Bài tiểu luận Toán cao cấp Lin

B.NỘI DỤNG Chương 1: Tính liên tục của hàm số một biến số 1.Khái niệm Khái niệm về giới hạn có nhiều ứng dụng trong giải tích hiện đại.Cụ thể,nhiều định nghĩa của tính liên tục sử dụng g

A.PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn để tài

Toán nói chung và toán giải tích nói riêng có những ứng dụng trong nghành khoa học khác nhau , đặc biệt trong khoa học công nghệ thông tin Các nghiên cứu và phân tích về mặt định lượng được tiến hành thông qua quy mô toán

Vì thế mà các nhà nghiên cứu ngành công nghệ thông tin có nhu cầu sử dụng nhiều công cụ toán học , đặc biệt là công cụ giải tích như đạo hàm và các phương pháp tối ưu Đề tài tiểu luận này đề cập đến những kiến thứchàm số liên và ứng dụng Việc tìm hiểu kiến thức này là hoàn toàn cần thiết và bổ ích giúp ta hiểu sau hơn về hàm số nói chung và hàm số liên tục nói riêng Đó cũng là lý do em chọn “Tính liên tục của hàm số một biến số” làm đề tài nghiên cứu

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về hàm số liên tục và bài tập liên quan

3 Đối tượng nghiên cứu

- Hàm số liên tục : định nghĩa , tính chất

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp tính liên tục của hàm số một biến số

Phương pháp hàm số

5.Kết cấu của đề tài

Bài tiểu luận nay có 2 gồm:

Chương 1: Tính liên tục của hàm số một biến số

Chương 2: Bài tập liên quan

B.NỘI DỤNG Chương 1:

Tính liên tục của hàm số một biến số 1.Khái niệm

Khái niệm về giới hạn có nhiều ứng dụng trong giải tích hiện đại.Cụ thể,nhiều định nghĩa của tính liên tục sử dụng giới hạn: một hàm số gọi là liên tục nếu tất cả giới hạn của nó bằng với giá trị của nó.Giới hạn cũng xuất hiện trong định nghĩa của đạo hàm:trong giải tích một biến,đạo hàm là giá trị giới hàm của độ dốc của đường cát tuyến với đồ thị của một hàm số

Giả sử một người đang đi trên đồ thị của hàm số y = f(x).Hoành độ của người đó là giá trị của biến x,còn độ cao là giá trị của tung độ y.Người đó đi lại gần

vị trí có hoành độ là a.Khi người đó tiến càng gần đến vị trí đó,cô ta nhận ra độ cao của cô tiếp xúc L.Nếu được hỏi về độ cao của điểm x = a,cô ấy sẽ trả lời là L

Vậy,nói độ cao của người đó tiếp cận L có nghĩa là độ cao của cô ấy càng gần L với sai số có thể làm nhỏ tùy ý.Ví dụ,ta đặt mục tiêu cho sai số đó bé hơn mười mét,cô ta bảo rằng cô có thể làm được bằng cách tiến gần hơn đến vị trí a,chẳng hạn là trong khoảng cách năm mươi mét (theo chiều ngang).Tức miễn là

cô đứng cách a không quá năm mươi mét thì độ cao của cô sẽ cách L không quá mười mét

Tương tự,không nhất thiết phải là mười mét,nếu yêu cầu sai số xuống còn một mét,cô ấy vẫn có thể đạt được độ cao cần thiết bằng cách tiến gần đến a hơn.Tóm lại,nói độ cao của người đó tiếp cận L khi cô ấy tiến về vị trí a nghĩa là với bất kỳ sai số tối đa nào, dù nhỏ cỡ nào đi nữa,cũng tồn tại một vùng quanh a

mà trong đó độ cao của người đó nằm trong sai số yêu cầu ấy

Lời giải thích trên có thể được phát biểu như sau:

Giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới p là một số L thỏa mãn tính chất: với bất kì khoảng cách nào từ L,có một vùng xung quanh p mà trong đó giá trị của f(x) nằm trong khoảng cách đã cho.Phát biểu trên khá gần với định nghĩa hoàn

chỉnh của giới hạn của một hàm số có giá trị trong một không gian Hausdorff Định nghĩa sau đây,(thường được gọi là định nghĩa (ε,δ)),nhìn chung được chấp nhận trong nhiều hoàn cảnh khác nhau

Giả sử f: R → R được định nghĩa trên tập số thực và a,L ∈ R Ta nói giới hạn của f, khi x tiến tới a, là L và viết

nếu tính chất sau là đúng: Với mọi số thực ε > 0, tồn tại một số

thực δ > 0 sao cho với mọi x thỏa 0 < |x − a| < δ thì |f(x) − L| < ε.

Có thể thấy giới hạn của hàm số không phụ thuộc việc f có nghĩa tại a,và cũng không phụ thuộc vào giá trị của f tại a,tức f(a).

1.1. Hàm số liên tục

Định nghĩa 1: Cho hàm số xác định trên khoảng Hàm

số được gọi là liên tục tại nếu

Hàm số không liên tục tại được gọi là gián đoạn tại điểm đó

Chú ý:Khi xét tính liên tục của hàm số tại một điểm,đặc biệt chú ý đến điều kiện hàm số xác định trên một khoảng(dù nhỏ)chứa điểm đó

Định nghĩa 2:Hàm số được gọi là liên tục trên một khoảng nếu

nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó

Hàm số được gọi là liên tục trên một đoạn nếu nó liên tục

Chú ý:Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đó

Các định lý về hàm số liên tục

Định lý 1:Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó (trong trường hợp thương,giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác )

VD2:

a) Hàm đa thức liên tục trên

b) Hàm phân thức hữu tỉ, hàm lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định

c) Các hàm số sơ cấp liên tục trên từng khoảng xác định của chúng

VD3:Nếu hàm số lên tục trên đoạn và thì tồn tại ít nhất một điểm sao cho

Chú ý: Nếu liên tục trên đoạn và thì phương trình có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng

Hàm số liên tục tại một điểm

liên tục tại

– Để xét tính liên tục của hàm số tại điểm ta thực hiện các bước: Bước 1: Tính

Bước 2: Tính (trong nhiều trường hợp ta cần tính

Bước 3: So sánh với và rút ra kết luận

Bước 4: Kết luận

Hàm số liên tục trên một khoảng

liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó

Hàm số liên tục trên một đoạn

Hàm số đa thức liên tục trên

Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng

Khi đó:

– Hàm số liên tục tại nếu

Nếu liên tục trên và thì tồn tại ít nhất một

Nói cách khác: Nếu liên tục trên và thì phương trình có ít nhất một nghiệm

Mở rộng: Nếu liên tục trên [a; b] Đặt , Khi đó với mọi luôn tồn tại ít nhất một số :

Giả sử liên tục tại điểm

Khi đó:

– Hàm số liên tục tại nếu

Nếu liên tục trên và thì tồn tại ít nhất một

Nói cách khác: Nếu liên tục trên và thì phương trình có ít nhất một nghiệm

Mở rộng: Nếu liên tục trên [a; b] Đặt , Khi đó với mọi luôn tồn tại ít nhất một số :

1.1.2.Các tính chất cơ bản

+ Tổng, hiệu, tích thương (với điều kiện mẫu khác 0 ) của các hàm liên tục tại a là hàm liên tục tại a

+ Nếu hàm f liên tục tại a và hàm g liên tục tại f (a) thì hàm hợp g ◦ f

liên tục tại a

+ Nếu f liên tục tại a và f (a) > L thì f (x) > L ở lân cận của a hay

∃δ > 0 sao cho f (a) > L với mọi x mà |x − a| < δ

1.2.Một số tính chất của liên tục

Định lý 1.1.(Tính trù mật của hàm liên tục).Nếu hàm f (x) liên tục

trên đoạn [a;b] và f (a)f (b) < 0 thì tồn tại c ∈ (a;b) sao cho f (c) = 0

Chứng minh Để chứng minh định lí ta thực hiện phương pháp chia đôi đoạn [a; b].Nếu trong quá trình thực hiện ta tìm được điểm c ∈ (a; b) sao cho f (c)

= 0 thì định lí được chứng minh.Nếu không tìm được c thì quá trình trên giúp ta xây dựng được các dãy đoạn lồng nhau [an;bn ] trong đó

b−a f (an)< 0,f (bn) > 0 và cn = bn − an = n

Ta có :

lim f (an ) = f ( lim an ) = f (c) ≤ 0

n→∞ n→∞

Tương tự lim f (bn ) = f ( lim bn ) = f (c) ≥ 0,

n→∞ n→∞

trong đó c ∈ (a; b) Vậy tồn tại c ∈ (a; b) sao cho f (c) = 0

1.2.1.( Định lý về giá trị trung gian của hàm liên tục)

Nếu f (x) liên tục trên [a;b],thì f (x) nhận giá trị trung gian giữa f (a) và f (b).Tức là,với mọi γ nằm giữa f (a) và f (b) luôn tồn tại giá trị c ∈ [a;b] sao cho

f (c) = γ

Chứng minh.Không mất tính tổng quát,giả sử f (a) < f (b)

Ta thấy định lý dễ dàng được chứng minh khi γ = f (a) hoặc γ = f (b)

Xét γ với f (a)< γ < f (b) ta đi chứng minh tồn tại giá trị c ∈ [a;b] sao

cho f (c) = γ

Thật vậy, xét hàm g(x) = f (x) − γ là một hàm liên tục trên [a;b]

Ta lại có g(a) < 0,g(b) > 0 theo Định lý

1.3.luôn tồn tai giá trị γ ∈ (a;b) để g(c) = 0.

Điều đó cho thấy luôn tồn tại giá trị c ∈ [a; b] sao cho f (c) = γ Định lý được chứng minh

Chương 2 Bài tập liên quan

1 Phương pháp giải & Ví dụ

Ta sử dụng phương pháp chung để làm các bài toán dạng này

Bài 1: Tìm các giới hạn sau:

Giải:

Ta có:

Bài 2: Xét xem các hàm số sau có giới hạn tại các điểm chỉ ra hay không? Nếu có hay tìm giới hạn đó?

Giải:

Bài 3: Tìm m để các hàm số:

Ta có:

Bài 4: Tìm các giới hạn sau:

Giải:

Ta có:

Bài 5: Xét tính liên tục của hàm số sau tại x = 3 Giải:

6 Hàm số xác định trên R

Ta có f(3) = 10/3 và

Vậy hàm số không liên tục tại x = 3

1 Ta có f(3) = 4 và

Vậy hàm số gián đoạn tại x = 3

Bài 7: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên toàn trục số

1 f(x) = tan2x + cosx

Giải:

1 TXĐ:

Vậy hàm số liên tục trên D

2 Điều kiện xác định:

Vậy hàm số liên tục trên (1;2) ∪ (2,+∞)

Bài 8: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm chỉ ra

Giải:

Ta có

Vậy hàm số liên tục tại x = 1

Bài 9: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm chỉ ra

Giải:

Vậy hàm số không liên tục tại điểm x = -1

Bài 10: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm đã chỉ ra

Ta có:

Vậy hàm số liên tục tại x = 1 Bài 11: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm đã chỉ ra

Giải:

Ta có:

Vậy hàm số gián đoạn tại x = -1

Bài 12: Chọn giá trị f(0) để các hàm số sau liên tục tại điểm x = 0

Ta có:

Bài 13: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm chỉ ra

Giải:

Ta có:

Vậy hàm số không liên tục tại điểm x = -1

Bài 14: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm chỉ ra

Ta có:

Vậy hàm số liên tục tại x = 1

Bài 15: Tìm m để hàm số sau: liên tục trên R

Giải:

Với x > 0 ta có nên hàm số liên tục trên (0; +∞)

Với x< 0 ta có nên hàm số liên tục trên (-∞; 0)

Do đó hàm số liên tục trên R khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x = 0

Ta có: f(0) = 3m + 1

Do đó hàm số liên tục tại x = 0 ⇔ 3m + 1 = 0,5 ⇔ m =

Vậy thì hàm số liên tục trên R

Ví dụ 16: Tìm m để hàm số sau liên tục tại các điểm chỉ ra:

Giải:

Ta có:

Để hàm số liên tục tại x = 1⇔ m =

Bài 17: Tìm a để hàm số sau liên tục tại các điểm chỉ ra:

Giải:

Ta có:

Để hàm số liên tục tại x = 0 thì 2a = 1 hay a = 0,5

C.TÀI LIỆU THAM KHẢO

1.http://giaoanmau.com/giao-an/tieu-luan-tinh-lien-tuc-cua-ham-mot-bien-va-dao-ham-42203/

3 https://vietjack.com/toan-lop-11/xet-tinh-lien-tuc-cua-ham-so

4 https://vndoc.com/xac-dinh-tham-so-de-ham-so-lien-tuc-202462

5

https://123docz.net/document/3478660-ham-so-lien-tuc-va-bai-tap-lien-quan.htm

MỤC LỤC

A PHẦN MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Đối tượng nghiên cứu Tính khả vị trên hàm số nhiều biến 1

3 Mục đích nghiên cứu 1

4 Phạm vi nghiên cứu 2

5 5.Phương pháp nghiên cứu 2

6 6.Kết cấu của đề tài 2

B B.NỘI DỤNG 3

Chương1 : Tính liên tục của hàm số một biến số 3

1 1.Khái niệm 3

1.1 1.1 Hàm số liên tục

4 1.2 1.2.Một số tính chất của liên tục 7

1.2.1 1.2.1.( Định lý về giá trị trung gian của hàm liên tục) 7

1.3 1.3.luôn tồn tai giá trị γ ∈ (a;b) để g(c) = 0

8 Chương2 : Bài tập liên quan

12 1 1 Phương pháp giải & Ví dụ 12

C TÀI LIỆU THAM KHẢO 17