Khối lớp 5, tôi nhận thấy rằng : Trong chương trình dạy - học môn Toán lớp 5, dạng Toán chuyển động là một dạng Toán điển hình bởi vì: Có nhiều bài toán dạng chuyển động thường chỉ là hình thức còn nội dung bài toán đó đã chứa đựng cả những loại toán khác như : + Tìm hai số khi biết tổng và hiệu số + Tìm hai số khi biết tổng và tỷ số + Tìm hai số khi biết hiệu và tỷ số như tỷ lệ thuận - tỷ lệ nghịch. với những phương pháp giải phong phú như: giả thiết tạm, suy luận. đòi hỏi học sinh phải biết tư duy trừu tượng để phân tích bài toán chuyển động thì mới nhận dạng được đặc điểm toán học và tìm ra được phương pháp giải tương ứng. Vì vậy các bài toán chuyển động có tác dụng tốt trong việc rèn luyện năng lực tư duy và kỹ năng giải toán cho học sinh. Qua các bước phân tích bài toán và qua hệ thống các bài tập được chọn lọc sẽ giúp các em học sinh tập luyện nhận biết các dạng toán cụ thể được ẩn dưới dạng toán chuyển động để từ đó các em xác định được cách giải thích hợp. Tuy mới chỉ là những kết quả nhỏ bé ban đầu song tôi cũng xin trình bày một số việc đã làm để "Rèn năng lực tư duy và kỹ năng giải toán cho học sinh lớp 5 qua các bài toán chuyển động", rất mong được các bạn đồng nghiệp quan tâm cùng trao đổi. NỘI DUNG Nội dung trình bày của tôi gồm 3 phần Phần 1: Toán chuyển động cùng chiều. Phần 2: Toán chuyển động ngược chiều.
Trang 1ĐẶT VẤN ĐỀ
Sau 15 năm công tác, qua thực tế giảng dạy ở bậc tiểu học - đặc biệt
là khối lớp 5, tôi nhận thấy rằng :
Trong chương trình dạy - học môn Toán lớp 5, dạng Toán chuyển
động là một dạng Toán điển hình bởi vì: Có nhiều bài toán dạng chuyển
động thường chỉ là hình thức còn nội dung bài toán đó đã chứa đựng cả những loại toán khác như :
+ Tìm hai số khi biết tổng và hiệu số
+ Tìm hai số khi biết tổng và tỷ số
+ Tìm hai số khi biết hiệu và tỷ số như tỷ lệ thuận - ty lệ nghịch với những phương pháp giải phong phú như: giả thiết tạm, suy luận đòi
hỏi học sinh phải biết tư duy trừu tượng để phân tích bài toán chuyển động
thì mới nhận dạng được đặc điểm toán học và tìm ra được phương pháp giải
tương ứng Vì vậy các bài toán chuyển động có tác dụng tốt trong việc rèn luyện năng lực tư duy và kỹ năng giải toán cho học sinh
Qua các bước phân tích bài toán và qua hệ thống các bài tập được
chọn lọc sẽ giúp các em học sinh tập luyện nhận biết các dạng toán cụ thể
được ẩn dưới dạng toán chuyển động để từ đó các em xác định được cách
giải thích hợp Tuy mới chỉ là những kết quả nhỏ bé ban đầu song tôi cũng xin trình bày một số việc đã làm để "Rèn năng lực tư duy và kỹ năng giải toán cho học sinh lớp 5 qua các bài toán chuyển động", rất mong được các bạn đồng nghiệp quan tâm cùng trao đổi
NỘI DUNG Nội dung trình bày của tôi gồm 3 phần
Phần 1: Toán chuyển động cùng chiều
Phần 2: Toán chuyền động ngược chiều
Trang 2Phân 3: Toán chuyển động dựa vào vận tốc trung bình
Các kiến thức cơ bản cần nhớ
1 Quãng đường S= V x t
Thời gian t =§ : V
2 Hai động tử chuyển động ngược chiều với vận tốc v,, v; trên một quãng đường và khởi hành cùng một lúc, để gặp nhau thì:
a Thời gian để gặp nhau : t=S:(v,+ v5)
3 Hai động tử chuyển động cùng chiều với vận tốc Vị, V¿ (Vạ > Vị) trên một quãng đường khởi hành cùng một lúc, để đuổi kịp nhau thì:
a Thời gian: t=S§:(V;- Vị)
b Quang đường: S = (Vv, - v,)t
c Hiệu vận tốc: V› - Vị=Š:f
4 Vận tốc không đổi thì quãng đường tỷ lệ thuận với thời gian
5 Thời gian không đổi quãng đường tỷ lệ thuận với vận tốc
6 Quãng đường không đổi vận tốc tỷ lệ nghịch với thời gian
MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HOA
Phần 1
TOÁN CHUYỂN ĐỘNG CÙNG CHIẾU
Công thức thường gặp trong toán chuyển động cùng chiều là: t= `
Vị —V¿ Trong đó t là thời gian để hai động tử gặp nhau, s là khoảng cách lúc đầu giữa hai động tử và vị, Vạ là các vận tốc của chúng
Trang 3* Ta đi xét các bài toán sau
Bài toán 1: Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 km/h Sau đó 1 giờ 30' người thứ hai cũng rời A đi về B với vận tốc 20 km/ giờ và đến B trước người thứ nhất là 30 phút Tính quãng đường AB
* GV hướng dẫn học sinh theo cách giải sau:
Cách 1: Giả sử người thứ hai đi với thời gian như người thứ nhất thì người thứ hai đi quãng đường nhiều hơn người thứ nhất là:
20 x 2=40 (km)
Vận tốc của người thứ hai hơn vận tốc của người thứ nhất là:
20 - 15 = 5 ( km/ giờ)
Thời gian người thứ nhất đi quãng đường AB:
40: 5=8( gid)
Vậy quãng đường AB dài:
15 x 8= 120 (km)
Cách 2: Cứ mỗi km, người thứ nhất đi hết = gid
Người thứ hai đi hết = giờ Cứ mỗi km người thứ hai di ft hon người thứ nhất:
— - ~~ =— 1s 2060 &” (gid)
Quãng đường AB dài là :
1 2:— =120 S0 (km) (km)
Cách 3: Cùng một quãng đường AB thì vận tốc tỷ lệ nghịch với thời
R „ vị 15 3
gian, nên ta cÓ: ——=——=—
Trang 4Mat, - t, = 2( gid )
Từ đó ta có t, =8( gid)
t, = 6( gid)
Vậy quang dudng AB dai 1a:
15 x 8=120 (km)
Đáp số : 120 km Bìa toán 2: Một ôtô di từ A đến B với vận tốc 40km/h
Lát sau một ôtô thứ hai cũng đi từ A đến B với vận tốc 52 km/h để gặp ôtô thứ nhất tại B Sau khi đi được 2 giờ xe thứ nhất bị hỏng phải chữa mất 30 phút và sau đó nó đi tiếp đoạn đường còn lại với vận tốc 48km/h Vì thế 2 xe gặp nhau khi còn cách B là 26km Tính quãng đường AB
GV Hướng dẫn:
Trong bài toán này, đến lúc thay đổi vận tốc ta không biết xe 1 đã đi được bao nhiêu phần quãng đường, nhưng lại biết xe lổi được:
40 x 2= 80 km
Ta biểu diễn sơ đồ sau:
năm” ÓC | | Me | ip
A noi C, déi chỗ gặp vận tốc nhau Sau khi gặp nhau xong xe 2 con di: 26 : 52 = ; ( gid ) nữa thì mới đến B
Trang 5Trong ei ấy xe 1 di duoc ; x 48 = 24 (km)
Vậy nếu không nghỉ khi xe 2 đến B Xe 1 đã đổi vận tốc và đi được quá B là: 24 -(26 - 24) = 22 (km)
Tính từ C ( chỗ xe 1 đổi vận tốc ).Cùng một thời gian nếu xe 1
không đổi vận tốc thì xe một sẽ đi được quãng đường CB, còn nếu đổi vận
tốc thì đi quá B là 22km
Nếu đổi vận tốc thì 1 giờ xe 1 đi hơn :
48 - 40 = 8 km
Để đi hơn 22km khi xe 1 đã đổi vận tốc thì phải đi trong thời gian
Vậy nếu xe 1 không đổi vận tốc thì đi CB mất = gid
Vậy quãng đường AB dài:
2x40+ 2 x48 =80+ 11 x 12 = 212(km)
Đáp số: 212 km
* Một dạng chuyển động cùng chiều thường gặp và cũng rất gây hứng thú cho học sinh đó là chuyển động của hai kim đồng hồ Trong loại toán này nếu ta chọn mặt đồng hồ là 1 vòng thì vận tốc của kim phút là 1 vòng/g1ờ Vận tốc của kim giờ là 12 vòng / giờ Ta chia mặt đồng hồ thành
60 vạch chia phút thì vận tốc của kim phút là 60 vạch / giờ Vận tốc của kim gid 5 vạch / giờ
Bài toán 4: Đồng hồ chỉ 12 giờ đúng Hãy tìm khoảng thời gian ngắn nhất để kim giờ và kim phút lại trùng nhau
* Trước hết GV vẽ mặt đồng hồ lên bảng để biểu thị đường đi của
kim phút và kim giờ ( Yêu cầu học sinh cùng vẽ )
Trang 6Hướng dẫn giải:
Trước hết ta tính vận tốc kim giờ và vận tốc kim phút theo đơnvị vòng / phút
Kim phút quay một vòng hết 60 phút nênvận tốc kim phút là
1 1:60 = — (vòng / phút) 60 | ø / phút) Kim giờ quay một vòng hết 12 giờ = 12 x 60 phút nên vận tốc kim
Trong một phút , kim phút đi hơn kim giờ là :
60720720 \ vòng }
Quãng đường kim phút ởi tính từ lúc 12
giờ sẽ bằng : l1 vòng + quãng đường
kim gi di
Nên tính từ lúc 12 giờ đến khi 2 kim
trùng nhau lần đầu tiên , quãng đường
kim phút đi hơn kim giờ là: 1 vòng
Để đi hơn Ivòng kim phút phải đi trong :
“700 11 ( phút )
Đây là khoảng thời gian ngắn nhất để 2 kim trùng nhau lân đầu tiên kể từ
12 giờ
Bài toán : 5
Đồng hồ đang chỉ 4 giờ 10 phút Sau ít nhất bao lâu thì hai kim
đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đường thẳng
* GV nên vẽ mặt đồng hồ lên bảng để biểu thị đường đi của kim phút và
kim giờ ( Yêu cầu học sinh cùng vẽ )
Trang 7Hướng dẫn Giải:
Ta xét thời điểm 4 giờ Lúc đó kim phút còn cách kim gid 7 vong Muốn kim phút nằm đối diện với kim giờ thì trong cùng một thời gian kim phút phải quay nhiều hơn kim giờ là:
1 1 5
Mỗi giờ kim phút quay được một vòng, kim giờ quay được 12 vòng Kim phút quay nhanh hơn kim giờ là:
1 11
1—-_ =— (von
12 12 (vong)
Thời gian để kim phút và kim giờ nằm đối diện trên một đường thẳng là:
5 11 10
—:— =— 61211 (giờ) (gid) = 54 phtt 33 gia p giây
Sau lúc 4 giờ là 54 phút 33 giây thì 2 kim đồng hồ cùng nằm trên 1
đường thẳng
Vậy sau lúc 4 giờ 10 phút là 44 phút 33 giây thì 2 kim đồng hồ
cùng nằm trên một đường thẳng
Tương tự bài toán này học sinh sẽ làm bài tập khác
Ví dụ :
Đồng hồ chỉ một giờ chiều Tìm thời gian ngắn nhất để kim giờ và
kim phút lại trùng nhau
Trang 8Hoặc: Đồng hồ chỉ 12 giờ Tìm thời gian ngắn nhất để kim giờ va
kim phút vuông góc với nhau
Bài toán 4: Buổi chiều Liên ngồi làm bài tập lúc hơn 3 giờ 20' một chút Khi làm xong bài văn Liên thấy cũng là lúc 2 kim đồng hồ đổi chỗ cho nhau
Hỏi Liên làm bài hết bao nhiêu phút
GV Phán tích:
Khi 2 kim đồng hồ đổi chỗ cho nhau thì kim phút đã đi được quãng
đường từ vị trí trên số 4 một chút đến vị trí kim giờ lúc bắt đầu làm bài là
trên số 3 một chút
Chú ý rằng: Đoạn đường kim phút đi rất khó xác định chính xác
theo khoảng nhỏ trên mặt đồng hồ Còn kim giờ di chuyển từ vị trí ban đầu (hơn 3 giờ 20' một chút) đến vị trí kim phút Như vậy tầng quãng đường đi của 2 kim đồng hồ vừa tròn một vòng đồng hồ nghĩa là bằng 60 khoảng nhỏ
mà mỗi khoảng bao gồm đoạn đường bằng đoạn đường từ số này trên mặt đồng hồ đến số liền sau nó
Trong một giờ kim phút đi được một vòng đồng hồ nên vận tốc của kim phút là 60 khoảng nhỏ Còn kim giờ đi được từ số này đến số liền sau nên vận tốc của kim giờ là 5 khoảng nhỏ
Như vậy số vận tốc giữa kim phút và kim giờ là : 60 : 5 = 12 (lần) Bài toán được đưa về bài toán: " Tìm hai số khi biết tổng và tỷ số của chúng "
Lời giải:
Sau khi phân tích như trên ta có sơ đồ đoạn đường di của hai kim đồng hồ như sau :
nho Kim phút _—+———+L———+—t—:—+—+—+—t—
Trang 960 khoảng nhỏ được chia làm:
1 + 12 = 13 (phan)
Quãng đường kim phút đi:
60: 13x 12= 55° (đoạn thẳng nhỏ)
Mà kim phút di chuyển một khoảng nhỏ đúng hết một phút
Vậy kim phút đã di chuyển chỗ trong 55° phút tức là Liên làm bài
x 5S và
hét 55— phit
13
Đáp số : 55 pso 13 pout hut
Bài toán 5 : Hiện nay là 6 giờ đúng Hỏi đến thời điểm nào thì hai
kim đồng hồ chập khít lên nhau:
Phản tích: Lúc 6 giờ 2 kim đồng hồ cách nhau một khoảng đúng
bang 2 vòng mặt đồng hồ nên cách nhau 60 : 2 = 30 khoảng nhỏ
Khi kim phút đuổi kịp kim giờ thì hai kim đồng hồ chập khít lên nhau Đến lúc đó kim phút đã đi nhanh hơn kim giờ một đoạn đường đúng bằng khoảng cách giữa hai kim đồng hồ lúc 6 giờ đúng Nghĩa là 30 khoảng nhỏ
Mà theo bài toán 4 tỷ số vận tốc giữa hai kim đồng hồ là 12 lần Như vậy ta đưa bài toán về bài toán: "Tìm hai số khi biết hiệu số và
tỷ số của chúng"
Ta có sơ đồ đường đi của hai kim đồng hồ như sau:
Kim phút —+—+—+—+—+——————
30 khoảng nhỏ được chia làm: 12 - I = 11 (phần) từ lúc 6 giờ đến lúc hai kim đồng hồ chập khít lên nhau kim phút đã di chuyển được đoạn đường
Trang 1030x12
11
Kim phút di chuyển mỗi phút được một khoảng nhỏ nên sau lúc
6 giờ là 320 phút thì hai kim đồng hồ chập khít lên nhau và thời điểm đó
là : 6giờ 320, phút
Phần 2
CHUYEN DONG NGUGOC CHIEU
Bài toán 1: Một người đi từ A về B Người đó khởi hành lúc 4 giờ
24 phút Vào lúc 6 giờ 36 phút một người khác đi từ B về A Vận tốc người
đi từ B lớn hơn vận tốc người đi từ A là 1 km / giờ Hai người gặp nhau lúc
11 giờ Tính vận tốc của mỗi người Biết rằng quãng đường AB dài
158,4km
G V Phân tích
1 Tìm xem mỗi người đi bao nhiêu thời gian
2 Tính xem trong khoảng thời gian đó người đi từ B nhanh hơn người đi từ A bao nhiêu km
3 Thay thế thời gian người đi từ B bằng người đi từ A đi một mình
và quãng đường người đó đi được sẽ bằng quãng đường AB trừ đi quãng đường người đi từ B nhiều hơn người đi từ A
Hướng dẫn Giải:
Thời gian người đi từ A là: 11 giờ - 4 giờ 24 phút = 6 giờ 36 phút Thời gian người đi từ B là:
11 giờ - 6 giờ 36' = 4 giờ 24' = 264 phút
Trong 4 giờ 24 phút người đi từ B nhanh hơn người đi từ A là:
10
Trang 11A x264 =4,4(km)
60
Nếu người di tir A đi nốt quãng đường người di tir B di trong 4 giờ
24 phút thì sau 4 giờ 24 phút người đó còn cách B là 4,4km Khi đó người
đi từ A sẽ đi được quãng đường là:
158,4 - 4,4 = 154km
Vậy tổng thời gian người đi từ A nếu đi một mình là:
6 giờ 36 phút + 4 giờ 24 phút = 11 giờ
Vậy vận tốc người đi từ A là:
154: 11 = 14 (km/h) Vận tốc người đi từ B là:
14+1=15 (km/h) Chú ý: Cũng có thể giả sử cho người đi từ B một mình và đi thêm một số thời gian bằng thời gian người đi từ A đã đi, khi đó thời gian người
đi từ B đi vẫn là 11 giờ nhưng người đó đã đi quá A một đoạn đường là:
396x4,4
=( 6,6 km)
264 (
Từ đó tính được vận tốc của mỗi người
Bài toán 2: Một ôtô đi hết quãng đường AB trong 10 giờ Một ôtô khác đi hết quãng đường BA trong 12 giờ 30 phút Sau khi ôtô thứ nhất khởi hành từ A một thời gian thì xe thứ hai mới khởi hành từ B Khi 2 xe gặp nhau thì tổng thời gian đi của 2 xe là 11 giờ Hỏi xe đi từ B khởi hành sau xe di tit A bao lau
GV hướng dẫn giải: Xe đi từ A đến hết quãng đường AB trong
10 giờ thì mỗi giờ ôtô đó đi được 1 : 10 = 10 quãng đường AB
11
Trang 12Xe ôtô đi từ B đi hết quãng đường AB trong 12 giờ 30 phút thì mỗi giờ ôtô
đó đi được là 1: 12,5 = 2: 25 = = quãng đường AB
Giả sử xe thứ nhất đi cả 11 giờ thì sẽ đi được quãng đường là:
—xl1=— 10 10 (quãng (quang duong AB đường AB)
Như vậy xe đó đã đi quá B quãng đường là:
11 10 1
— —-—— =— (quãng đường AB
10 10 10 (quang g AB) Trong 1 giờ, xe đi từ A di nhanh hơn xe ởi từ B là :
1 2 1
— ——~ = —— (quang duéng AB
10 25 50 (quang 8 AB)
1 1
Từ đó ta có thời gian xe đi từ Blà: —:—-= 5 (gid)
10 50 Thời gian xe đi từ Alà: 11-5 =6 (gid)
Vậy xe đi từ B khởi hành sau xe đi từ A là 1 giờ
Đáp số : 1 giờ Bài toán 3: Hai địa điểm A va B cách nhau 100 km Hai người đi xe
đạp ngược chiều nhau Họ khởi hành cùng một lúc và dự định sau 5 giờ sẽ
gặp nhau Nhưng sau khi đi được 1 giờ 40 phút thì người đi từ B phải dừng lại sửa xe mất 40 phút rồi mới tiếp tục đi và phải sau 5 giờ 22 phút kể từ lúc
khởi hành họ mới gặp nhau Tính vận tốc mỗi người?
GV hướng dẫn giải:
Ta phân tích bài toán bằng sơ đồ sau:
um dinh ON du dinh di
thực đi 5h 22 phút thực đi 4h 42 phút