếu b = 9, ta có 9c+d = 72 ... 9 ⇒d ... 9. Vậy d= 9.
Ta có 9c+ 9 = 72 → c = 7.
ab = a9 là số nguyên tố ⇒ a 6= 3; 4; 6; 9 . ac = a7 là số nguyên tố ⇒ a 6= 2; 5; 7; 8 . Mặt khác a 6= 0. Suy ra a = 1.
Vậy số cần tìm là 1979.
Các bài tập tương tự
1. Chứng minh rằng chỉ có một cặp số nguyên dương (a, b) để a4 + 4b4 là số nguyên tố.
2. Cho p là số nguyên tố. Chứng minh rằng 7p+3p-4 không phải là số chính phương.
3.Chop, q là hai số nguyên tố khác nhau. Chứng minh rằngpq−1+qp−1 ≡ 1 (mod p.q).
4. Cho nlà một số nguyên dương. Chứng minh rằng 2n+1 không có ước nguyên tố dạng 8k −1 với k nguyên dương.
5. Cho a, b là các số nguyên, p là số nguyên tố lẻ. Chứng minh rằng nếu p4 là các ước của a2 +b2 và a(a+b)2 thì p4 cũng là ước của a(a+b).
Nhận xét
Ngoài các dạng bài tập cơ bản về số nguyên tố, phần số nguyên tố còn
có nhiều bài tập ở dạng khác mà khi giải quyết cần vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức có liên quan: ước số, bội số, chia hết và vẫn phải lần lượt xét các khả năng có thể xảy ra.
Chương 3
Ứng dụng số nguyên tố trong lý thuyết mật mã
Hơn bao giờ hết cho đến nay khi mà xã hội càng phát triển thì vấn đề bảo mật thông tin càng trở nên cấp thiết, và mối quan tâm không chỉ dừng lại ở cấp quốc gia mà mang tính toàn cầu. Mã hóa thông tin đã xuất hiện từ rất sớm. Người đầu tiên áp dụng mật mã một cách có hệ thống để bảo đảm bí mật thông tin quân sự là nhà quân sự thiên tài Julius Caesar.
Cho đến khoảng cuối những năm 70, người ta vẫn xem việc nghiên cứu số nguyên tố là một trong những ngành lý thuyết thuần túy của toán học, vì hầu như không có ứng dụng trong thực tiễn. Quan niệm đó thay đổi hẳn sau khi số nguyên tố được áp dụng để xây dựng hệ mật mã khóa công khai. Các lý thuyết mới của số học, đặc biệt là số học thuật toán đã tìm thấy những ứng dụng trực tiếp vào thực tiễn. Sau đây tôi xin trình bày những điểm cơ bản của lý thuyết mật mã xây dựng trên cơ sở của lý thuyết về số nguyên tố.