Chương 2: Phương pháp phần tử hữu hạn
2.5. Xấp xỉ trên phần tử tham chiếu
2.5.3. Về phép biến đổi hình hoc giữa phần tử tham chiếu và phần tử thực
Phép biến đổi hình học giữa phần tử tham chiếu và phần tử thực mà ta sẽ sử dụng là: một phép biến đổi tuyến tính, phụ thuộc các tọa độ hình học ( ) của các điểm nút của phần tử thực Ve :
: → = ( ) (2.12) Ta nhận thấy các công thức (2.5) có thể xem như là một xấp xỉ qua nút bởi các miền con của các hàm , , . Vì thế các hàm cũng thỏa mãn 3 yêu cầu của một phép biến đổi hình học đã nói ở trên.
Như vậy ta có thể xây dựng các hàm ( ) của phép biến đổi hình học theo cùng một cách thức như xây dựng các hàm nội suy ( ).
2.5.3.1. Biểu diễn hàm xấp xỉ ( ) và ( )
Nếu ta chọn trên miền xác định , n điểm nội suy có tọa độ , (các điểm này có thể hoặc trùng hoặc không trùng với các điểm nút hình học). Trên mỗi phần tử ta sử dụng xấp xỉ nút dạng (2.12) cho hàm chính xác
( ):
Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán 30
( ) ≈ ( ) = ( ( ) ( ) … ( )) ⋮
= ( ) ( ) (2.13) trong đó: thuộc .
, , …, là các giá trị của tại điểm nội suy của phần tử . ( ) là hàm (ma trận hàm) nội suy trên phần tử thực.
Thay xấp xỉ trên phần tử thực bằng xấp xỉ tương ứng trên phần tử tham chiếu :
( ) ≈ = ( ) (2.14) là điểm thuộc phần tử tham chiếu , biến thành qua phép biến đổi (2.12):
: → = ( ) (2.15) trong đó: ( ) là các biến nút của phần tử (như phần tử thực)
( ) là các hàm (ma trận hàm) nội suy trên phần tử tham chiếu.
Nhận xét:
Trường hợp tổng quát ( ) chỉ được xử dụng cho những phần tử đơn giản. Các trường hợp phần tử phức tạp thường được thay thế bằng
trong đó và liên hệ qua phép biến đổi hình học (2.12).
Trong biểu thức (3.11), hàm ( ) phụ thuộc vào tọa độ của các điểm nút của phần tử, và như vậy là khác nhau với mỗi phần tử. Ngược lại, trong biểu thức (2.14), hàm ( ) là độc lập với dạng hình học của phần tử thực . Do vậy các hàm này có thể sử dụng cho mọi phần tử, khi chúng có cùng phần tử tham chiếu, xác định qua các đặc trưng sau:
1. Hình dạng 2. Số nút hình học 3. Số nút nội suy.
Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán 31
2.5.3.2. Các tính chất của hàm xấp xỉ ( ) , ( ) i. Xấp xỉ trên phần tử tham chiếu
= = = … ⋮ (2.16)
trong đó: = 0 ℎ ≠ 1 ℎ = ii. Tính liên tục trên phần tử
Nếu ta muốn nhận được một hàm xấp xỉ ( ) cùng với các đạo hàm đến cấp của nó cũng liên tục trên phần tử, thì ta phải xử dụng các hàm ( ) cùng với các đạo hàm của nó, đến cấp , cũng phải liên tục trên phần tử.
iii. Tính liên tục giữa các phần tử
Nếu ta muốn hàm xấp xỉ ( ) và các đạo hàm đến cấp của nó liên tục trên một biên giữa hai phần tử, thì ( ) và các đạo hàm đến cấp của nó chỉ phụ thuộc vào các biến nút của các nút trên biên này.
Ta hãy thử xem một hàm ( ) liên tục trên một biên (liên tục ):
( ) = ( ( ) ( ) … ( )) ⋮
Các thành phần tích ( ) sẽ phải bằng không nếu không phải là một biến nút trên biên này. Như vậy: ( ) = 0 (2.17) mỗi khi nằm trên biên và không phải là một biến nút của biên này.
Tương tự với phần tử tham chiếu : = 0
mỗi khi nằm trên biên và không phải là một biến nút của biên này.
Bằng lí luận tương tự, điều kiện để ( ) liên tục trên biên được viết:
Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán 32
( )= ( ) ( )
… ( )
⋮ trong đó:
( )= 0 (2.18)
mỗi khi nằm trên biên và không phải là một biến nút của biên này.
Điều kiện liên tục của đạo hàm này được viết cho phần tử tham chiếu, chẳng hạn trong trường hợp hai chiều là:
( ) + ( )
= 0
mỗi khi nằm trên biên và không phải là một biến nút của biên này.
Khái niệm liên tục trên biên giữa các phần tử là một khái niệm mấu chốt của phương pháp phần tử hữu hạn, nằm trong khái niệm phần tử tương thích hay không tương thích (conforme, non-conforme).
iv. Các hàm nội suy đa thức đầy đủ
Chúng ta có thể làm giảm sai số xấp xỉ [ ( ) = ( ) − ( )] bằng cách tăng số phần tử chia, hoặc giảm kích thước của các phần tử chia. Tùy thuộc vào bài toán được nghiên cứu, nhiều khi ta cần phải làm giảm sai số ( − ) và thậm chí phải giảm cả các sai số, giữa các đạo hàm của chúng.
Trên mỗi phần tử. để cho sai số ( − ) tiến đến không khi kích thước của phần tử tiến đến không, điều kiện cần có là: biểu thức của trong (2.6) phải chứa một hằng số khác không, xấp xỉ ( ) như vậy mới có thể biểu diễn chính xác hàm = trên phần tử (khi kích thước tiến đến không).
Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán 33
Để sai số − tiến đến không khi kích thước của phần tử tiến đến không, điều ta thấy cần có thêm nữa là biểu thức của ( ) trong (2.13) phải chứa một số hạng có . Như thế xấp xỉ mới có thể biểu diễn chính xác hàm = trên phần tử (khi kích thước tiến đến không).
Bằng các lý luận tương tự, tổng quát, để cho sai số của và sai số của tất cả các đạo hàm đến cấp của nó tiến đến không khi kích thước của phần tử tiến đến không, thì trong biểu thức của cần phải chứa một đa thức đủ đến cấp . Nếu thêm vào và các đạo hàm đến cấp − 1 liên tục trên biên của các phần tử, thì các sai số trên sẽ tiến đến không tại mọi điểm của miền xác định , kể cả trên các biên.
Nếu các điều kiện về liên tục không được thỏa mãn, điều cần thiết phải kiểm tra là: các sự mất liên tục này không cản trở đến việc các sai số phải tiến đến không. Trong mục sau ở chương này ta sẽ xem xét một số kỹ thuật đánh giá sai số.
Khi phép biến đổi hình học là tuyến tính, theo định lý 2.1, các kết luận thu được cho xấp xỉ ( ) trên phần tử thực được suy trực tiếp cho xấp xỉ ( ) trên phần tử tham chiếu: Biểu thức của ( ) cũng phải chứa một đa thức đầy đủ cấp theo , và . Trong trường hợp phép biến đổi không tuyến tính, điều kiện của đa thức đủ theo , , được chuyển qua điều kiện đa thức đủ theo , và , trong trường hợp ≡ và ≤ 1.
Định nghĩa :
Một phần tử được gọi là isoparametric nếu các hàm số ( ) trong phép biến đổi hình học là đồng nhất với các hàm số xấp xỉ ( ).
Điều này có nghĩa là các nút hình học là trùng với các nút nội suy.
Một phần tử là pseudo-isoparametric nếu các hàm ( ) và ( ) là
Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán 34
các đa thức khác nhau của cùng các đơn thức.
Nếu cấp của các đa thức ( ) là bé hơn cấp của các đa thức ( ), phần tử được gọi là sub-parametric, trong trường hợp ngược lại gọi là super-parametric. (Loại super-parametric không nên sử dụng vì nó không thể đáp ứng tính chất iv. đã nói ở trên) .
Số lượng các biến nút ứng với tập hợp các nút nội suy của phần tử được gọi là bậc tự do của phần tử, ta sẽ ký hiệu là .