13. Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó. Số đo của cung lớn bằng360°trừ đi số đo của cung nhỏcùng căng dây cung.
14. Sốđo của góc nội tiếp bằng nửa sốđo của cung bị chắn.
15. Sốđo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa sốđo của cung bị chắn.
16. Sốđo của góc có đỉnh ởbên trong đường tròn bằng nửa tổng sốđo các cung bị chắn.
17. Số đo của góc có đỉnh bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo của các cung bị chắn.
18. Độ dài l của cung n0 của hình quạt tròn bán kính R được tính theo công thức: l .R.n. 180
=π
19. Diện tích S của hình quạt tròn bán kính R, cung n0được tính theo công thức:
R .n2
S .
360
=π
BÀI TẬP 88. Hãy nêu tên mỗi góc trong các hình dưới đây:
(Ví dụ. Góc trên hình b là góc nội tiếp).
Bạn tự giải 89. Trong hình bên, cung AmB có số đo là60°. Hãy:
a) Vẽ góc ở tâm chắn cung AmB. Tính góc AOB.
b) Vẽ góc nội tiếp đỉnh C chắn cung AmB. Tính góc ACB.
c) Vẽ góc tạo bởi tia tiếp tuyến Bt và dây cung BA. Tính góc ABt.
d) Vẽgóc ADB có đỉnh D ởbên trong đường tròn. So sánhADBvớiACB.
e) Vẽ góc AEB có đỉnh E ở bên ngoài đường tròn (E và C cùng phía đối với AB). So sánhAEBvớiABC.
Giải a) AOB= °60 .(Bạn đọc tự vẽ)
b) ACB 1s®AmB 30 .
=2 = °(Bạn đọc tự vẽ) c) ABt 1s®AmB 30
= 2 = °nếu cung nhỏAmBnằm trong góc ABt (hình a).
ABt 1s®ABlín 150
= 2 = °nếu góc ABt chứa cung lớn AB (hình b).
d) ADB 1s®AmB 1s®KN ACB 1s®KN ACB.
2 2 2
= + = + >
e) Giả sử EA cắt đường tròn tại P và EB cắt đường tròn tại Q. Ta có:
AEB 1s®AmB 1s®PQ ACB 1s®PQ ACB.
2 2 2
= − = − <
90. a) Vẽ hình vuông cạnh 4cm.
b) Vẽ đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó. Tính bán kính R của đường tròn này.
c) Vẽđường tròn nội tiếp hình vuông đó.
Tính bán kính r của đường tròn này.
Giải a) Hình vuông ABCD:
AB=BC=CD= AD=4cm.
A= = =B C D= °90 .
b) Bán kính OA của đường tròn ngoại tiếp ABCD bằng nửa đường chéo của hình vuông.
2 2 2 2
1 1 1
R OA AC AB BC 4 4 2 2cm.
2 2 2
= = = + = + =
c) Đường kính của đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD bằng cạnh hình vuông. Bán kính r của nó bằng:
1 1
r AD BC 2cm.
2 2
= = =
91. Trong hình bên, đường tròn tâm O có bán kínhR=2 cm, AOB = °75
a) Tính s®ApB.
b) Tính độ dài cung AqB và ApB.
c) Tính diện tích hình quạt tròn OAqB.
Giải a)s®ApB=360° −s®AqB=360° − ° =75 285 .°
b) Độ dài của các cungAqBvàApBkí hiệu tương ứng là ll AqB,lApB Ta có:
AqB
.OA.75 5
l cm 2,62cm.
180 6
π π
= = ≈
ApB AqB
5 5 19
l C l 2 .OA 4 9,94cm.
6 6 6
π π π
π π
= − = − = − = ≈
c) Diện tích quạt tròn OAqB là:
2
2 2
.OA .75 5
S cm 2,62cm .
180 6
π π
= = ≈
92. Hãy tính diện tích miễn gạch sọc trong các hình dưới đây (đơn vị dài: cm).
Giải a) Diện tích hình vành khăn (hình a)
2 2 2 2
S1 =π.1,5 −π.1 =1,25π cm ≈3,93cm . b) Diện tích miền gạch sọc trong hình b bằng 80
360diện tích hình vành khăn trong hình a
2 2
1 2
80S 2 1,25
S cm 0,87cm .
360 9
π
= = × ≈
c) Diện tích hình gạch sọc hình c bằng 4 lần điện tích hình vuông cạnh 1,5cm đã bớt1
4hình tròn bán kính 1,5cm. Điều này có nghĩa diện tích hình gạch sọc hình c bằng điện tích hình vuông cạnh 3cm trừ diện tích hình tròn đường kính 3cm.
2
2 2
3
S 3 .3 1,94cm . 4
= −π ≈
93. Có ba bánh xe răng cưa A, B, C cùng chuyển động ăn khớp với nhau. Khi một bánh xe quay thì hai bánh xe còn lại cũng quay theo. Bánh xe A có 60 răng, bánh xe B có 40 răng, bánh xe C có 20 răng. Biết bán kính bánh xe C là 1cm. Hỏi:
a) Khi bánh xe C quay 60 vòng thì bánh xe B quay mấy vòng?
b) Khi bánh xe A quay 80 vòng thì bánh xe B quay mấy vòng?
c) Bán kính của các bánh xe A và B là bao nhiêu?
Giải a) Theo cách chuyển động của các bánh xe thì mỗi bánh xe trong hệ thống chuyển được một răng cưa thì mỗi bánh xe khác của hệ cũng chuyển một răng cưa. Vì vậy:
Khi bánh xe C quay 60 vòng tức đã chuyển số răng cưa là:
60 20× =1200 răng cưa.
Sốvòng bánh xe B đã quay băng: 1
n 1200 30
= 40 = vòng.
b) Khi bánh xe A quay 80 vòng thì số vòng bánh xe B quay là:
2
80 60
n 120
40
= × = vòng.
c) Gọi bán kính các bánh xe A, B, C theo thứ tự là R ,R ,R1 2 3 2 Rπ 1=60răng, 2 Rπ 2 =40răng, 2 Rπ 3 =20răng.
Từđó suy ra 2 Rπ 1= ×3 2 Rπ 3 ⇒R1 =3R3 =3cm.
2 3 2 3
2 Rπ = ×2 2 Rπ ⇒R =2R =2cm.
Vậy bán kính bánh xe A và B theo thứ tự là 3cm và 2cm.
94. Hãy xem biểu đồ hình quạt biểu diễn sự phân phối học sinh của một trường THCS theo diện ngoại trú, bán trú, nội trú (hình dưới). Hãy trả lời các câu hỏi sau:
a) Có phải1
2số học sinh là học sinh ngoại trú không?
b) Có phải1
3số học sinh là học sinh bán trú không?
c) Số học sinh nội trú chiếm bao nhiêu phần trăm?
d) Tính số học sinh mỗi loại, biết tổng số học sinh là 1800 em.
Giải
a) Tổng số học sinh biểu diễn bởi nửa đường tròn, tức là hình quạt tròn có góc180°. Số học sinh ngoại trú biểu điễn bằng hình quạt tròn90°. Tỉ lệ học sinh ngoại trú so với học sinh toàn trường là 90 1
180 =2. Vậy1
2số học sinh là học sinh ngoại trú.
b) Cũng như câu a) tỉ lệ học sinh bán trú là 18 (90 30) 1
180 3.
− +
= Vậy 1
3 số học sinh là học sinh bán trú.
c) Tỉ số phần trăm học sinh nội trú là:
30 100
100% % 16 ,67%.
180× = 6 ≈
d) - Số học sinh nội trú là: 1800 30 300 180
× = học sinh.
- Số học sinh bán trú là:1800 : 3=600học sinh.
- Số học sinh ngoại trú là:1800 : 2=900học sinh.
95. Các đường cao hạ từ A và B của tam giác ABC cắt nhau tại H và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:
a)CD=CE; b)∆BHDcân; c)CD=CH .
Giải
a) Trong các tam giác vuôngAB H′ vàBA H′ ta có:
1 1 2 2
A +H =H +B = °90
Do
1 2
H =H (đối đỉnh) suy raA1 =B2
Vì s® s®
1 2
1 1
A CD,B CE
2 2
= =
s® s®
1 2
A =B ⇒ CD= CE CD CE.
⇒ =
b) Trong tam giác BHD ta cóBA′là đường cao kẻ từ B. Mặt khác ta có:
s® s®
1 2
1 1
B CD CE B
2 2
= = =
Đường cao BA′đồng thời là đường phân giác. Vậy∆BHD cân đỉnh B.
c) Do đường thẳngBA′là đường trung trực của DH (tính chất tam giác cân) mà C nằm trên đường trung trực của BH nênCD=CH .
96. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và tia phân giác của góc A cắt đường tròn tại M. Vẽđường cao AH. Chứng minh rằng:
a) OM đi qua trung điểm của dây BC;
b) AM là tia phân giác của góc OAH.
Giải a) Tia AM là tia phân giác góc BAC nên
BAM MAC 1s®BM 1s®MC
2 2
= ⇒ =
BM MC
⇒ = . Điểm M là điểm chính giữa của cungBC. Do đó ta có BOM =MOC.
Tam giác BOC cân đỉnh O nên tia phân giác kẻ từ O chứa đường trung tuyến kẻ từ O. Vậy OM đi qua trung điểm của BC.
b) Trung tuyến OI của∆OBCđồng thời là đường cao của tam giác.
Do đóAH OI(cùng vuông góc với BC). Suy ra
OMA=MAH (hai góc so le trong) (1) Mặt khác tam giác OAM cân đỉnh O nên OMA=OAM (2)
Từ(1) và (2) ta được: OAM =MAH. Vậy AM là tia phân giác của góc OAH.
97. Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên AC lấy một điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S. Chứng minh rằng :
a) ABCD là một tứ giác nội tiếp;
b) ABD = ACD;
c) A là tia phân giác của góc SCB.
Giải
a) Ta có: BAC= °90 , A nằm trên đường tròn đường kính BC.
Ta lại có BDC=MDC= °90
(gócMDCchắn nửa đường A tròn đường kính MC).
Vậy D cũng nằm trên đường tròn đường kính BC. Các điểm A, B, C, D nằm trên đường tròn đường kính BC nên ABCD là một tứ giác nội tiếp.
b) Trong đường tròn ngoại tiếp ABCD thìABDvàACDlà các góc nội tiếp cùng chắn cungAD. Vậy ABD=ACD.
c) Trong đường tròn ngoại tiếp ABCD ta có:
ADB= SDM =ACB (các góc nội tiếp cùng chắn cungAB) (1) Trong đường tròn đường kính CM ta có:
SDM =SCM (các góc nội tiếp cùng chắn cung SM) (2) Từ (1) và (2) ta có SCM =SCA=ACB (3) Đẳng thức (3) chứng tỏ CA là tia phân giác của góc SCB.
98. Cho đường tròn (O) và một điểm A cốđịnh trên đường tròn. Tìm quỹtích các trung điểm M của dây AB khi điểm B di động trên đường tròn đó.
Giải
M là trung điểm của AB nên OM là trung tuyến của tam giác cân OAB đỉnh O nên OM đồng thời là đường cao. Do đóAMO= °90 . Điểm A cố định, B di động nên M di động, nhưng M luôn nhìn đoạn
thẳng OA cố định dưới góc vuông nên quỹ tích các trung điểm M của AB là đường tròn đường kính AO.
99. Dựng∆ABC, biếtBC=6cm,BAC = °80 , đường cao AH có độ dài là 2cm.
Giải
(Xem bài tập 49).
- Dựng đoạnBC=6cm.
Dựng hai đường thẳngd1 BC vàd2 BC cách BC khoảng cách 2cm.
- Vẽ các cung chứa góc80°dựng trên BC (cách dựng cung chứa gócαtrên BC xem Sách giáo khoa).
Các cung chứa góc này cắtd1vàd2tại 4 điểmA , A , A , A1 2 3 4. Các các tam giác A BC , A BC , A BC1 2 3 và A BC4 thỏa mãn các yêu cầu của đề bài.
PHẦN
Chương IV. HÌNH TRỤ - HÌNH NÓN – HÌNH CẦU
§ 1. Hình trụ Diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ
Công thức tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ có chiều cao h và bán kính đáy r:
2 ;
Sxq = πrh Stp =2πrh+2πr2; V =πr h2 =Sh BÀI TẬP
1. Hãy điền thêm các tên gọi vào dấu ...
Hướng dẫn (Học sinh tự giải)
2. Lấy một băng giấy hình chữ nhật ABCD (hình dưới). Biết AB 10 cm= , BC=4 cm; dán băng giấy như hình vẽ (B sát với A và C sát với D, không được xoắn).
Có thể dán băng giấy có tạo nên mặt xung quanh của hình trụ được không ? Hướng dẫn
Có.
3. Quan sát ba hình dưới đây và chỉ ra chiều cao, bán kính đáy của mỗi hình.
Hướng dẫn
( )1 : h=10cm; r=4cm ( )2 : h=11cm; r=0, 5cm ( )3 : h=3cm; r=3, 5cm
4. Một hình trụ có bán kính đáy là 7cm, diện tích xung quanh bằng 352cm2. Khi đó, chiều cao của hình trụ là:
( )A 3,2cm ( )B 4,6cm ( )C 1,8cm
( )D 2,1cm ( )E Một kết quả khác.
Hãy chọn kết quả đúng.
Hướng dẫn Ta có: r=7; Sxq =352.
Từ công thức xq xq ( )
S 352 352
S 2 rh h 8 cm
2 r 2 .7 14.3,14
= π ⇒ = = ≈ ≈
π π
Vậy ( )E đúng.
5. Điền đủ các kết quả vào những ô trống của bảng sau:
Hình Bán kính đáy (cm)
Chiều cao (cm)
Chu vi đáy (cm)
Diện tích đáy ( )cm2
Diện tích xung quanh ( )cm2
Thể tích
( )cm3
1 10
5 4
8
Hướng dẫn
Hình Bán kính đáy (cm)
Chiều cao (cm)
Chu vi đáy (cm)
Diện tích đáy ( )cm2
Diện tích xung quanh ( )cm2
Thể tích
( )cm3
1 10 2π π 20π 10π
5 4 10π 25π 40π 100π
2 8 4π 4π 32π 32π
6. Chiều cao của một hình trụ bằng bán kính đường tròn đáy. Diện tích xung quanh của hình trụ là 314cm . 2 Hãy tính bán kính đường tròn đáy và thể tích hình trụ (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Hướng dẫn Gọi bán kính đáv của hình trụ là r thì chiều cao h=r
2
Sxq = π ⇒ π =2 rh 2 r 314
Lấy 2 314
3,14 r 50
2.3,14
π = ⇒ = =
( )
r 5 2 7, 07 cm
⇒ = ≈
Thể tích hình trụ:
( )
2 3
V= πr h= π.50.5 2=250. 2.π ≈1110,16 cm
7. Một bóng đèn huỳnh quang dài 1,2m, đường kính đường tròn đáy 4cm được đặt khít vào một ống giấy cứng dạng hình hộp (hình bên dưới). Tính diện tích phần giấy cứng dùng để làm một hộp.
(Hộp hởhai đầu, không tính lề và mép dán).
Hướng dẫn - Chu vi đáy hộp2p=16 cm( ).
- Diện tích xung quanh hình hộp 16 120 1920 cm× = ( )2 . Đáp số: 1920 cm( )2 .
LUYỆN TẬP
8. Cho hình chữ nhật ABCD (AB=2a, BC=a). Quay hình chữ nhật đó quanh AB thì được hình có thể tích V1, quanh BC thì được hình có thể tích V2. Trong các đẳng thức dưới đây, hãy chọn đẳng thức đúng.
( )A V1 =V2 ( )B V1=2V2 ( )C V2 =2V1
( )D V2 =3V1 ( )E V1=3V2. Hướng dẫn Khi quay hình chữ nhật xung quanh AB thì ta được hình trụ có
chiều cao h=AB=2a bán kính đáy r=BC=a
và thể tích V1= πa .2a2 = π2 a3.
Khi quay hình chữ nhật xung quanh BC thì ta được hình trụ có h′ =BC=a
r′ =AB=2a
và V2 = π( )2a 2.a= π4 a3 Vậy
3 2
3 1
V 4 a
V 2 a 2
= π = π Đẳng thức ( )C V2 =2V1 đúng.
9. Dưới đây là một hình trụ cùng với hình khai triển của nó kèm theo kích thước.
Hãy điền vào các ô trống và các dấu ... những cụm từ và các số cần thiết.
( )2
.... :10. : = cm
( ) ( )2
.... : 10.2. . = cm
( )2
.... : .2+ = cm
Hướng dẫn
( )
= π = π 2
Sđáy 10. 2 . 20 cm
( ) ( )2
Sxq = 10.2.π .12 = 240π cm
( )2
Stp = 20 .2π + 240π = 280π cm 10. Hãy tính :
a) Diện tích xung quanh của một hình trụcó chu vi đường tròn đáy 13cm và chiều cao 3cm.
b) Thể tích của hình trụcó bán kính đường tròn đáy 5mm và chiều cao 8mm.
Giải a) Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq =13.3=39 cm( )2 .
b) Ta có: V= πr h2 ≈3,14.5 .82
( 3)
V 628 mm
⇒ ≈ .
11. Người ta nhấn chìm hoàn toàn một tượng đá nhỏ vào một lọ thủy tinh có nước dạng hình trụ. Diện tích đáy lọ thủy tinh là 12,8cm2. Nước trong
ống nghiệm dâng lên thêm 8,5mm. Hỏi thể tích của tượng đá là bao nhiêu?
Hướng dẫn
Thểtích tượng đá bằng thể tích phần nước dâng lên trong ống nghiệm và bằng:
( )3
12,8 0,85 10,88 cm× = . 12. Điền đủ các kết quả vào những ô trống của bảng sau:
Hình Bán kính đáy
Đường
kính đáy Chiều cao Chu vi đáy
Diện tích đáy
Diện tích
xung quanh Thể tích
25mm 7cm
6cm 1m
5cm 1 lít
Hướng dẫn
Hình
Bán kính đường tròn
đáy
Đường kính đường tròn
đáy
Chiều cao
Chu vi đáy
Diện tích đáy
Diện tích
xung quanh Thể tích 25mm 50mm 7cm 50 mmπ 625 mmπ 2 3500 mmπ 2 43750 mm( 3)
3cm 6cm 1m 6 cmπ 9 cmπ 2 600 cmπ 2 900π( )cm3
5cm 10cm 40
π cm 20 cmπ 25 cmπ 2 800 cm2 1 lít Chú ý: 1 lít tương đương với 1dm3 =1000 cm3
13. Một tấm kim loại được khoan thủng bốn lỗ như hình bên (lỗ khoan dạng hình trụ), tấm kim loại dày 2cm, đáy của nó là hình vuông có cạnh là 5cm. Đường kính của mũi khoan là 8mm. Hỏi thể tích phần còn lại của tấm kim loại là bao nhiêu?
Hướng dẫn
Ta có: (502− π4. .42)20≈45980,8 mm3 (lấy π =3,14)
14. Đường ống nối hai bể cá trong một “thủy cung” ở miền nam nước Pháp có dạng một hình trụ, độ dài của nó là 30m (hình bên). Dung tích của “đường ống” nói trên là 1800000 lít.
Tính diện tích đáy của đường ống.
Giải
Ta có: 1 lít tương đương 1dm3 =0, 001m3.
Vậy 1800000 lít tương đương với 1800m . 3 Diện tích một đáy là1800 : 30=60 m( )2 .
PHẦN
Chương IV. HÌNH TRỤ - HÌNH NÓN – HÌNH CẦU
§2. Hình nón – Hình nón cụt – Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt
Sxq Stp V
Hình nón πrl πrl+πr2 1 2
3πr h Hình nón cụt π(r1+r l2) π(r1+r l2) +π(r12+r22) 1 ( 12 22 1 2)
3πh r + +r r r Chú ý: r: bán kính đáy; h: đường cao; l: đường sinh.
BÀI TẬP
15. Một hình nón được đặt vào bên trong một hình lập phương như hình vẽ (cạnh của hình lập phương là 1). Hãy tính:
a) Bán kính đáy của hình nón.
b) Độdài đường sinh.
Giải a) Bán kính đáy hình nón: r 1
= 2.
b) Chiều cao hình nón cũng là chiều cao của hình lập phương nên
SH=1 1
HA= 2
⇒ =l SA mà
2
2 2 1 5
SA 1
2 4
= + =
5
⇒ =l 2
16. Cắt một hình nón theo một đường sinh và trải phẳng ra thành một hình quạt. Bán kính hình tròn chứa hình quạt bằng độdài đường sinh và độ dài cung bằng chu vi đáy.
Quan sát hình dưới đây và tính sốđo cung của hình quạt.
Gọi số đo cung hình quạt là x°. Bán kính hình tròn chứa hình quạt là R=6 cm, chu vi của đường tròn này là 2 Rπ = π = π2 .6 12 .
Độ dài cung của hình quạt là 2.2.π = π4 . Ta tính ra 4
x .360 120
12
= π ° = °
π . Đáp số: x=120°.
15. Khi quay tam giác vuông để tạo ra một hình nón như ởhình dưới thì góc CAO gọi là nửa góc ở đỉnh của hình nón. Biết nửa góc ởđỉnh của một hình nón là 30°, độdài đường sinh là a, tính sốđo cung của hình quạt khi khai triển mặt xung quanh hình nón.
Giải Bán kính đáy hình nón:
1 a
r OC a.cos30 a. r
2 2
= = ° = ⇒ = .
Ta gọi n° là độ lớn của góc ở tâm của khai triển hình nón thì
.360 2360 180
° = ° = ° ⇒ = ° a
n r n
l a
18. Hình ABCD khi quay quanh BC thì tạo ra
( )A Một hình trụ. ( )B Một hình nón.
( )C Một hình nón cụt. ( )D Hai hình nón.
( )E Hai hình trụ.
Hãy chọn câu trả lời đúng.
Hướng dẫn Câu ( )D đúng.
Ta có hai hình nón có chung nhau một đỉnh S là giao điểm của AD và BC.
19. Hình khai triển của một hình nón là một hình quạt. Nếu bán kính hình tròn chứa hình quạt là 16cm, góc ở tâm là 120° thì độdài đường sinh của hình nón là:
( )A 16cm ( )B 8cm ( )C 16
3 cm ( )D 4cm ( )E 16
5 cm.
Hãy chọn kết quảđúng.
Hướng dẫn Câu ( )A đúng: Độdài đường sinh hình nón là 16cm.
20. Hãy điền vào các ô trống ở bảng sau:
Bán kính đáy (r) Đường kính đáy
(d) Chiều cao (h) Độ dài đường
sinh (l) Thể tích (V)
10 10
10 10
10 1000
10 1000
10 1000
Hướng dẫn Bán kính đáy
(r cm)
Đường kính đáy
(d cm) Chiều cao (h) Độ dài đường sinh (l cm)
Thể tích (V cm3)
10 (20) 10 100 2 1.1000
3 π
5 10 10 5 5 1
3.250π 10 3π
π 20 3π
π 10 3
10 + π
π 1000
10 20 30
π 10 9+ π2
π 1000
5 10 120
π
5 2
576+ π
π 1000
21. Cái mũ của chú hề với các kính thước cho theo hình vẽ. Hãy tính tổng diện tích vải cần có để làm nên cái mũ (không kể riềm, mép, phần thừa).
Giải - Bán kính đáy hình nón: r 35 10 7, 5cm
= 2 − =
- Diện tích xung quanh hình nón: Sxq = π = πrl .7, 5.30=225π( )cm2
- Diện tích phần vành khăn S=(17, 52−7, 5 .2)π =250π( )cm2 .
Tổng số diện tích vải cần đểlàm mũ 225π +250π =475π ≈706 cm( )2 .
22. Hình vẽ cho ta hình ảnh của một đồng hồ cát với các kích thước kèm theo (OA=OB).
Hãy so sánh thể tích của hai hình nón và thể tích của hình trụ.
Hướng dẫn Thể tích hai hình nón V 1 R h2
= π3 Thể tích hình trụ V′ = πR h2 Vậy
2
2
1 R h
V 3 1
V R h 3
= π =
′ π
LUYỆN TẬP
23. Viết công thức tính nửa góc ở đỉnh của một hình nón. (Góc α của tam giác vuông AOS - hình bên) sao cho diện tích mặt khai triển của hình nón bằng một phần tư diện tích của hình tròn (bán kính SA).
Giải
Gọi α là nửa góc ở đỉnh hình nón, ta có sin r
α = l trong đó l là đường sinh, r là bán kính đáy hình nón.
Theo giả thiết ta có rl 1. l2 r 1
4 l 4
π = π ⇒ = Vây sin 1
α =4. Từđây ta tính được góc α = °14 28′.
24. Hình khai triển mặt xung quanh của hình nón là một hình quạt, bán kính hình quạt đó là 16cm, số đo cung là 120°. Tang của nửa góc ởđỉnh của hình nón là:
( )A 2
4 ( )B 2
2 ( )C 2 ( )D 2 2
Hãy chọn kết quả đúng.
Giải Ta có: Gọi l, r là đường sinh và bán kính đáy hình nón thì
2 l.120 r 1
2 r 360 l 3
π °
π = ⇒ =
°
mà sin r sin 1 cos2 1 1 8
l 3 9 9
α = ⇒ α = ⇒ α = − = cos 8
⇒ α = 3 1
sin 3 1 2
tg cos 8 2 2 4
3
α = α = = =
α . Vậy câu A) đúng.
25. Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón cụt biết hai bán kính đáy là a, b (a<b) và độ dài đường sinh l (a, b, l có cùng đơn vịđo).
Hướng dẫn Đáp số: Sxq = πl b a( − ).
26. Hãy điền đủ vào ô trống cho bảng sau (đơn vị độ dài là cm):
Hình Bán kính
đáy (r)
Đường kính đáy ( )α
Chiều cao (h)
Độdài đường sinh (l)
Thể tích (V)
5 12
16 15
7 25
40 29
Giải Bán kính
đáy (r)
Đường kính đáy ( )α
Chiều cao (h)
Độ dài đường
sinh (l) Thể tích (V)
5 10 12 13 100π ≈314cm3
8 16 15 17 320π ≈1005cm3
7 14 24 25 392π ≈1231cm3
20 40 21 29 2800π ≈8792cm3
27. Một dụng cụ gồm một phần có dạng hình trụ, phần còn lại có dạng hình nón. Các kích thước cho trên hình vẽ. Hãy tính:
a) Thể tích của dụng cụ này.
b) Diện tích mặt ngoài của dụng cụ (không tính nắp đậy).
Giải
a) Thể tích phần hình nón: V1 1 . 70 .90 147000( )2 ( )cm3
= π3 = π .
Thể tích phần hình trụ: V2 = π. 70 .70( )2 =343000π( )cm3 .
Thể tích của dụng cụ:
( )3 ( )3
147000π +343000π =490000π ≈1538600 cm ≈1, 54 m . b) Diện tích phần hình trụ: 2 .70.70π =9800π( )cm2 .
Đường sinh của hình nón: l2 =902+702 =13000⇒ ≈l 114( )cm .
Diện tích phần hình nón: π.70.114=7980π( )cm2
Diện tích mặt ngoài của dụng cụ:
( )2 ( )2
7980π +9800π =17780π ≈55829 cm ≈5, 6 m
28. Một cái xô bằng inốc có các kích thước cho ở hình vẽ(đơn vị cm).
a) Hãy tính diện tích xung quanh của xô (không tính nắp đậy).
b) Khi xô chứa đầy hóa chất thì dung tích của nó là bao nhiêu?
Giải a) Ta có r1=21; r2 =9; l=36
Vậy diện tích xung quanh của xô là:
( ) ( )2
S= π 21 9 .36 1080+ = π ≈3391 cm . b) Trước hết ta tính chiều cao của xô:
( )2
2 2
h =36 − 21 9− =1152 h 34
⇒ ≈
Thể tích của xô là: V 1 (212 92 21.9 .34)
= π3 + +
( )3 ( )3
8058 cm 25302 cm
= π ≈