Thuật toán Ford – Fulkerson tìm luồng cực đại tron- 123docz.net

PHÁT BIỂU BÀI TOÁN LUỒNG TRÊN MẠNG

4. Thuật toán Ford – Fulkerson tìm luồng cực đại trong mạng

Định lý 1 là cơ sở xây dựng thuật toán lặp sau đây để tìm luồng cực đại trong mạng: Bắt đầu từ luồng với luồng trên tất cả các cung bằng 0 ( ta sẽ gọi luồng như vậy là luồng không ), và lặp lại bước lặp sau đây cho đến khi thu được luồng mà đối với nó không còn luồng tăng:

Thuật toán Ford – Fulkerson

10 Xuất phát từ một luồng chấp nhận được f.

20 Tìm một đường đi tăng luồng P. Nếu không có thì thuật toán kết thúc. Nếu có, tiếp bước 3 dưới đây.

30 Nếu δ(P) = +∞ thuật toán kết thúc.

Trong đó δ(P) - Lượng luồng tăng thêm, hay nói khác là làm sự tăng luồng (flow augmentation) dọc theo đường đi tăng luồng P một lượng thích hợp mà các ràng buộc của bài toán vẫn thoả.

Cách tìm đường đi tăng luồng. Ta sử dụng thuật toán gán nhãn có nội dung như sau. Một đường đi P thoả mãn về đường đi tăng luồng, nhưng chỉ đi từ s đến k nào đó (chưa tới t, nói chung) sẽ được gọi là đường đi chưa bão hoà (unsaturated path).

Ta nói đỉnh u là đã đánh dấu (u is labeled) nếu ta biết là có một đường đi chưa bão hoà từ s tới u. Bây giờ ta sẽ xét tất cả các đỉnh v có nối trực tiếp đến đỉnh u (sẽ gọi là ở cạnh đỉnh u) xem chúng có thể được gán nhãn hay không khi u đã gán nhãn. Việc này được gọi là thăm (scanning) đỉnh u.

Nếu (u,v) có luồng trên cung F(u,v) < C(u,v) thì ta có thể nối thêm cung (u,v) và đường đi chưa bão hoà P từ s đến u để được đường đi chưa bão hoà tới v. Vậy v có thể gán nhãn.

Bước lặp tăng luồng ( Ford - Fulkerson): Tìm dường tăng P đối với luồng hiện có. Tăng luồng dọc theo đường P.

Khi đã có luồng cực đại, lát cắt hẹp nhất có thể tìm theo thủ tục mô tả trong chứng minh định lý 1. Sơ đồ của thuật toán Ford – Fulkerson có thể mô tả trong thủ tục sau đây:

Procedure Max_Flow;

(* Thuật toán Ford – Fulkerson *) begin

(* Khởi tạo: Bắt đầu từ luồng với giá trị 0 *) for u ∈ V do

for v ∈ V do f(u,v):=0;

Stop:=false;

While not Stop do

if< Tìm được đường tăng luồng P> then <Tăng luồng dọc theo P>

else Stop:= true;

end;

Để tìm đường tăng luồng trong Gf có thể sử dụng thuật toán tìm kiếm theo chiều rộng ( hay thuật toán tìm kiếm theo chiều sâu) bắt đầu từ đỉnh s, trong đó không cần xây dựng tường minh đồ thị Gf. Ford- Fulkerson đề nghị thuật toán gán nhãn chi tiết sau đây để giải bài toán luồng trong mạng. Thuật toán bắt đầu từ luồng chấp nhận được nào đó trong mạng ( có thể bắt đầu từ luồng không) sau đó ta sẽ tăng luồng bằng cách tìm các đường tăng luồng. Để tìm đường tăng luồng ta sẽ áp dụng phương pháp gán nhãn cho các đỉnh. Mỗi đỉnh trong quá trình thực hiện thuật toán sẽ ở một trong ba trạng thái: chưa có nhãn, có nhãn chưa xét, có nhãn đã xét. Nhãn của một đỉnh v gồm 2 phần và có một trong hai dạng sau: [+p(v), ε(v)] hoặc [-p(v), ε(v) ]. Phần thứ nhất +p(v) (-p(v)) chỉ ra là cần tăng (giảm) luồng theo cung (p(v),v) cung (v,p(v)) còn phần thứ hai ε(v) chỉ ra lượng lớn nhất có thể tăng hoặc giảm theo cung này. Đầu tiên chỉ có đỉnh s được khởi tạo nhãn và nhãn của nó là chưa xét, còn tất cả các đỉnh còn lại đều chưa có nhãn . Từ s ta gán cho tất cả các đỉnh kề với nó và nhãn của đỉnh s sẽ trở thành nhãn đã xét. Tiếp theo, từ mỗi đỉnh v có nhãn chưa xét ta lại gán nhãn cho tất cả các nhãn chưa có nhãn kề với nó và nhãn của đỉnh v trở thành nhãn đã xét. Quá trình sẽ được lặp lại cho đến khi hoặc là đỉnh t trở thành có nhãn hoặc là nhãn của tất cả các đỉnh có nhãn đều là đã xét nhưng đỉnh t vẫn chưa có nhãn. Trong trường hợp thứ nhất ta tìm được đường tăng luồng, còn trong trường hợp thứ hai đối với luồng đang xét không tồn tại đường tăng luồng ( tức là luồng đã là cực đại ). Mỗi khi tìm được đường tăng luồng, ta lại tăng luồng theo đường tìm được, sau đó xoá tất cả các nhãn và đối với luồng mới thu được lại sử dụng phép gán nhãn các đỉnh để tìm đường tăng luồng.

Thuật toán sẽ kết thúc khi nào đối với luồng đang có trong mạng không tìm được đường tăng luồng.

Thuật toán gán nhãn (The labeling algorithm)

Gọi VT là tập mọi đỉnh đã gán nhãn nhưng chưa được thăm. Ta có thuật toán để tìm đường đi tăng luồng.

Xuất phát với VT = {s} và s là nút đã đánh dấu duy nhất.

Một bước lặp sẽ có VT hiện hành và gồm ba bước như sau.

10 Nếu t ∈ VT hoặc VT = ∅, thuật toán kết thúc. Ngược lại thì chọn một đỉnh u

∈ VT để thăm và đưa nó ra khỏi VT. Xét tất cả các đỉnh cạnh u, tức là xét mọi cung có dạng (u,v) và (v,u).

20 Nếu (u,v) ∈ E, F(u,v) < C(u,v) và v chưa gán nhãn thì gán nhãn nó và đưa v vào tập VT.

30 Nếu (v,u) ∈ E, F(v,u) > 0 và v chưa gán nhãn thì gán nhãn nó và đưa vào tập VT.

Bây giờ ta xét kết quả của thuật toán gán nhãn. Nó có kết thúc hữu hạn hay không? Nhận xét rằng một đỉnh được vào tập VT chỉ khi chuyển từ chưa gán nhãn. Do đó một đỉnh chỉ được vào VT nhiều nhất là một lần. Mà mỗi bước lặp bỏ một đỉnh ra khỏi VT. Do đó, vì số đỉnh của mạng là hữu hạn, thuật toán phải kết thúc hữu hạn.

Thí dụ 1. Áp dụng thuật toán Ford-Fullkerson tìm luồng cực đại bằng cách gán nhãn cho đỉnh của mạng G với luồng f được cho như Hình 1, hai số viết bên cạnh mỗi cung là khả năng thông qua và luồng của các cung. Kết quả các bước của thuật toán mô tả bởi các đồ thị và bảng dưới đây. Mạng với luồng cực đại thu được ở Hình 2. Lát cắt bé nhất là X = {s,c}, X* = {b,d,e,t} và giá trị luồng cực đại là 9.

Hình 1 + Bước lặp 1: s → b → d → t, δ1 = 1

+ Bước lặp 2: s → c → d → b → e → t, δ2 = 2

3,0 3,1

c e

t b d

5,2

1,1

6,1 6,5 6,4

5,4

3,0 3,1

c(s+,3) e(b+,1)

t(d+,1) d(b+,1)

b(s+,1)

5,2

1,1

6,1 6,5 6,4

5,4

s (s,∞)

b d

3,0 3,1

c e

5,2

1,1

6,1 6,6 6,5

5,5

b d

3,2 3,3

c e

5,4

1,1

6,3 6,6 6,3

5,5

+ Bước lặp 3: Không còn đường tăng luồng, Val(fmax) = 5+4 = 9

Hình 2. Mạng G với luồng cực đại và lát cắt hẹp nhất

Lặp Đỉnh

xét b c d e t Đường

tăng luồng Giá trị tăng luồng δ

1 s s+,1 S+,3

b b+,1 b+,1

d d+,1 sbd t 1

2 s S+,3

c c+,2

d d-,2

b b+,2

e e+,2 scdbet 2

3 s S+,1

Bảng kết quả của thuật toán Ford-Fullkerson

Thí dụ 2. Áp dụng thuật toán Ford-Fullkerson tìm luồng cực đại bằng cách gán nhãn cho luồng zero sau:

3,0 3,1

c(s+,3) e(b+,2)

t(e+,2) d(c+,2)

b(d-,2)

5,2

1,1

6,1 6,6 6,5

5,5

s (-,∞)

b d

3,2 3,3

c e

5,4

1,1

6,3 6,6 6,3

5,5

7,0

4,0

3,0 12,0 4,0 5,0

7,0 5,0

4,0 6,0

c t

+ Bước lặp 1: s → a → b → t, δ1 = 1

+ Bước lặp 2: s → a → b → c → e → t, δ2 = 2

c(s+,4)

7,0

4,0

3,0 12,0 4,0 5,0

9,0 5,0

7,0

4,0 6,0

d(s+,7) e(d+,4)

t(e+,2) b(a+,6)

s (s,∞)

a(s+,6)

7,4

4,4

3,0 12,0 5,0 4,0

9,0 7,0 5,0

4,0 6,4

d e

t b

c(b+,2)

7,4

4,4

3,0 12,0 5,0 4,0

9,0 7,0 5,0

4,0 6,4

d(s+,7) e(c+,2)

t(e+,2) b(a+,2)

s (s,∞)

a(s+,2)

7,6

4,4

3,2 12,2 4,2 5,0

9,0 7,0 5,0

4,0 6,6

d e

t b

c(s+,4)

7,6

4,4

3,2 12,2 5,0 4,2

9,0 7,0 5,0

4,0 6,6

d(s+,7) e(c+,1)

t(e+,1) b(a+,1)

s (s,∞)

a(s+,0)

+ Bước lặp 3: s → c → e → t, δ3 = 1

+ Bước lặp 4: s → d → e → t, δ4 = 7

+ Bước lặp 5: s → c → d → e → t, δ5 = 2

7,6

4,4

3,3 12,3 5,0 4,2

9,0 7,0 5,0

4,1 6,6

d e

t b

c(s+,3)

7,6

4,4

3,3 12,3 5,0 4,2

9,0 7,0 5,0

4,1 6,6

d(s+,7) e(d+,7)

t(e+,7) b(a+,1)

s (s,∞)

a(s+,0)

7,6

4,4

12,10 3,3

5,0 4,2

9,7 7,7 5,0

4,1 6,6

d e

t b

c(s+,3)

7,6

4,4

12,10 3,3

5,0 4,2

9,7 7,7 5,0

4,1 6,6

d(c+,3) e(d+,2)

t(e+,2) b(a+,1)

s (s,∞)

a(s+,0)

7,6

4,4

12,12 3,3

5,0 4,2

9,9 7,7 5,2

4,3 6,6

d e

t b

VT ≠ ∅

P[v]:= u; ε[v]:=min{ε[u],C[u,v]-F[u,v]}

VT:= VT ∪ {v}

P[v]:= -u; ε[v]:= min{ε[u],F[v,u]}

+ Bước lặp 6: Không còn đường tăng luồng nữa, Val(fmax) = 6+3+7 = 16.

Sơ đồ thuật toán Ford-Fullkerson tổng quát

VT ≠ ∅

P[v]:= u; ε[v]:=min{ε[u],C[u,v]-F[u,v]}

VT:= VT ∪ {v}

P[v]:= -u; ε[v]:= min{ε[u],F[v,u]}

VT:= VT ∪ {v}

Sơ thuật toán Find_Path (Chi tiết) { Trả về TRUE nếu có đường tăng luồng }

False True

False

True Begin

Mạng với luồng zero

Stop:= False

not Stop Find_Path Path-Found

Tăng luồng

Stop:= False Mạng với luồng

cực đại

End False

False

True

False

True False True C[u,v] >0 and (F[u,v]<C[u,v])

True Begin

VT ≠ ∅

u ⇐ VT; PathFound:= True

v= t

P[v]:= u; ε[v]:=min{ε[u],C[u,v]-F[u,v]}

VT:= VT ∪ {v}

P[t]:= s ; ε[t]:= +∞

VT = V\{s}

For v∈V\VT

C[v,u]>0 and F[v,u]>0

P[v]:= -u; ε[v]:= min{ε[u],F[v,u]}

VT:= VT ∪ {v}

End

v:= -v

f[v,u]:=f[v,u] - tang

False

End

PathFound:= False

True

v= t End

Sơ đồ thuật toán tăng luồng (Inc_Flow) { Tăng luồng nếu có đường tăng }

False False

True

True Begin

f[v,u]:=f[v,u] + tang

End u ≠ s

v > 0 v:= -v

f[v,u]:=f[v,u] - tang

v:= P[t] ; u:= t ; tang:= ε[t]

Hai thủ tục Tìm đường tăng luồng và Tăng luồng có thể mô tả bởi chương trình như sau.

Procedure Find_Path;

(* thủ tục gán nhãn tìm đường tăng luồng p[v], ε[v] là nhãn của đỉnh v;

VT – danh sách các đỉnh nhưng chưa xét;

c[u,v]- khả năng thông qua của cung (u,v),u,v ∈ V;

f[u,v]- luồng trên cung (u,v),(u,v ∈ V ) *) begin

p[s]:=s;

ε[s]:= +∞;

VT= V\{s};

PathFound:=true;

While VT≠ ∅ do Begin

u<= VT; (* Lấy u từ VT *) for v ∈ V\VT do

begin

if (c[u,v]>0) and (f[u,v]< c[u,v]) then begin

p[v]:= u;

ε[v]:= min { ε[u],c[u,v] – f[u,v]};

VT = VT ∪ {v}; (* Nạp v vào danh sách đỉnh có nhãn *) If v=t then exit;

end;

if (c[v,u]>0) and (f[v,u]>0) then begin

p[v]:= -u;

ε[v]:= min {ε[u],f[v,u]};

VT = VT ∪ {v}; (* Nạp v vào danh sách đỉnh có nhãn *) If v=t then exit;

end;

PathFound:= false;

end;

procedure Inc_Flow;

(* Tăng luồng theo đường tăng *) begin

v:=p[t]; u:=t; tang:= ε[t];

while u ≠s do begin

if v>0 then f[v,u]:= f[v,u] + tang;

else begin

v:= -v;

f[u,v]:= f[u,v] – tang;

end;

u:= v; v:= p[u];

end;

Thuật toán Ford- Fulkerson được thực hiện nhờ thủ tục:

Procedure Max_Flow;

(* Thuật toán Ford- Fulkerson *) begin

(* Khởi tạo: Bắt đầu từ luồng với giá trị 0 *) for u ∈ V do

for v ∈ V do f[u,v]:=0;

Stop:=false;

While not Stop do begin

Find_Path;

If PathFound then Inc_Flow Else Stop:=true;

end;

< Luồng cực đại trong mạng là f[u,v],u,v ∈ V >

< Lát cắt hẹp nhất là (VT, V\VT) >

end;

Giả sử khả năng thông qua của tất cả các cung của đồ thị là các số nguyên. Khi đó sau mỗi lần tăng luồng, giá trị luồng sẽ tăng lên ít nhất là 1. Từ đó suy ra thuật toán Ford- Fulkerson sẽ dừng không quá val(f*) lần tăng luồng và cho ta luồng cực đại trong mạng. Đồng thời, rõ ràng f*(u,v) sẽ là số nguyên đối với mỗi cung (u,v)∈ E. Từ đó ta có kết quả sau:

Định lý 2 (Định lý về luồng cực đại trong mạng và lát cắt hẹp nhất). Luồng cực đại trong mạng bằng khả năng thông qua của lát cắt hẹp nhất.

Định lý 3. (Định lý về tính nguyên). Nếu tất cả các khả năng thông qua là các số nguyên thì luôn tìm được luồng cực đại với luồng trên các cung là các số nguyên.

Tuy nhiên, nếu các khả năng thông qua là các số rất lớn thì giá trị luồng cực đại cũng có thể là rất lớn và khi đó thuật toán mô tả ở trên sẽ đòi hỏi rất nhiều bước tăng luồng. Thí dụ trong hình 2 sẽ minh hoạ cho điều này. Hình 2(a) mô tả mạng cần xét với khả năng thông qua trên các cung. Hình 2(b) mô tả luồng trên các cung (số thứ hai bên cạnh cung ) sau khi thực hiện tăng luồng dọc theo đường tăng luồng (s,a,b,t). Hình 2(c) mô tả luồng trên các cung sau khi thực hiện tăng luồng dọc theo đường tăng luồng (s,b,a,t). Rõ ràng, sau 2.106 lần tăng luồng theo đường (s,b,a,t) và (s,b,a,t) một cách luân phiên ta thu được luồng cực đại.

106 106

1 b

(a)

106,0 106,1

106,1 106,0

1,1 b

(b)

106,1 106,1

106,1

1,0 b

(c)

Hình 2. Ví dụ tồi tệ với thuật toán Ford- Fulkerson.

Hơn thế nữa nếu các khả năng thông qua là các số vô tỷ, người ta còn xây dựng được ví dụ để cho thuật toán không dừng, và tệ hơn là dãy các giá trị luồng xây dựng theo thuật toán hội tụ thì nó còn không hội tụ đến giá trị luồng cực đại. Như vậy, muốn thuật toán làm việc hiệu quả, việc lựa chọn đường tăng luồng cần được tiến hành hết sức cẩn thận.

Edmonds và Karp chỉ ra rằng nếu đường tăng luồng được chọn là đường ngắn nhất từ s đến t trên đồ thị Gf . Điều đó có thể thực hiện, nếu trong thủ tục tìm đường tăng Find_Path mô tả ở trên, danh sách VT được tổ chức dưới dạng QUEUE ( nghĩa là ta thực hiện tìm đường tăng bởi thủ tục tìm kiếm theo chiều rộng) thì thuật toán sẽ kết thúc sau không quá mn/2 lần sử dụng đường tăng luồng. Nếu để ý rằng, tìm kiếm theo chiều rộng trên đồ thị đòi hỏi thời gian O(n+m), thì thuật toán thu được sẽ có độ phức tạp tính toán là O(nm2).

Nhờ cách tổ chức tìm đường tăng khéo léo hơn, người ta đã xây dựng được thuật toán với độ phức tạp tính toán tốt hơn như: O(n2m) (Dinic, 1970), O(n3) (Karzanov, 1974), O(n2m1/2) ( Cherkasky, 1977), O(nm log n) (Sleator- Tarjan,1980).

II. BÀI TOÁN LUỒNG CỰC ĐẠI VỚI KHẢ NĂNG THÔNG QUA CÁC CUNG – CÁC ĐỈNH

1.Bài toán

Giả xử trong đồ thị G = (V,E), ngoài khả năng thông qua của các cung c(u,v), ở mỗi đỉnh v ∈ V còn có khả năng thông qua của đỉnh là d(v), và đòi hỏi tổng luồng đi vào đỉnh v không còn vượt quá d(v), tức là

∑∈ ≤

V w

v d v w

f ( , ) ( ) Cần phải tìm luồng cực đại giữa s và t trong mạng như vậy.

Xây dựng một mạng G’ sao cho: mỗi đỉnh v của G tương ứng với hai đỉnh v+, v- trong G’, mỗi cung (u,v) trong G ứng với cung (u,v+) trong G’, mỗi cung (v,w) trong G ứng với cung (v-,w+) trong G’. Ngoài ra, mỗi cung (v+,v-) trong G’ có khả năng thông qua là d(v), tức là bằng khả năng thông qua của đỉnh v trong G.