Phân tích ứng xử của tấm trên nền đàn hồi dưới tác dụng của tải trọng nổ

59 Độ võng lớn nhất tại vị trí tâm của tắm khi bề dày tắm thay đổi trong trường hợp có xét và không xét phi tuyẾn...ce..vcccccccce 60 Độ võng lớn nhất tại vị trí tâm của tắm và vị trí có

TRUONG DAI HOC MO TP HO CHi MINH

DO NGOC THUAN

PHAN TICH UNG XU CUA TAM TREN NEN DAN HOI

DUOI TAC DUNG CUA TAI TRONG NO

Chuyén nganh: , Xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp

Người hướng dẫn khoa học:

TS LƯƠNG VĂN HẢI

TP HỖ CHÍ MINH, NĂM 2014

TOM TAT LUẬN VĂN THẠC SĨ

Nghiên cứu các công trình chịu tải trọng nổ là lĩnh vực ngày càng nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học trên thế giới Tuy nhiên, các công trình nghiên cứu hiện nay thường tập trung chủ yếu vào các kết cầu nỗi trên mặt đất, hoặc các công trình nằm sâu trong lòng đất nhằm mục đích ngụy trang và tránh bom đạn Trong thực tiễn xây dựng công trình và các ngành kỹ thuật, ngoài các dạng kết cấu thường gặp ở trên, còn có các loại kết cấu tiếp xúc trực tiếp với môi trường biến

dạng Các kết cấu này có thể tựa lên bề mặt môi trường như mặt đường, sân bay, dé,

đập, và công trình trọng lực v.v Dưới tác dụng của tải trọng nổ, kết cầu và môi

trường sẽ có sự tương tác qua lại lẫn nhau Trong luận văn này, việc phân tích ứng

xử động lực học của tắm dày trên nền đàn hồi chịu tải trọng nỗ sẽ được thực hiện

Để thẻ hiện sự tương tác giữa kết cấu và nền đất giống với thực tế, mô hình nền hai

thông số sẽ được áp dụng Tải trọng nỗ được mô hình dưới dạng tải trọng động tác

động lên phần tử tắm Các thông số áp dụng vào bài toán sẽ dựa trên các thông số

đã được khảo sát trong thực tế Trong luận văn này, phân tích ứng xử động của tắm

trên nền đàn hồi trong các trường hợp tuyến tính và phi tuyến vật liệu được thực

hiện để so sánh và đưa ra sự đánh giá tổng quát nhất Luận văn cũng khảo sát những

yếu tố cơ bản ảnh hưởng tới ứng xử động của tắm trên nền đàn hồi, cụ thể như khối

lượng thuốc nổ, khoảng cách gây nổ, môi trường không khí xung quanh vụ nỗ, kích

thước và tính chất vật liệu của tắm

Các kết quả này rất có giá trị thực tế cho việc nghiên cứu khả năng chịu tải trọng nỗ của kết cấu tắm tiếp xúc với môi trường biến dạng, cũng như việc áp dụng cho các công tác quốc phòng

MUC LUC

DANH MUC HINH VA DO THI

DANH MUC BANG

MOT SO KY HIEU VIET TAT

CHUONG 1 TONG QUAN

ca 1

1.2 Tình hình nghiên ctu essseseseesessesseeecssssseesessessscsesssesseessesssnnenees 5

“1.2.1 Các công trình nghiên cứu ngoài nước . -e©-s-c<cs+ 5 1.2.2 Các công trình nghiên cứu trong nưỚC - + 5s s©cs++xerxeee 7 1.3 Mục tiêu và hướng nghiên CỨu .- «+ x+k#keksxereEerexrxrrsrkrrrrrkerke 8

1.4 Cấu trite Tun Van ceccecesccsesscesenessenssecesenssesensecsnseseuennseeeneseeanaseeeeestnetnesee 9

CHUONG 2 CO SO LY THUYẾT -22222222ttrrrrrertrrrrrre 10

2.1 Nỗ trong môi trường không khí -+£2V++e+222xvrvcccvczrvvee 10

2.1.1 Hiện tượng nổ và sự hình thành, lan truyền của sóng xung kích 10

2.1.2 Cac phương trình cơ bản của sóng xung kích . - «+ 12 2.1.3 Quan hệ cơ bản giữa các tham số của sóng xung kích 13 2.1.4 Siêu áp trên mặt sóng xung kíÍch «- 5s s++xexsreerxeerrxere 14

2.1.5 Quy luật biến thiên siêu áp sau mặt sóng -:-+ -2 16

2.1.6 Phản xạ của sóng xung kích khi gặp chướng ngại - 17

2.1.7 M6 phong tai trong né tac dụng lên kết cấu tắm - 23

2.2 Lý thuyết tắm trên nền bién dang dan hồi `" 28

2.2.1 Mô hình nền biến đạng đàn hồi cục bộ hai thông số 28

2.2.2 Lý thuyết tắm dày

2.2.3 Hàm chuyền vị và hàm đạng

2.2.5 Ma trận độ cứng của phần tử tắm -cccccccceccccvrrerecrcee 36

2.2.6 Ma trận khối lượng của phần tử tắm ccccccccccceeeeeccee 38 2.2.7 Ma trận cản của phần tử tắm -c -©222v22vvcvrerrrrrvrvrrererre 38

2.2.8 NOi luc oi mẽ ẽ 39

2.3 Phương pháp ÌNeWImarK - << «xxx ghe 40 2.4 Bai todn động lực học phi tuyến c¿-©2ccvvvvcvrrrrrrrrrrvrreerrrrrre 42 2.5 Thuật toán sử dụng phương pháp Newmark trong luận văn 44

2.5.1 Thông số đầu vào c2222222222222111112111111111111111111111 c., 44 2.5.2 Giải bài toán theo dạng chuyển vị và xuất kết quả 44

2.6 Độ én định và hội tụ của phương pháp Newmark - 45

2.7 Lập trình và lưu đồ tính toán -¿ ++22Evvvrvr+rrtrtrrvrrvrrererrre 45 CHƯƠNG 3 KÉT QUẢ PHÂN TÍCH SỐ -2-22cc+©CE+sevccvvveeerrrre 47 3.1 Bai toan 1: Kiểm chứng chương trình Matlab của luận văn 3.1.1 Trường hợp tấm chịu tải trọng tĩnh

3.1.2 Trường hợp tấm dao động tự do

3.2 Bài toán 2: Kiểm tra sự hội tụ của bài toán và việc mô hình hóa tải trọng nổ về dạng tải trọng động

3.3 Bài toán 3: Ảnh hưởng của kích thước tắm đến ứng xử của tắm 3.4 Bài toán 4: Ảnh hưởng của tính chất vật liệu đến ứng xử của tâm 62

3.5 Bài toán 5: Ảnh hưởng của khoảng cách nỗ tới ứng xử của tắm 67

3.6 Bài toán 6: Ảnh hưởng của khối lượng thuốc nỗ tới ứng xử của tắm 72

3.7 Bài toán 7: Ảnh hưởng của thông số môi trường đến ứng xử của tắm 77

CHƯƠNG 4 KẾT LUẬN VÀ KIÊN NGHỊ .c-cc-¿-55222vvecceceerrrr 82 4.1 Kết luận ccc 22222 r2 82

4⁄2 Kiến nghị cccccccccccrrrrrree — 83

TÀI LIỆU THAM KHẢO 2 -22+£EVS2++++EEEY2E+etttEEEEEEEvvrrrrrrrrrrree 84 008000922177 ẻ H)HHgH,, Ô,ÔỎỎ 86

Hinh 1.1

Hinh 1.2

Hinh 1.3

Hinh 1.4

Hinh 1.5

Hinh 2.1

Hinh 2.2

Hinh 2.3

Hinh 2.4

Hinh 2.5

Hinh 2.6

Hinh 2.7

Hinh 2.8

Hinh 2.9

Hinh 2.10

Hinh 2.11

Hinh 2.12

Hinh 2.13

Hinh 2.14

Hinh 3.1

Hinh 3.2

Hinh 3.3

Hinh 3.4

Hinh 3.5

DANH MỤC HÌNH VÀ ĐÒ THỊ

Kết cấu sân bay Am TH 1 Công trình hầm ngầm chịu tải nổ . 22-¿-2222vzecccxrrcrrrrerrr 2

Hiện trường vụ đánh bom cảm tử - «<5 + setekekerekeeekrkerervee 3

Xung đột vũ trang giữa các quốc gia, vùng lãnh thổ - 4

Ảnh hưởng vụ nỗ tới nền đường Sơ đồ mô tả sự hình thành và lan truyền sóng xung kích

Sơ đồ xác định quan hệ các tham số của sóng xung kích Biểu đồ xác định quy luật biến thiên siêu áp sau mặt sóng Sơ đồ mô tả hiện tượng phản xạ của sóng xung kích Sự hình thành áp suất của sóng phản xạ -+ccseccsscee 18 Sơ đồ mô tả hiện tượng phát sinh sóng phản xạ -¿ 19

Sự hình thành sóng phản xạ và mặt sóng đầu - 22

Mô hình chia lưới và quy tải trọng phân bố về tải trọng nút 23

Mô hình tính cận / -cscsnretetrterrrrErrrrrrrrrerre 24 I0 0 v0 TT 25

Mô hình nền đàn hồi hai thông số . -cc2c2ce+cccsccceree 28 Phần tử chữ nhật 08 nút 24 bậc tự đo -+ccccccccccccccccrvriver 31 Mô hình vật liệu -2222 2+ 2222vrrrrttrrrrtrrrrrtrrrtrrrrrrrrrrrrrrrerrrrrg 42 Lưu đồ tính toán -22222222++++22222EEEEE22211112111111112122 eerrrrrrrre 46 Mô hình tắm biên ngàm 4 cạnh đặt trên nền đàn hồi 50

Độ võng của tắm khi chia nhỏ bước thời gian và số lượng phần tử 54

Áp lực nỗ theo thời gian tác dụng vào tâm của tắm 55

Độ võng tai vi tri tam của tắm khi chịu tải trọng nỗ theo thời gian .56

Độ võng tại vị trí có cùng tọa độ với tâm nổ khi chịu tải trọng nỗ theo thời gian -.c- + cc+ sành nh 0 re 56

Độ võng lớn nhất tại vị trí tâm của tắm và vị trí có cùng tọa độ

tâm nỗ khi bề dày tắm thay đổi trong trường hợp không xét phi

Độ võng theo thời gian tại vị trí tâm của tắm khi bề dày tắm thay

đổi trong trường hợp không xét phi tuyến -c-++++crrerre 58

Độ võng lớn nhất tại vị trí tâm của tấm và vị trí có cùng tọa độ tâm nổ khi bề dày tắm thay đổi trong trường hợp có xét phi tuyến 59

Độ võng theo thời gian tại vị trí tâm của tắm khi bề dày tắm thay đổi trong trường hợp có xét Di 59

Độ võng lớn nhất tại vị trí tâm của tắm khi bề dày tắm thay đổi trong trường hợp có xét và không xét phi tuyẾn ce vcccccccce 60

Độ võng lớn nhất tại vị trí tâm của tắm và vị trí có cùng tọa độ tâm nổ ứng với cấp độ bền khác nhau khi không xét phi tuyến 63

Độ võng theo thời gian tại vị trí tâm của tắm ứng với cấp độ bền

khác nhau khi không xét phi tuyến -ccccccvceerrcrrveeeeerrr 63

Độ võng lớn nhất tại vị trí tâm của tắm và vị trí có cùng tọa độ với tâm nổ ứng với cấp độ bền khác nhau khi có xét phi tuyến 64

Độ võng theo thời gian tại vị trí tâm của tắm ứng với cấp độ bền

khác nhau khi có xét phi tuyến -ccccrrxeeeerrrrrrtrrrrrrrerriil 64

Độ võng tại vị trí tâm của tắm ứng với các giá trị cấp độ bền khác

nhau khi có xét và không xét phi tuyến

Độ võng lớn nhất tại vị trí tâm của tắm và vị trí có cùng tọa độ tam né ứng với giá trị Rạ khác nhau khi không xét phi tuyến 68

Độ võng theo thời gian tại vị trí tâm của tắm ứng với khoảng cách

nổ khác nhau khi không xét phi tuyến -.cec -cccccveeecerrre 68

Độ võng lớn nhất tại vị trí tâm của tấm và vị trí có cùng tọa độ

tâm nỗ ứng với giá trị Rạ khác nhau khi có xét phi tuyến 69

Độ võng theo thời gian tại vị trí tâm của tắm ứng với khoảng cách

nỗ khác nhau khi có xét phi tuyến

Hinh 3.20

Hinh 3.21

Hinh 3.22

Hinh 3.23

Độ võng lớn nhất tại vị trí tâm của tắm ứng với giá trị Ry khdc

nhau khi không xét và có xét phi tuyến c-cccveecerrrrrrrkeeree 71

Độ vống theo thời gian tại vị trí tâm của tấm ứng với giá trị C

khác nhau khi không xét phi tuyến -++++ scetrrrrrrrrrtrrrrri 73

Độ võng lớn nhất tại vị trí tâm của tắm và vị trí có cùng tọa độ

tâm nỗ ứng với giá trị C khác nhau khi không xét phi tuyến

Độ võng lớn nhất tại vị trí tâm của tấm và vị trí có cùng tọa độ

tâm nỗ ứng với giá trị C khác nhau khi có xét phi tuyến

Hình 3.24 Độ võng theo thời gian tại vị trí tâm của tâm tắm ứng với giá trị Œ

khác nhau khi có xét phi tuyến

Độ võng lớn nhất tại vị trí tâm của tắm ứng với giá trị Œ khác nhau khi có xét và không xét phi tuyến -::cccccs t +rtrrrrrrr 75

Độ võng lớn nhất tai vi trí tâm của tắm và vị trí có cùng tọa độ tâm nỗ ứng với thông số môi trường khác nhau khi không xét phi

Độ võng theo thời gian tại vị trí tâm của tắm ứng với thông, số môi

trường khác khau khi không xét phi tuyến -cccc -+ 78

Độ võng lớn nhất tại vị trí tâm của tắm và vị trí có cùng tọa độ tâm nổ ứng với thông số môi trường khác nhau khi có xét phi

Độ võng theo thời gian tại vị trí tâm của tắm khi có xét phi tuyến

Độ võng lớn nhất tại vị trí tâm của tắm ứng với thông số môi trường khác nhau khi có xét và không xét phi tuyến 81

DANH MUC BANG

Nhiệt lượng riêng của một số loại chất nổ thường đùng 15

"Thông số thuốc nỗ 2£ ©V2++++EE+2++++£2EEEEE++rrrxzrrrrrrrrrrrrrg 48

“Thông số tắm .-2 2+-©+++SE2++SEE22222E21121122222221111 2221 221 ecrr 48 Thông số môi trường -+-+2+v++vrz++tttttttrtrrtrrrrrirrrrtrrrrrrrev 48

So sánh độ võng tại vị trí tâm của tấm chịu tải trọng tĩnh 51

So sánh chu kỳ dao động tự nhiên của tắm TH HT ng gi 52

So sánh độ võng khi tăng bước thời gian lặp và số lượng phần tử 55

Độ võng lớn nhất tại vị trí tâm của tắm khi bề dày tắm thay đồi

trong trường hợp không xét phi tuyến

Độ võng lớn nhất tại vị trí tâm của tấm và vị trí có cùng tọa độ tâm nỗ khi bề dày tắm thay đổi trong trường hợp có xét phi tuyén 60

Độ võng lớn nhất tại vị trí tâm của tắm khi bề dày tắm thay đổi

trong trường hợp có xét và không xét phi tuyến - 61

Độ võng lớn nhất tại vị trí tâm của tấm và vị trí có cùng tọa độ tâm nỗ ứng với các giá trị cấp độ bền khác nhau khi không xét phi

Bảng 3.12 Độ võng lớn nhất tại vị trí tâm của tim và vị trí có cùng tọa độ tâm

nỗ ứng với các giá trị cấp độ bền khác nhau khi có xét phi tuyến 65

Bảng 3.13 Độ võng lớn nhất tại vị trí tâm của tắm ứng với các giá trị cấp độ

bền khác nhau khi có xét và không xét phi tuyến . 65 Bảng 3.14 Độ võng lớn nhất tại vị trí tâm của tắm và vị trí có cùng tọa độ tâm

nỗ ứng với các giá trị Ro khác nhau khi không xét phi tuyến

Bảng 3.15 Độ võng lớn nhất tại vị trí âm của tấm và vị trí có cùng tọa độ tâm

nỗ ứng với các giá trị ® khác nhau khi có xét phi tuyến 70 Bảng 3.16 Độ võng tại vị trí tâm của tắm chịu tải trọng nỗ ứng với các giá trị

® khác nhau khi có xét và không xét phi tuyến -ccccccccecccee 71

nỗ ứng với các giá trị C khác nhau khi không xét phi tuyến 72

Độ võng lớn nhất tại tâm của tấm và vị trí có cùng tọa độ tâm nỗ ứng với các giá trị khác nhau trong trường hợp có xét phi tuyến 75

Độ võng lớn nhất tại tâm của tắm ứng với các gid tri C khác nhau

trong trường hợp không xét và có xét phi tuyến

Độ võng lớn nhất tại vị trí có cùng tọa độ tâm nổ và tâm của tắm ứng với các thông số môi trường khác nhau khi không xét phi

Độ võng lớn nhất tại vị trí có cùng tọa độ tâm nô và tâm của tắm

ứng với thông số môi trường khác nhau khi có xét phi tuyến 80

So sánh sự chênh lệch về độ võng tại vị trí tâm của tắm giữa hai

trường hợp có phân tích và không phân tích phi tuyến

MOT SO KY HIEU VIET TAT

Chữ viết tắt

DOF Bac tu do (Degree of Freedom)

FEM Phương phap phan tir hitu han (Finite Element Method)

P Véc tơ tải trong

Petr Véc to tai trong hiéu dung

+ Ứng suất trượt trung bình

u Vec to độ võng tại một điểm bất kỳ của hệ

Véc tơ biến dạng trượt trung bình

Khối lượng thuốc nỗ Tốc độ của sóng lan truyền

Mô men giới hạn

Áp suất của sóng lan truyền

Áp suất trên mặt sóng phản xạ Phản lực pháp tuyến của nền

Áp suất trên mặt sóng tới

Áp suất của sóng xung kích

Áp suất của môi trường chưa bị nhiễu động

Siêu áp trên mặt sóng xung kích Siêu áp trên mặt sóng tới

Siêu áp trên mặt sóng phản xạ Nhiệt lượng riêng của loại thuốc nỗ được sử dụng Nhiệt lượng riêng của thuốc nỗ TNT

Nhiệt độ của môi trường chưa bị nhiễu động

Thời gian tác dụng của pha nén Phản lực tiếp tuyến của nền Bước thời gian lặp

Tốc độ phân tử của sóng lan truyền Tốc độ phân tử của sóng xung kích

Tốc độ phân tử của môi trường chưa bị nhiễu động

Hệ số poisson của vật liệu

Độ võng của tắm Góc xoay đối với trục x

Góc xoay đối với trục y

Biến dạng trượt trung bình đối với mặt cắt x = const Biến dạng trượt trung bình đối với mặt cắt y = const

Hệ số điều chỉnh kể đến sự phân bố bậc hai theo bề dày của biến dang trượt

Góc quét vùng lân cận nút (¿, 7) theo phương Y Khối lượng riêng các phân tử của sóng xung kích Khối lượng riêng các phân tử của sóng lan truyền Khối lượng riêng các phân tử của môi trường chưa bị nhiễu động

I

DD Góc quét vùng lân cận nút (i, 7) theo phuong X

Thông số môi trường

Tỉ số cản của bê tông

Năng lượng của sóng lan truyền

Dưới tác dụng của tải trọng trạng thái chuyên vị ứng suât và biên dạng của

công trình và nền ảnh hưởng qua lại và phụ thuộc lần nhau

Hình 1.2 Công trình ham ngầm chịu tải nỗ Với việc xuất hiện ngày càng nhiều các công trình nghiên cứu về kết cầu chịu

tải trong nỗ đã mở ra một cái nhìn toàn điện hơn về đặc tính của thuốc nổ tính chất

của vụ nô sự biến thiên của sóng nỏ, tác động của áp lực nó đối với môi trường xung quanh và ứng xử của các kết cầu nằm trong phạm vi ảnh hưởng của sóng nỗ Trong một phạm vi nhất định, đối với những loại vũ khí thông thường ngoài sự ảnh hưởng của sóng nỗ thì người ta còn phải xét tới sự ảnh hưởng của va chạm giữa sản phẩm nỗ với kết cầu Chính sự va chạm này đã gián tiếp làm sụp đồ hoặc nứt vỡ công trình Với những loại vũ khí có tính chất đặc biệt như vũ khí hạt nhân vũ khí nguyên tử thì ngoài những yếu tố trên còn phải xét đến ảnh hưởng của bức xạ

nhiệt, vì khi xảy ra một vụ nô hạt nhân sẽ dẫn đến sự giải thoát một năng lượng

không lồ (năng lượng được đo bằng kiloton hoặc megaton tương đương với hàng nghìn và hàng triệu tắn thuốc nỗ TNT) năng lượng này được thoát ra từ bón dạng:

áp lực (40-60% tổng năng lượng) bức xạ nhiệt (30-50% tong năng lượng) bức xạ

lon (5% tông năng lượng) và bức xạ dư (bụi phóng xạ) (5-10% tổng năng lượng)

Trong đó hiệu ứng quan trọng nhất của vũ khí hạt nhân là áp lực và bức xạ nhiệt Với lượng bức xạ nhiệt đó mọi vật thể năm trong phạm vi ảnh hưởng của vụ nỗ đều

có thể bị phá hủy Do vậy việc nghiên cứu bản chat va ảnh hưởng của vụ nỗ sẽ giúp ích rất nhiều cho việc thiết kế và xây dựng những kết cấu có khả năng chịu tác động của sóng nô Đặc biệt ngày nay vấn đề an ninh của các quốc gia đang trở thành moi quan tâm hàng dầu khi chủ nghĩa ly khai xuất hiện ở nhiều quốc gia sự đối đầu thù địch giữa các thành phân do sự khác biệt về

tộc tôn giáo ngày càng sâu sắc từ

đó xuât hiện những nhóm khủng bô có tư tưởng cực đoan thường xuyên tô chức các cuộc đánh bom cảm tử (Hình 1.3) Bên cạnh đó van dé tranh chap chu quyên giữa các quốc gia láng giêng cũng dân tới nguy cơ xung đột vũ trang tạo ra một cuộc chiên tranh quy mô nhỏ và dự báo xu hướng này vần sẽ xảy ra trong những năm tới Đó là nơi mà bom đạn sẽ phá hoại các công trình gây ra sự đồ nát và thương vong cho con người (Hình 1.4)

Hình 1.3 Hiện trường vụ đánh bom cảm tử

Khi chiên tranh xảy ra, mục tiêu đánh phá trước hêt sẽ là các công trình có ý nghĩa chiên lược như sân bay bên cảng hoặc các trục đường cơ động chính làm

tê liệt hệ thông giao thông nhăm ngăn cản hoặc làm hạn chê việc di chuyên lực lượng vũ khí trang bị kỹ thuật của đôi phương đến vị trí chiên đâu đề tạo ra một

nặng nề (Hình 1.5)

Hình 1.4 Xung đột vũ trang giữa các quôc gia vùng lãnh thô

„ việc nghiên cứu ảnh hưởng của các kết câu dưới tác dụng của tải trọng

nô dé nang cao khả năng chịu lực của công trình phục vụ cho an ninh và quôc

phòng càng trở nên cân thiết Sự ôn định của công trình cũng đông nghĩa với việc làm giảm ảnh hưởng hoặc hạn chê những thiệt hại cho các công trình dưới tác động

của sóng nô bảo vệ các trang bị kỹ thuật và tính mạng của con người

Hình 1.5 Ảnh hưởng vụ nỗ tới nền đường

trọng nghiên cứu, xây dựng những công trình quốc phòng mang tính chiến lược,

nhằm mục đích che đấu, bảo vệ lực lượng và vũ khí trang bị trước sức phá hoại của

bom đạn Các công trình đã được tính tới khả năng chịu va chạm và chống sụp đổ đối với một số loại bom đạn nhất định Tuy nhiên, do bị chỉ phối về vấn đề kinh tế

(xây dựng công trình chịu tải trọng nổ đòi hỏi kích thước kết cấu lớn, khối lượng

nhiều, thiết kế phức tạp ) nên việc xây dựng và nghiên cứu mới chỉ tập trung vào những công trình ngầm nằm sâu trong lòng đất (mục đích nhằm lợi dụng lớp bảo vệ

trên mặt đất để làm giảm sự ảnh hưởng của sóng nổ, làm giảm kích thước và khối

lượng của kết cấu) Tiềm lực và khả năng phòng thủ của đất nước sẽ vững vàng hơn nếu như các công trình quan trọng (sân bay, bến cảng ) cũng được quan tâm nghiên cứu và xây dựng một cách đúng mức

Trong luận văn này, ứng xử của tắm dày trên nền đàn hồi chịu tải trọng sóng

nỗ sẽ được nghiên cứu Để phù hợp với bài toán phân tích động lực học kết cấu và bảo đảm rằng bài toán sẽ cho kết quả tin cậy, luận văn sẽ chỉ nghiên cứu sự ảnh hưởng của một số loại đạn pháo nhất định, với khoảng cách hợp lý để tránh sự phá

hoại đột ngột của kết cấu (bài toán nghiên cứu khả năng chịu đâm xuyên và khả năng chống sụp của công trình) Và để đơn giản cho quá trình tính toán, luận văn cũng sẽ bỏ qua ảnh hưởng của sản phẩm nỗ đối với công trình xung quanh, chỉ xét

sự ảnh hưởng của sóng xung kích đối với kết cấu công trình

1.2 Tình hình nghiên cứu

1.2.1 Các công trình nghiên cứu ngoài nước

Việc nghiên cứu về thuốc nổ và hiện tượng nổ đã được các nhà khoa học trên

thế giới tiến hành từ rất lâu Dé hiểu rõ về bản chất của hiện tượng nỗ và những

thông số có liên quan, các công trình nghiên cứu như: mô hình hóa áp lực nỗ tác

dụng lên vật thể và kết cấu đã được thực hiện bởi Smith (1994), Brode (1995),

Henrych (1979) Các biểu thức đề nghị cho áp suất đỉnh tĩnh lớn nhất, cho phép đự

đoán trước và thực hiện với khoảng cách nổ và tai trọng nỗ bắt kỳ được biểu diễn dưới dạng thuốc nỗ TNT tương đương Áp suất phản xạ đỉnh do sự tương tác giữa

(1994) (được trích dẫn bởi Nguyễn Trọng Phước và Trần Minh Thi (2011) [14]) Tiếp theo đó, Remennikov (2003) [17] đã sử dụng một số phương pháp phân tích có sẵn để dự đoán tải từ một vụ nỗ đối với các tòa nhà trong khu vực đô thị Bằng cách

mô phỏng trong AUTODYN, một tắm 3D đã được phân tích để khảo sát sự ảnh

hưởng của khoảng cách từ chất nỗ đến tắm Lam và đồng nghiệp (2004) [6] tiếp tục ứng dụng và phát triển các kiến thức hiện có để mô hình hóa áp lực vụ nỗ và mô tả chỉ tiết sự thay đổi của áp lực nỗ theo thời gian Dựa trên việc nghiên cứu tắm bê tông cốt thép chữ nhật thông qua phân tích động lực học tuyến tính một bậc tự do, bài báo tập trung nghiên cứu các tham số liên quan đến lịch sử thời gian của mô hình tường cantilevered đơn giản, dựa trên hàm áp lực được xác định trước để nghiên cứu các xu hướng cơ bản Một đóng góp quan trọng từ nghiên cứu này là việc xác định các mối quan hệ trực tiếp giữa “thời gian góc” và “thời gian giải phóng” cho vụ nỗ

Remennikov và Rose (2005) [18] đã sử dụng nhiều phương pháp để dự đoán chính xác về tác động của tải trọng nổ lên cấu trúc liền kể trên một tòa nhà ở địa

hình đô thị Tải trọng nỗ tác động lên cấu trúc thường được đánh giá bằng cách sử

dụng các mối quan hệ thực nghiệm Trong thực tế, tải trọng nỗ thực có thể giảm do

sự che chắn của các tòa nhà khác, hoặc cũng có thể tăng do sự hiện diện của các tòa nhà khác trong vùng lân cận Kết quả của mô phỏng số được trình bày trong nghiên cứu này đã chứng minh tầm quan trọng của việc giải thích cho các cấu trúc lân cận khi xác định tải trọng nổ trên các tòa nhà Để trình bày một cái nhìn tổng quan toàn

diện về tác động của vụ nỗ lên kết cấu, Ngo và các tác giả (2007) [11] đã giải thích

về bản chất của vụ nỗ và cơ chế của sóng nỗ trong không khí Bài báo này cũng giới thiệu các phương pháp khác nhau dé ước tính tải trọng của các vụ nỗ và phản ứng của kết cấu khi chịu tải nổ

Tavakoli và Kiakojouri (2012) [19] đã tiến hành kiểm tra phản ứng động lực học của các tắm thép cứng chịu tải trọng nỗ phân bố đều bằng cách sử dụng kết quả phần tử hữu hạn Abaqus Mục tiêu chính của nghiên cứu này là để xác định phản ứng động lực học và xem xét ảnh hưởng của các tắm làm cứng Một số thông số,

trong nghiên cứu này Đặc biệt nhân mạnh tập trung vào việc đánh giá sự di chuyển điểm giữa và năng lượng của các mô hình, các kỹ thuật mô hình được mô tả chỉ tiết

Kết quả số trong bài báo cung cấp cái nhìn sâu sắc hơn về tác động của các cầu hình

tăng cứng trên các phản ứng động lực học phi tuyến của các tắm làm cứng chịu tải trọng nỗ đều

1.2.2 Các công trình nghiên cửu trong nước

Ở Việt Nam, Đỗ Kiến Quốc và Íê Đức Tuần (2007) [2] đã nghiên cứu ứng xử

động lực học kết cấu bê tông cốt thép dưới tác dụng của tải trọng nổ Các ma trận tính chất kết cấu: ma trận độ cứng, ma trận khối lượng, ma trận khối lượng tương thích, ma trận cản và các véc tơ tải trọng nút được xây dựng có xét tính chất phi tuyến Tải trọng nỗ đã được mô phỏng về dạng tải trọng động dựa trên một số giả thiết để đảm bảo nghiệm vật lí của bài toán động lực học Phương trình chuyển động được thiết lập và được giải bằng phương pháp tích phân số Newmark

Nguyễn Đức Duyến (2010) [13] đã tiến hành nghiên cứu phương pháp tính

toán công trình phòng thủ dân sự chịu tác động của tải trọng, nổ có kể đến cấp bảo

vệ hợp lý của công trình, và ảnh hưởng của các tham số tải trọng, vật liệu kết cầu

đến trạng thái nội lực, chuyển vị của hệ Cu thé, bai báo đã tính toán và xác định tải

trọng sóng nỗ tác động lên nóc tầng hầm của nhà cao tầng khi giả định bom nổ bên ngoài tòa nhà Các phương trình, thuật toán để tính toán, phân tích ứng xử động của

kết cấu được thiết lập Nhằm kiểm chứng kết quả của bài toán, tác giả đã tiến hành

làm thí nghiệm xác định các tham số của sóng nỗ lên nóc tầng ham, so sánh với kết quả lý thuyết để đưa ra đánh giá và kết luận

Nguyễn Trọng Phước và Trần Minh Thi (2011) [14] cũng đã tiến hành nghiên

cứu phản ứng động của cấu trúc tường dọc dưới tác dụng của tai trong nổ Trong bài báo, tải trọng nỗ cũng được mô phỏng đưa về dạng tải trọng động tác động lên bề mặt kết cấu tường thẳng Cấu trúc tường thẳng đứng được mô phỏng bởi các tắm bê

tông cốt thép, và được xét trong từng trường hợp cụ thể Bài báo cũng tiến hành

khảo sát ứng xử của tắm trong cả hai trường hợp phản ứng tuyến tính và phi tuyến dưới tác dụng của tải trọng nổ Bài toán phân tích phi tuyến ứng với trường hợp tắm

Từ các công trình nghiên cứu đã được công bố cho thay, hau hét những công trình này chỉ tập'trung vào các kết cấu nỗi trên mặt đất như kết cấu khung bê tông cốt thép, kết cầu tắm (tường dọc, sàn) bê tông cốt thép, hoặc các công trình nằm sâu dưới lòng đất Việc nghiên cứu những kết cấu tựa trên nền đàn hồi hiện vẫn còn rất hạn chế Do vậy, tiến hành nghiên cứu ứng xử của các kết cấu trên nền đàn hồi chịu tải trọng nỗ là lĩnh vực thực sự cần thiết và có ý nghĩa khoa học

1.3 Mục tiêu và hướng nghiên cứu

Mục tiêu chính của luận văn nhằm phân tích ứng xử động lực học của tắm dày trên nền đàn hồi đưới tác dụng của tải trọng nỗ có xét đến sự tương tác với đất nền Luận văn sử dụng phương pháp tích phân trực tiếp Newmark và mô hình hóa sự

tương tác giữa tắm và nền đàn hồi hai thông số Các vấn đề nghiên cứu cụ thể trong

luận văn này bao gồm:

o Phan tich dao động tự do của tắm trên nền đàn hồi

o Khảo sát các yếu tố ảnh hưởng tới ứng xử của tắm: khối lượng thuốc nỗ,

khoảng cách từ tâm nỗ tới tấm, kích thước của tấm, tính chất vật liệu,

điều kiện môi trường

o_ Phân tích ứng xử động của tắm trên nền đàn hồi chịu tải trọng nỗ không

xét tính phi tuyến

o_ Phân tích ứng xử động của tấm trên nền đàn hồi chịu tải trọng nỗ có xét

tính phi tuyến vật liệu

Các bước để tiến hành như sau:

a) M6 hinh tai trong né va quy luật biến thiên của tải trọng nỗ tác dụng lên kết cấu tắm

b) Thiết lập các ma trận khối lượng, ma trận độ cứng và ma trận cản cho các phần tử tắm trên nền đàn hồi hai thông số

e)_ Phát triển thuật toán, lập trình tính toán bằng chương trinh Matlab để giải

hệ phương trình động tổng thể của bài toán

d) Kiểm tra độ tin cậy của chương trình tính bằng cách so sánh kết quả của

chương trình với kết quả của các chương trình tính khác

tố quan trọng đến ứng xử động của tắm trên nền đàn hồi, từ đó rút ra kết

luận và kiến nghị

1.4 Cấu trúc luận văn

Nội dung trong luận văn được trình bày như sau:

Chương 1: giới thiệu tổng quan về lịch sử và xu hướng phát triển của việc nghiên cứu các công trình chịu tải trọng nổ, tình hình nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước cũng như mục tiêu và hướng nghiên cứu của đề tài

Chương 2: trình bày các cơ sở lý thuyết và các phương pháp số để giải quyết

bài toán

Chương 3: trình bày kết quả phương pháp số tính toán bằng ngôn ngữ lập trình Matlab, xem xét đánh giá ảnh hưởng của các thông số và đại lượng có ảnh hưởng đến ứng xử của tắm

Chương 4: từ các kết quả phân tích số ở Chương 3, tiến hành đưa ra kết luận quan trọng đạt được trong luận văn và kiến nghị hướng phát triển của đề tài trong tương lai

Tài liệu tham khảo: trích dẫn các tài liệu liên quan phục vụ cho mục đích

nghiên cứu của đề tài

Phụ lục: Trình bày một số đoạn mã lập trình Matlab chính dé tinh toán các ví

dụ số trong Chương 3

CHUONG 2

CO SO LY THUYET

2.1 Né trong mdi trudng khong khi

2.1.1 Hiện tượng nỗ và sự hình thành, lan truyền của sóng xung kích

Theo Koprosua (1967) [22], né 1a sự biến đổi lý học hay hóa học rất nhanh

chóng của vật thể kèm theo sự giải phóng hay biến đổi năng lượng, gây nên sự biến

đổi trạng thái của vật thể ở môi trường xung quanh Khi xảy ra một vụ nd, đầu tiên

phản ứng nỗ tạo ra các khí nóng có thể ở áp suất từ 100 kilobar đến 300 kilobar

(Ibar = 100 kPa) và nhiệt độ khoảng 3000°C - 4000°C Sau khi phản ứng nỗ được

hoàn thành, các tham số trạng thái trên bề mặt khối nổ tăng vọt lên một cách đột

ngột, tạo nên sự chênh lệch rất lớn về áp suất, nhiệt độ, mật độ giữa sản phẩm nỗ

và không khí xung quanh, tất yếu sản phẩm nỗ phải giãn nở ra xung quanh Khi các phân tử sản phẩm nỗ văng ra khỏi bề mặt khối thuốc, chúng va đập rất mạnh vào

lớp không khí ở gần nó, làm cho áp suất, nhiệt độ, mật độ của lớp không khí đó

tăng lên đột ngột và dồn nén lớp không khí tiếp theo :

Cứ như vậy, lớp không khí này dồn nén lớp không khí khác và lan truyền từ trong ra ngoài môi trường xung quanh khối nổ Sự lan truyền biến thiên trạng thái

của các tham số một cách đột ngột, đó chính là quá trình hình thành và lan truyền sóng xung kích Trên mặt ngăn cách giữa không khí bị dồn nén và không khí xung quanh còn yên fĩnh, trạng thái môi trường bị gián đoạn rất mạnh Tại đó có sự thay

đổi nhảy vọt về áp suất, nhiệt độ, mật độ người ta gọi mặt ngăn cách đó là mặt của

sóng xung kích không khí Đồng thới với sự hình thành và lan truyền sóng xung

kích, bản thân sản phẩm nỗ giãn nở, thể tích của chúng ngày càng tăng lên, cho nên

các tham số trạng thái ngày càng giảm đi Khi sản phẩm nổ giãn nở đến một giới han nào đó, áp suất trong vùng sản phẩm nỗ sẽ giảm đến áp suất khí quyển Lẽ ra sản phẩm nd phải dừng lại không giãn nở nữa, nhưng do chuyển động quán tính

chúng tiếp tục chuyển động ra phía ngoài, làm cho áp suất bên trong tâm nổ nhỏ hơn áp suất khí quyền, lúc này bắt buộc sản phẩm nỗ phải chuyển động co về tâm, một loại sóng mới được hình thành và lan truyền từ trong ra ngoài gọi là sóng dãn Khi song dan lan truyền đến mặt ngăn cách giữa sản phẩm nỗ và không khí, sóng xung kích bắt đầu tách khỏi sản phẩm nổ và chuyển động độc lập Người ta gọi khoảng cách từ tâm nổ đến vị trí sóng xung kích tách khỏi sản phẩm nỗ chuyển

động về tâm là khoảng cách tới hạn Hình 2.1 mô tả sự hình thành và lan truyền của

sóng xung kích, trong vùng 1 (vùng chữa sản phẩm nỗổ đã dãn nở) và vùng 2 (vùng không khí bị nén ép) áp suất và mật độ của sóng xung kích sẽ giảm dần, ngược lại tốc độ sẽ tăng dần

2.1.2 Cac phwong trinh co’ ban của sóng xung kích

Để thiết lập hệ phương trình mô tả quan hệ giữa các tham số của sóng xung kích, các định luật tự nhiên như định luật bảo toàn khối lượng, định luật bảo toàn xung lượng, định luật bảo toàn năng lượng v.v được ứng dụng Đồng thời nghiên cứu sóng xung kích hình cầu là trường hợp tổng quát nhất

Hình 2.2 Sơ đồ xác định quan hệ các tham số của sóng xung kích

Xét 2 mặt phẳng I-I và II-II cách nhau một khoảng đ (Hình 2.2) Theo Koprosus (1967) [22], hệ 5 phương trình biểu thị quan hệ giữa các tham số trạng thái của chất khí được viết như sau:

trong đó: P là áp suất của sóng lan truyền

ø là khối lượng riêng các phân tử của sóng lan truyền

U là tốc độ phân tử của sóng lan truyền

7 là nhiệt độ của sóng lan truyền Ð' là tốc độ của sóng lan truyền

T là năng lượng của sóng lan truyền

Hệ phương trình trên có 6 ẩn là P,U,7,T,S,ø Hệ phương trình chưa khép kín, nhưng nếu biết 1 trong 6 ẩn số đó thì có thể giải được hệ này và tìm được các tham số trạng thái của môi trường

2.1.3 Quan hệ cơ bản giữa các tham số của sóng xung kích

Tương tự, theo KopTrozws (1967) [22], các đẳng thức rút ra từ định luật bảo

toàn khối lượng và động lượng có thể viết:

Ty; 7, 1a nhiệt độ của sóng xung kích và của môi trường chưa bị nhiễu động

Dy, D, 1a téc dé cha sóng xung kích và của môi trường chưa bị nhiễu động

= lane s6 đoạn nhiệt

C,

Hệ 3 phương trình (2.6), (2.7), (2.8) mô tả quan hệ các tham số trên mặt sóng

xung kích, trong đó có 4 dn Tạ›/2,›Uạ› Dạ Biết được tốc độ sóng D„ thì có thể tìm

được các tham số khác trên mặt sóng

Có thể xác định tốc độ trung bình D„ bằng phương pháp đo đạc, dựa trên công

t,, t, là thời gian sóng xung kích đi qua các điểm 1, 2 ứng với khoảng cách

Rại, Rạ; được ghi lại trên mẫu đo

2.1.4 Siêu áp trên mặt sóng xung kích

Theo Bapon (1989) [21], siêu áp trên mặt sóng xung kích được xác định như sau:

AFy -1s22so10{ 2] aso To ) 2 3 (2.10)

trong đó:

r, là bán kính của lượng nỗ (m)

R, là khoảng cách từ tâm nổ đến điểm ta cần xét (m)

C là khối lượng thuốc nổ (kg)

AP, là siêu áp trên mặt sóng xung kích (@Ñm?

? là áp suất của môi trường chưa bị nhiễu động (KN/m?)

lượng thuốc nổ với hệ số 2, và loại thuốc nổ dùng đôi khi không phải là loại thuốc

Ø7 là nhiệt lượng riêng của loại thuốc nỗ được sử dụng (Kcal/kg)

Ø?” là nhiệt lượng riêng của thuốc nỗ TNT (Keal/kg)

Theo Nguyễn Tiến Nghỉ (2001) [9], nhiệt lượng riêng của một số chất nỗ được cho

Amatol 80/20 (20% amoni nitrat, 20% TNT) 632.94

Nitroglyxerin (91% Nitroglyxerin, 7.9% Nitro 1079.58

xenlulo, 0.9% chat khoáng axit, 0.2% nước)

2.1.5 Quy luật biến thiên siêu áp sau mặt sóng

Theo Bapon (1989) [21], quy luật biến thiên của siêu áp tại một điểm cố định

được xác định theo theo công thức:

R là khoảng cách từ tâm nỗ đến điểm khảo sát (m)

a¡ là tốc độ âm của môi trường (m/s)

Aip là siêu áp trên mặt sóng xung kích được tính theo công thức (2.12)

Biểu đồ xác định quy luật biến thiên siêu áp sau mặt sóng tại một điểm cố định

được thể hiện như trên Hình 2.3

2.1.6 Phản xạ của sóng xung kích khi gặp chướng ngại

Giả sử trong quá trình lan truyền, sóng xung kích gặp phải chướng ngại có kích thước vô hạn và cứng tuyệt đối Tốc độ truyền lan của sóng xung kích có

phương trùng với pháp tuyến của chướng ngại (Hình 2.4)

Theo Bapow (1989) [21], khi sóng xung kích gặp chướng ngại, áp suất trên mặt chướng ngại đột ngột tăng lên, áp suất này gồm 2 thành phần:

o Ap suat mat sóng xung kích Py

o Ap suat do đòng môi trường đang chuyển động bị dừng lại đột ngột Thành phần thứ nhất gọi là “áp suất tĩnh” của sóng xung kích, thành phần thứ hai là áp suất động hoặc áp suất tốc độ Thực tế áp suất động lớn hơn áp suất tĩnh,

do đó tổng áp suất tác dụng lên chướng ngại sẽ lớn hơn áp suất tĩnh rất nhiều Điều

đó có nghĩa là khi sóng xung kích đập vào chướng ngại thì lập tức những lớp môi trường gần chướng ngại nhất sẽ phát sinh sự chênh lệch về áp suất Sự chênh lệch

đó xảy ra đột ngột, nói cách khác là khi sóng xung kích đập vào chướng ngại, ở những lớp môi trường gần chướng ngại xuất hiện sự nhảy vọt mới về các tham số

áp suất, nhiệt độ, mật độ

DƯỜNG BỆHIột Hồ 1P,CH-

THƯ VIỆN

Hình 2.4 Sơ đồ mô tả hiện tượng phản xạ của sóng xung kích

Do đó, khi sóng xung kích gặp chướng ngại sẽ tạo ra một sóng xung kích mới lan truyền trong môi trường đã bị sóng xung kích ban đầu nhiễu động Sóng xung kích mới này được gọi là sóng phản xạ, sóng xung kích gây nên hiện tượng phản xạ được gọi là sóng tới (Hình 2.5)

Ký hiệu các tham số áp suất, khối lượng riêng, nhiệt độ của sóng phản xạ là

P, x, Pox, Ty, con của sóng tới là P,P», To

Sóng phản xạ khác với sóng tới ở chỗ:

© Sóng phản xạ chuyển động ngược chiều với sóng tới

o© Sóng tới lan truyền trong môi trường chưa bị nhiễu động, còn sóng phản

xạ lại lan truyền trong môi trường đã bị sóng tới nhiễu động

© Cường độ của sóng phản xạ lớn hơn nhiều so với cường độ của sóng tới,

trị số của sóng phản xạ phụ thuộc vào trị số của sóng tới, tính chất của chướng ngại cũng như góc “tới” là góc hợp bởi mặt chướng ngại và mặt sóng tới

o Căn cứ vào trị số của góc tới, sóng phản xạ được chia ra thành 2 trường,

hợp:

— _ Phản xạ điều hòa (phản xạ tuyến tính)

— Phan xa khong diéu hòa (phan xa phi tuyến)

?; là áp suất trên mặt sóng tới (kN/m?

AP, là siêu áp trên mặt sóng tới được tính theo công thức (2.13)

Pry và AP,, là áp suất và siêu áp trên mặt sóng phản xạ (KN/m”)

Hệ số đoạn nhiệt + -2 =1,4 đối với không khí bình thường

v

ø¿ là mật độ không khí trên mặt sóng tới

U, là tốc độ hạt môi trường trên mặt sóng tới

Từ công thức (2.16), nếu sóng xung kích mạnh, tức là A? >> ” thì:

Áp suất mặt sóng khi phản xạ nghiêng được tính theo công thức sau:

2.1.6.2 Phản xạ không điều hòa

Theo Bapou (1989) [21], Trong vùng phản xạ không điều hòa (ø< X <2,54),

áp suất của mặt sóng kết hợp được tính theo công thức:

với: ®„ là khoảng cách từ tâm nỗ đến điểm chập ba (m)

a là chiều cao của lượng nổ so với mặt chướng ngại (m)

z là bán kính của lượng nỗ có khối lượng 2C (m)

Z là chiều cao của điểm chập ba (m)

Đối với sóng xung kích phẳng, mạnh với cường độ >2 thì quỹ đạo của

1

điểm chập ba có thể xác định bằng phương trình:

trong đó: œ là góc hợp bởi mặt chướng ngại và mặt sóng tới

Sóng phản xạ điều hòa được xác định trong khoảng:

X<a_ Với œ=409+451

Sóng phản xạ không điều hòa được xác định trong khoảng:

X>a_ Với: œ >45°

2.1.7 Mô phỏng tải trọng nỗ tác dụng lên kết cấu tấm

Xót một tắm BTCT có kích thước Lx, bề đày h đặt trên nền đàn hồi Chia

tắm thành zxø phần tử bằng nhau, mỗi phần tử có kích thước đxxy Xét trường hợp nguy hiểm nhất là khối thuốc nổ nằm trong mặt phẳng tắm, và cách tắm một khoảng Rạ (Hình 2.8)

Hình 2.8 Mô hình chia lưới và quy tải trọng phân bố về tải trọng nút

Khoảng cách từ tâm nỗ tới nút (7, 7) của tắm được tính bởi:

R

cos“ đ—

với

Kệ +|ú~D4~øœŸ dễ +[0-D&-~axƑ Theo nghiên cứu của Nguyễn Trọng Phước và Trần Minh Thi (2011) [13], tải

nổ tác dụng lên mỗi nút (i, J) cha tắm được cho bởi:

a, by

trong đó

p(t)=AP,, 1a siêu áp sóng phản xạ tác động lên tắm tính theo công thức (2.16)

a, Ø là góc quét vùng lân cận nút (/, 7) theo phương Y và X được thể hiện

trên Hình 2.9 và Hình 2.10

ax, ay lần lượt là khoảng các từ tâm nỗ tới gốc tọa độ O theo phương X và Y,

được thể hiện trên Hình 2.9 và Hình 2.10

@, = arc tan ——— = 3 Gq = arctan ————“——— (240) =

VR +[G-Dax - ax] Rệ +[—1)dx—ax]

[ee] 2 = ¡Ø¡; = arc tan

(7) Trường hop 1<i<n+l va j=1

(2.46)

(2.47)

(2.48) (2.49)