Bài toán sắp xếp kho vận với ràng buộc sắp xếp

Các hoạt động kho vận tại các bến cảng có thể đượcphân loại theo các loại hình sau đây: sắp xếp các hàng hóa cậpbến vào trong khu vực kho bãi, bốc dỡ các hàng hóa trong khuvực kho bãi để

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

-Nguyễn Thanh Hòa

BÀI TOÁN SẮP XẾP KHO VẬN

Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam.

Người hướng dẫn khoa học: Tiến sĩ Lê Xuân Thanh

Phản biện 1: Tiến sĩ Lê Hải Yến

Phản biện 2: Tiến sĩ Nguyễn Đức Mạnh

Luận văn được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn họp tại Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam

vào hồi 9 giờ 00 phút ngày 12 tháng 11 năm 2021

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ

Mở đầu

Với một lượng hàng hóa khổng lồ được sắp xếp và luânchuyển qua các bến cảng trên thế giới hàng ngày, chúng ta đangchứng kiến sự bùng nổ của thương mại quốc tế và chuỗi cungứng toàn cầu Do đó, việc quản lý và sắp xếp hàng hóa một cáchhiệu quả trong các bến cảng ngày càng trở nên quan trọng vàthiết yếu Các hoạt động kho vận tại các bến cảng có thể đượcphân loại theo các loại hình sau đây: sắp xếp các hàng hóa cậpbến vào trong khu vực kho bãi, bốc dỡ các hàng hóa trong khuvực kho bãi để vận chuyển đến các điểm đến khác, sắp xếp lạicác hàng hóa trong cùng một khu vực kho bãi, kết hợp sắp xếp

và bốc dỡ hàng hóa khi một số hàng hóa cần được sắp xếp vàokhu vực kho bãi trong khi một số hàng hóa cần được bốc dỡ khỏikhu vực đó Trong các loại hình hoạt động kho vận đó, việc sắpxếp hàng hóa cập bến vào trong khu vực kho bãi đóng vai tròtrung tâm, vì hiệu quả của hoạt động đó ảnh hưởng tới hiệu quảcủa các hoạt động khác

Sắp xếp kho vận là bài toán xuất hiện trong nhiều ngữ cảnh thực

tế (chẳng hạn như trong các cảng container, các tàu con-tainer, cáctrạm đỗ tàu điện) Do đó, bài toán sắp xếp kho vận đã trở thành đốitượng nghiên cứu của một hướng chính trong vận trù học (như đãchỉ ra trong bài báo tổng quan [1]) Trong phần giới thiệu của bài báo[2], các tác giả đã trình bày một tổng quan cập nhật các nghiên cứu

về chủ đề này: từ thiết kế của khu vực kho bãi đến sự cân bằng vật

lý của các cấu hình sắp xếp, từ độ phức tạp tính toán đến phươngpháp giải một số lớp bài toán này,

từ các bài toán với dữ liệu chắc chắn đến các bài toán với dữ liệukhông chắc chắn, v.v Trong phần tiếp theo của bài báo, các tácgiả đã tổng quát hóa một số biến thể của bài toán sắp xếp khovận, và nghiên cứu bài toán này với các ràng buộc sắp xếp

Sử dụng bài báo [2] làm tài liệu tham khảo chính, trong luậnvăn này, chúng tôi nghiên cứu một số bài toán tối ưu liên quanđến hoạt động sắp xếp kho vận Mô tả một cách ngắn gọn, trongcác bài toán được chúng tôi nghiên cứu, cho trước một khu vựckho bãi được tổ chức dưới dạng các ngăn xếp (stack) Khu vựckho bãi này đã chứa sẵn một số hàng hóa (items) Hàng hóa đếnbến cảng theo một dãy các tập hợp và cần được sắp xếp vàokhu vực kho bãi Các ràng buộc mang tính kỹ thuật đối với quátrình sắp xếp hàng hóa vào kho bãi bao gồm:

• Trong mỗi ngăn xếp, các hàng hóa được sắp xếp theo thứ tự vào sau ra trước (last-in-first-out)

• Các ngăn xếp có cùng chiều cao, hay chính xác hơn là

có cùng số hàng hóa có thể chứa trong ngăn xếp

• Các ràng buộc sắp xếp được cho trước, trong đó quy định hàng hóa nào được sắp xếp lên trên hàng hóa nào.Chúng tôi quan tâm đến các mục tiêu sau

• Tối thiểu tổng số ngăn xếp được sử dụng

• Tối thiểu tổng số hàng hóa được sắp xếp ở vị trí không thuận lợi cho việc bốc dỡ theo thứ tự thời gian xuất bến

Hàng hóa được sắp xếp vào trong các ngăn xếp theo thứ

tự vào sau ra trước Mỗi đơn vị hàng hóa được xếp vào trongmột tầng nào đó của một ngăn xếp Hàng hóa phải được đặttrên mặt đất, hoặc trên một đơn vị hàng hóa khác đã được đặttrong khu vực sắp xếp

1.2 Thứ tự sắp xếp

Có tất cả n hàng hóa trong tập hợp I = {1, , n}, được phânhoạch thành hai tập hợp: I f ix chứa các hàng hóa đã được sắp xếpsẵn trong khu vực sắp xếp, I ∗ chứa các hàng hóa còn lại đang chờđược sắp xếp vào kho bãi Cấu hình sắp xếp của hàng hóa trong tậphợp I f ix được cho trước cố định Hàng hóa trong tập hợp I ∗

đến khu vực sắp xếp theo thứ tự I1 → I2 → → I K , trong đó

K là một số nguyên dương, I1, , I K lập thành một phânhoạch của tập hợp I ∗, mỗi tập hợp này chứa các hàng hóa cócùng thời gian đến bến cảng, và hàng hóa trong tập hợp I k

phải được sắp xếp hết vào trong khu vực kho bãi trước khisắp xếp hàng hóa trong tập hợp I k+1 (với k = 1, , K − 1).Chúng ta có thể giả sử không ngăn xếp nào có toàn bộ cáctầng chứa hàng hóa thuộc tập hợp I f ix

1.3 Ràng buộc sắp xếp

Theo thứ tự sắp xếp, hàng hóa đến trước không đượcphép xếp lên trên hàng hóa đến sau Tùy theo ngữ cảnh, cóthể có thêm một số ràng buộc quy định hàng hóa nào đượcxếp lên trên từng đơn vị hàng hóa Các ràng buộc này có thểđược mã hóa bởi ma trận sắp xếp S = (s ij ) ∈ {0, 1}n×n trong đó

s ij = 1 nếu hàng hóa i có thể xếp được lên hàng hóa j Để thuận tiện, chúng ta tích hợp thứ tự sắp xếp vào trong ma trận sắp xếp.

Ta luôn có s ii = 0 với mọi i = 1, , n do không hàng hóanào có thể xếp lên trên chính nó Mật độ của một ma trận sắpxếp do đó được tính bởi tỉ số của số phần tử có giá trị 1 so với

số phần tử nằm ngoài đường chéo chính của ma trận đó.Ràng buộc sắp xếp cũng có thể được biểu diễn bởi đồ thịsắp xếp G S = (V, A) với tập đỉnh V = {1, , n} và tập các cung

có hướng

A = {(i, j) | i có thể xếp được lên trên j}.

Các ràng buộc sắp xếp có thể có tính chất bắc cầu theonghĩa nếu hàng hóa i có thể xếp được lên trên hàng hóa j, vàhàng hóa j có thể xếp lên trên hàng hóa k, thì hàng hóa i cũng có thể xếp lên trên hàng hóa k Ma trận sắp xếp được gọi là bắc cầu nếu với mọi i, j, k ∈ I = {1, , n} ta có s ij = 1 và s jk = 1 thì cũng có

s ik = 1

1.4 Mục tiêu sắp xếp

Bài toán sắp xếp kho vận đơn giản nhất là bài toán xácđịnh xem có thể tìm được một cách sắp xếp khả thi với cácràng buộc sắp xếp nêu trên hay không Nếu bài toán đó khảthi, ta quan tâm đến các mục tiêu sau đây

• #St: tối thiểu tổng số ngăn xếp được sử dụng

• #BI: tối thiểu tổng số hàng hóa được sắp xếp ở vị trí khôngthuận lợi cho việc bốc dỡ theo thứ tự thời gian xuất bến

Với mục tiêu này, mỗi hàng hóa i có một giá trị d i chỉ thờigian hàng hóa đó được bốc dỡ khỏi khu vực sắp xếp Hàng

hóa i được gọi là chặn hàng hóa j nếu chúng cùng trong một ngăn xếp và j cần được bốc dỡ sớm hơn i (tức là d j <

d i ) Nếu hàng hóa i chặn hàng hóa j, ta nói i bị sắp xếp

không thuận lợi

Trong trường hợp b = 3, Định lý 4 [3] đã khẳng định rằng bài

toán tìm phương án sắp xếp khả thi là NP-đầy đủ ngay cả khi

không có hàng hóa xếp sẵn trong khu vực sắp xếp (I f ix = ∅) và

ràng buộc sắp xếp có tính chất bắc cầu Trong trường hợp b = k với k ≥ 4, kết quả tương tự đã được chỉ ra trong Định lý 2.11 [6].

F = {(i, q, l) ∈ I f ix ×Q×L|i ∈ I f ix được xếp trong ngăn q tầng ℓ}.

Ta có mô hình quy hoạch nhị phân cho bài toán #St như sau

(2.10)

• A s = {(s, i) | i ∈ I ∗ hoặc i ∈ I f ix nằm trên cùng của 1 ngăn};

• A t = {(j, t) | j ∈ I ∗ hoặc j ∈ I f ix nằm dưới cùng của 1 ngăn}

Ký hiệu

A0 = {(i, j) ∈ I f ix × I f ix |i được xếp sẵn ngay trên j}.

Chúng ta sử dụng các biến x ij tương ứng với các cung (i, j) ∈

Ta có mô hình sau cho bài toán #St.

M y i ≥ d i − c i

c i ≤ c j + (1 − x ij )

2.2.3 Mô hình đóng gói

Mô hình này yêu cầu tính bắc cầu của ràng buộc sắp xếp.Trong mô hình này, ta chỉ cần xác định xem hàng hóa nào cầnđược xếp vào trong ngăn xếp nào Vị trí của mỗi hàng hóa trongngăn xếp của nó được xác định thông qua tính bắc cầu của ràngbuộc sắp xếp giữa các hàng hóa trong cùng ngăn xếp Ta sử

dụng các biến nhị phân x i q với i ∈ I và q ∈ Q theo ý nghĩa

{

1 nếu i được xếp vào ngăn q,

x ij =

0 nếu ngược lại

Ta sử dụng thêm các biến z q với q ∈ Q với ý nghĩa

F bin top = {(i, q) ∈ I f ix × Q | i là hàng I f ix cao nhất trong q}.

Ký hiệu tập hợp các ngăn xếp chứa ít nhất một hàng hóa loại I f ix bởi Q f ix Với mỗi q ∈ Q f ix , gọi b q là số hàng hóa I f ix đã có sẵn

trong ngăn xếp đó Bài toán #St có thể mô hình hóa như sau.

∑

q∈Q

1} n×n và giả sử tồn tại các hàng hóa tương đương Khi đó ta có thể chuyển S về một ma trận sắp xếp S ′ sao cho

(i) không có hàng hóa tương đương theo quan hệ định nghĩa bởi

S′ ,

(ii) S ′ bắc cầu, và

(iii) mỗi phương án sắp xếp khả thi theo S có thể chuyển về một phương án khả thi theo S ′ mà không làm tăng số ngăn xếp được sử dụng cũng như số hàng hóa bị xếp ở vị trí không thuận lợi.

0 nếu ngược lại.

Ta có mô hình sau cho bài toán #BI

(BIBin) min

s.t

j I ∗ \{i}

Chúng tôi tạo ngẫu nhiên các ví dụ số cho các thử nghiệm,với số hàng hóa như sau.

Thứ tự sắp xếp bao gồm 5 tập hợp I f ix → I1 → I2 → I3 → I4 Sốphần tử trong mỗi tập hợp này được tạo ngẫu nhiên, với tổng

số phần tử bằng n xác định như trên Số phần tử trong I f ix bịgiới hạn trên bởin5

Để tạo cấu hình sắp xếp cho các hàng hóa có sẵn trongkho bãi, chúng tôi phân bố ngẫu nhiên số hàng hóa trong I f ix

vào |I f ix | ngăn xếp sao cho không có ngăn nào bị xếp đầy bởicác hàng hóa trong tập hợp này Thời gian xuất bến của mỗihàng hóa được chọn ngẫu nhiên trong {1, 2, , 6}

Chúng tôi tạo ngẫu nhiên các ma trận sắp xếp bằng cáchgán với mỗi hàng hóa một bộ 3 tham số w1, w2, w3 và chọn giátrị cho các tham số này trong tập hợp {1, 2, 3} Với mỗi cặphàng hóa i, j ∈ I f ix ta đặt s ij = 1 nếu hàng hóa i được đặt ngay trên hàng hóa j trong cùng một ngăn xếp Với mỗi hàng hóa i ∈

I ∗ = I\I f ix và bất kỳ hàng hóa j ∈ I, ta đặt s ij = 1 nếu i đến sau j và

w l i ≤ w l j với mọi l ∈ {1, 2, 3} Theo cách này, các ma trận sắp xếp

thu được sẽ có tính chất bắc cầu

Về kích cỡ kho bãi, chúng tôi chọn giá trị {4, 5, 6} cho sốtầng b trong các ngăn xếp Với bài toán #St, chúng tôi khởi tạo giá trị số ngăn xếp m = n2 Với bài toán #BI, chúng tôi khởi tạo giá trị số ngăn xếp m là giá trị tối ưu của bài toán #St với dữ liệu

tương ứng

3.2 Kết quả thực nghiệm

Chúng tôi tiến hành các thực nghiệm trên máy tính PC tel(R) Core(TM) i5-4210U, CPU 1.7GHz and 4GB RAM Dữliệu cho các bài toán được tạo bởi Visual Basic NET Chúngtôi sử dụng ZIMPL 3.3.2 [8] để cài đặt các mô hình, và sửdụng GUROBI 9.1.2 [9] giải số các mô hình này

In-Chúng tôi đã tiến hành 3 thực nghiệm Trong thực nghiệm đầutiên, chúng tôi nhận thấy các mô hình sử dụng tiếp cận đóng gói cótốc độ giải số vượt trội hơn hẳn so với các mô hình sử dụng 2 tiếpcận còn lại Trong thực nghiệm thứ hai, chúng tôi thấy rằng thời gianchạy của các mô hình sử dụng tiếp cận 3 chỉ số và tiếp cận đóng góigiảm đáng kể khi số ngăn xếp được giảm xuống Trong thực nghiệmthứ ba, chúng tôi nhận thấy số hàng hóa bị xếp không thuận lợi giảmđáng kể khi số ngăn xếp tăng lên

Kết luận

Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu bài toán sắp xếpkho vận nảy sinh trong hoạt động của các tàu container vàcảng container Chúng tôi trình bày một số kết quả về độ phứctạp tính toán của bài toán, một số mô hình quy hoạch nguyênhỗn hợp cho bài toán và đánh giá hiệu quả các mô hình đó.Trong Chương 1, chúng tôi trình bày cụ thể phát biểu củacác bài toán được nghiên cứu trong luận văn Trong các bàitoán này, chúng ta cần sắp xếp các hàng hóa vào trong cácngăn xếp có cùng số tầng Hàng hóa đến khu vực sắp xếptheo thứ tự trong các tập hợp Khu vực sắp xếp có thể có sẵnmột số hàng hóa trong đó Ràng buộc sắp xếp quy định hànghóa nào được phép xếp trên hàng hóa nào Mục tiêu của bàitoán là tối thiểu hoặc số ngăn xếp được sử dụng, hoặc sốhàng hóa bị đặt ở vị trí không thuận lợi

Trong Chương 2, chúng tôi chỉ ra rằng khi mỗi ngăn xếp có sốtầng bằng 2 thì các bài toán trên có thể giải trong thời gian đathức bằng cách sử dụng kỹ thuật ghép cặp trong lý thuyết đồ thị.Bài toán sắp xếp kho vận với mỗi ngăn xếp có số tầng ít nhất là 3được tin là NP-hard, do đó chúng tôi đề xuất 3 tiếp cận mô hìnhhóa mỗi bài toán được nghiên cứu dưới dạng bài toansn quyhoạch nguyên hỗn hợp Tiếp cận thứ nhất sử dụng các biến nhịphân 3 chỉ số để ghi nhận hàng hóa nào được xếp vào tầng nàocủa ngăn xếp nào Tiếp cận thứ hai biểu diễn các ràng buộc sắpxếp dưới dạng đồ thị sắp xếp, sau đó nhúng đồ thị này vào mộtluồng mạng và coi mỗi ngăn xếp như một luồng có độ dài tối đa

cho trước Tiếp cận cuối cùng xem mỗi ngăn xếp như một hộp

và xác định xem hàng hóa nào được xếp vào hộp nào, vị trí cụthể của hàng hóa sẽ được xác định thông qua tính chất bắccầu của các ràng buộc sắp xếp

Mục đích của Chương 3 là xác định mô hình tốt nhất trongcác mô hình đã trình bày trong Chương 2 Chúng tôi trình bàyquy trình tạo ngẫu nhiên các ví dụ số cho các bài toán đượcnghiên cứu, đánh giá hiệu quả của các mô hình trên các ví dụ sốnày Kết quả thực nghiệm cho thấy tiếp cận đóng góp có hiệu quảvượt trội hơn các tiếp cận khác về tốc độ giải số, và số lượngngăn xếp có ảnh hưởng lớn tới hiệu quả của các mô hình cũngnhư số lượng hàng hóa bị xếp ở vị trí không thuận lợi

Tài liệu tham khảo

[1] J Lehnfeld and S Knust Loading, unloading and shalling of stacks in storage areas: Survey and

premar-classification European Journal of Operational Research, 239(2): 297–312, 2014.

[2] T Oelschlägel and S Knust Solution approaches for stor-age

loading problems with stacking constraints Computers &

Operations Research, 127:105142, 2021.

[3] F Bruns, S Knust, and N V Shakhlevich Complexity results

for storage loading problems with stacking constraints pean Journal of Operational Research, 249:1074–1081, 2016.

Euro-[4] S Even and O Kariv An O(n 2.5) algorithm for maximum

matching in general graphs In Proceedings of the 16th

Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science, pages 100–112 IEEE, New York, 1975.

[5] H Gabow An e icient implementation of Edmonds’ algo-ff

rithm for maximum matching on graphs Journal of the

ACM, 23(2):221–234, 1976.

[6] X T Le Robust solutions to storage loading problems under uncertainty PhD thesis, Osnabrück Universität, 2017.

[7] X T Le and S Knust MIP-based approaches for robust

stor-age loading problems with stacking constraints Computers &

Operations Research, 78:138–153, 2017.

[8] T Koch Rapid Mathematical Programming PhD thesis,

Tech-nische Universität Berlin, 2004

[9] https://www.gurobi.com/