SKKN góp phần nâng cao năng lực toán học cho học sinh thông qua dạy học vận dụng tính chất hình học vào bài toán cực trị hình không gian

Việc vận dụng tính chất hình học để giải các bài toán cực trị hình không giankhông những mang lại hiệu quả cao mà qua đó còn có tác dụng rất lớn đến việchoàn thiện và phát triển các phẩm

Phần 1 Đặt vấn đề

1.1 Lý do chọn đề tài

Hình học không gian là chủ đề hiện nay được giáo viên và học sinh giànhnhiều sự quan tâm và chú trọng trong quá trình dạy học Đặc biệt hơn nữa chủ đềnày thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi trung học phổ thông quốc gia, kỳ thitốt nghiệp trung học phổ thông và kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp

Qua thực trạng dạy học bản thân nhận thấy các bài toán cực trị hình không

gian cổ điển và hình không gian Oxyz luôn là những thách thức thực sự dành cho

người dạy và người học Để giải quyết được dạng bài tập hình học này đòi hỏingười học phải có tư duy linh hoạt, sáng tạo trong giải toán

Yêu cầu về đổi mới phương pháp dạy học luôn là đòi hỏi cấp thiết hàng đầucủa ngành giáo dục đối với giáo viên, đặc biệt đối với chủ đề cực trị hình khônggian là một chủ đề hay và khó của môn toán nên người dạy phải có một trình độchuyên môn vững vàng, có kiến thức sâu rộng và linh hoạt, sáng tạo trong việc lựachọn phương pháp dạy học

Việc vận dụng tính chất hình học để giải các bài toán cực trị hình không giankhông những mang lại hiệu quả cao mà qua đó còn có tác dụng rất lớn đến việchoàn thiện và phát triển các phẩm chất năng lực Toán học cho học sinh Đồng thờigóp phần quan trọng vào công cuộc đổi mới phương pháp dạy học cho giáo viên

Chính vì những lý do nêu trên nên bản thân tôi quyết định lựa chọn đề tài

“Góp phần nâng cao năng lực toán học cho học sinh thông qua dạy học vận dụng tính chất hình học vào bài toán cực trị hình không gian”

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận dạy học

- Nghiên cứu một số tính chất hình học phẳng và hình học không gian vào giải quyết bài toán cực trị hình không gian

- Hướng dẫn học sinh biết cách khai thác các tính chất trong hình học phẳng

và hình học không gian để giải quyết bài toán cực trị hình học không gian Từ đó

biết vận dụng vào bài toán cực trị Oxyz.

- Bước đầu giúp học sinh biết cách tìm tòi, phát hiện các tính chất của hình học Đồng thời nâng cao tinh thần và năng lực tự học, tự nghiên cứu các vấn đề nảysinh trong toán học

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Học sinh khá giỏi THPT, sinh viên các trường sư phạm,…

- Giáo viên giảng dạy môn toán THPT

Phần 2 Nội dung nghiên cứu

- Nội dung đề tài mang tính thời sự cao và đáp ứng được nhu cầu giảng dạy cũng như học tập của nhiều giáo viên và học sinh

2.3 Tính ưu việt của đề tài

Việc sử dụng tính chất hình học vòa bài toán cực trị hình không gian nó làm cho bản chất của bài toán được bộc lộ rõ hơn Đồng thời, cách giải quyết này

thường ngắn gọn và khắc sâu hơn về kiến thức hình học được đề cập đến

Việc vận dụng tính chất hình học vào bài toán cực trị hình học không gian không chỉ đơn thuần dừng lại ở phương pháp giải toán mà thông qua đó giúp học sinh phát triển được tư duy linh hoạt, khả năng sáng tạo trong giải toán

Hướng triển khai của đề tài giúp giáo viên và học sinh có được nguồn tài liệu

bổ ích phục vụ cho công tác giảng dạy và học tập bộ môn hình học không gian hiệuquả hơn

2.4 Hướng triển khai của đề tài

2.4.1 Định hướng chung về phương pháp giải toán

Việc đề xuất các hướng giải quyết cho bài toán cực trị hình không gian vô

sẽ có được sự nhìn nhận vấn đề một cách tốt hơn là việc phải mò mẫm Qua đó học sinh sẽ vạch ra được các hướng giải quyết cho mỗi bài toán và có được sự lựa chọn phù hợp dựa vào đặc thù của mỗi bài toán Cụ thể ta có các hướng giải quyết sau:

- Gắn biến để đưa về đưa về bài toán min – max của hàm một biến hoặc nhiều biến

- Sử dụng công cụ véc tơ;

- Xây dựng đẳng thức trung gian;

- Đánh giá trực tiếp, …

2.4.2 Đề xuất một số tính chất hình học thường được sử dụng để giải toán

2.4.2.1 Tính chất hình học liên quan đến độ dài, khoảng cách.

Tính chất 1 Trong không gian, cho 2 điểm phân biệt Với điểm tùy ý, ta luôn có:

 Dấu “=” xảy ra khi thẳng hàng và thuộc đoạn

 Dấu “=” xảy ra khi thẳng hàng và nằm ngoài đoạn ( có thể trùng với hoặc )

Tính chất 2 Cho mặt phẳng và điểm Với điểm tùy ý thuộc

ta luôn có: , với là hình chiếu vuông góc của trên Dấu “=” xảy ra khi

Tính chất 3 Cho đường thẳng và điểm Với điểm tùy ý trên , ta luôn có , với là hình chiếu vuông góc của trên Dấu “=” xảy ra

M

C B

2.4.2.2 Tính chất hình học liên quan đến tỉ số diện tích.

2.4.2.2.1 Một số trường hợp về tỉ số diện tích trong tam giác

+) Tỉ số diện tích của hai tam giác có chung đường cao bằng tỉ số độ dài các cạnh đáy

Cho tam giác , là một điểm thuộc

cạnh và không trùng với các đỉnh (như

hình vẽ bên) Ta có tỉ số sau:

+) Tỉ số diện tích của hai tam giác có chung cạnh đáy bằng tỉ số độ dài cácđường cao

Cho tam giác , là một điểm tùy ý

thuộc miền trong tam giác Gọi là giao

điểm của với (như hình bên) Khi đó, ta

C B

A

Bằng kinh nghiệm dạy học 16 năm, cùng với việc thường xuyên ôn thi cho đội tuyển dự thi HSG cấp tỉnh tác giả đã đúc rút được bài toán sau về tỉ số trong tam giác dựa trên nền tảng tỉ số diện tích trong tam giác mà tác giả đã đề cập đến trong

đề tài SKKN năm 2019 – 2020 của chính tác giả

“Cho tam giác Gọi lần lượt là

hai điểm thuộc cạnh (không trùng

với A) Trên cạnh lấy điểm thỏa

mãn Gọi là giao điểm của

C B

A

2.4.2.3 Tính chất hình học liên quan đến tỉ số thể tích.

 Tỉ số thể tích khối chóp tam giác:

Cho hình chóp tam giác Trên các cạnh lần lượt lấy các điểm

(không trùng với đỉnh ), khi đó ta có công thức tỉ số thể tích sau:

Cho lăng trụ tam giác Trên các cạnh lần lượt lấy các

Chứng minh.

Hoàn toàn tương tự ta cũng có công thức tỉ số cho khối hộp như sau:

2.4.2.4 Tính chất liên quan đến véc tơ.



 Cho điểm phân biệt và bộ số thỏa mãn

Khi đó tồn tại duy nhất điểm sao cho

 Trong không gian, bốn điểm đồng phẳng khi và chỉ khi với điểm

Trên đây là một số tính chất hình học thường được sử dụng khi giải toán cực trị hình học không gian mà tác giả đề cập đến Ngoài ra ta còn có thể bặt gặp thêm một số tính chất khác trong quá trình giải toán

2.4.3 Phân tích, định hướng giúp học sinh phát hiện và sử dụng tính chất hình học cho các bài toán cực trị hình không gian.

Trong nội dung này, tác giả chọn lọc và đưa ra một số bài toán cực trị hình không

Phân tích:

 Biểu thức gợi ta nghĩ đến việc sử dụng tính chất 1

 Tuy nhiên và không đồng phẳng nên dấu “=” không xảy ra

 Ta nghĩ đến việc thay thế điểm bởi một điểm thỏa mãn 2 điều kiện:

và cắt nhau tại điểm thuộc đoạn thuộc mặt phẳng

Để thỏa mãn được điều kiện này ta cần phát hiện thêm các tính chất hình học khác của hình chóp.

 Ta phát hiện ra tam giác đều, kết hợp với giả thiết suy ra

là hình chiếu của đỉnh trên mặt phẳng Do đó, để

thì phải thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác .

P

N

M

I H

D

C B

A S

Từ các phân tích trên ta có định hướng cho bài toán như sau:

Bước 1: Chứng minh

Bước 2: Trong mặt phẳng đáy, gọi là điểm đối xứng với qua

Bước 4: Tính độ dài đoạn thẳng và kết luận Để tính ta sử dụng định lí

Mặt phẳng bất kỳ qua cắt các cạnh tại Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác

Để giải quyết bài toán này ta sử dụng phương pháp trải phẳng Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh nhận ra được cách giải quyết này? Ta cần có những phân

tích hợp lý để lời giải bài toán đến với người học một cách tự nhiên dễ hiểu chứ không mang tính áp đặt, cho sẵn.

Phân tích.

 Tổng trên có quy luật nối tiếp nhau nên ta nghĩ đến việc sử dụng tính chất 1

 Vì 3 đoạn thẳng thuộc 3 mặt bên của hình chóp nên chưa thể

áp dụng tính chất 1 ngay được Hơn nữa việc gắn biến hoặc xây dựng mối

liên hệ giữa 3 đoạn thẳng này cũng chưa có cơ sở để thực hiện

 Có cách nào đưa về tổng của 3 đoạn thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng

mà độ dài của chúng vẫn được bảo toàn hay không?

 Ta cần một cách nào đó để cho 3 mặt bên của hình chóp cùng nằm trong mộtmặt phẳng?

 Từ đó học sinh sẽ nghĩ đến việc trải hình chóp ra phẳng như hình vẽ dưới đây

S

C

B A

Vậy, chu vi tam giác nhỏ nhất bằng

Từ bài toán này, bạn đọc có thể tự giải quyết hai bài toán tương tự sau

Bài toán 2.1 Người ta cần trang trí một

kim tự tháp hình chóp tứa giác đều

cạnh bên bằng , góc

bằng đường gấp khúc dây đèn

led vòng quanh kim tự tháp

(như hình vẽ) Trong đó điểm cố định và Tính đọ

dài đoạn dây tối thiểu dùng để trang trí

L

K

J I

H

E S

D

C B

A

Bài toán 2.2 Cho hình lập phương cạnh Một con kiến xuất phát từ đỉnh đi trên các mặt của hình lập phương Tính quãng đường ngắn nhất con kiến đi từ đến mà phải đi qua tất cả các mặt

của hình lập phương

Bài toán 3 Cho tứ diện và là một điểm nằm trong tứ diện Gọi

lần lượt là khoảng cách từ tới các đỉnh và lần lượt là chiều cao của tứ diện kẻ từ các đỉnh Chứng minh rằng:

Phân tích:

 Để giải quyết bài toán ta cần phát hiện một tính chất hình học liên quan đến

và Để phát hiện ra tính chất thì giáo viên cần mô tả bằng hình vẽ mẫu

BCD

h a

R a M

A

 Từ hình ảnh trên ta dễ dàng phát hiện ra một tính chất rất quan trọng là:

Ta cần tạo tỉ số , do đó ta nghĩ đến việc chia cả hai vế cho

Cộng vế theo vế của các BĐT (1), (2), (3), (4) ta được:

.Dấu “=” xảy ra là trọng tâm của tứ diện

Tiếp theo tác giả xin đề xuất một số bài toán cực trị mà việc sử dụng tính chất véc

tơ được xem là mẫu chốt để giải quyết vấn đề.

Bài toán 4 Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh a, và

Gọi là điểm di động trên mặt phẳng Tìm giá trị nhỏ

A

 Biểu thức có chứa 5 đại lượng biến thiên phụ thuộc nên ta nghĩ đến việc giảm các đại lượng biến thiên trong

 Biểu thức là tổng của các bình phương độ dài của các đoạn thẳng nên ta nghĩ đến việc sử dụng véc tơ để biến đổi như sau

 Vì đẳng thức trên đúng với điểm tùy ý nên để thuận lợi cho việc đánh giá

K H

D

C B

S

O

nhỏ nhất khi nhỏ nhất là hình chiếu của trên

, khi đó

Lại có:

Bài toán 5 Cho hình hộp chữ nhật có

Gọi là trung điểm của , mặt phẳng đi qua và cắt các tia tương ứng tại ba điểm phân biệt Tìm giá trị nhỏ nhất của

Lời giải.

B A

Nhận xét: Mẫu chốt của bài toán chính là việc phát hiện ra tính chất 4 điểm

đồng phẳng Cũng với ý tưởng này, xin mời bạn đọc đến với bài toán trong đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An, năm học 2020 – 2021 sau đây

Bài toán 6 (Trích đề thi HSG tỉnh Nghệ An, năm học: 2020 – 2021)

Cho hình chóp có đôi một vuông góc và ,

Gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác Một mặt phẳng thay đổi đi qua lần lượt cắt các tia tại

Lời giải.

I N

B

P

C

M A

Dấu “=” xảy ra khi (đpcm)

Nhận xét

Bài toán trên tương tự bài toán tác giả đề xuất trong đề tài SKKN của tác giả năm học 2019 – 2020 sau đây:

Gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác , là trung điểm của Mặt phẳng qua thay đổi luôn cắt các cạnh lần lượt tại ba điểm phân biệt

Ta có thể khái quát hóa bài toán 6 thành bài toán tổng quát hơn như sau:

“Cho hình chóp , là một điểm thuộc mặt phẳng thỏa mãn

Lấy là điểm thuộc đoạn ( không trùng với ) Mặt phẳng qua luôn cắt các tia lần lượt tại các điểm , , Đặt

Việc chứng minh bài toán trên ta cũng dựa vào tính chất 4 điểm đồng phẳng để xây

này ta có thể đề xuất nhiều bài toán cực trị khác

Việc sử dụng tỉ số diện tích và tỉ số thể tích trong bài toán cực trị hình học không gian là khá phổ biến, trong đề tài này tác giả đưa ra một số ví dụ minh họa để thấy được vai trò của của nó trong việc xây dựng đẳng thức trung gian.

Bài toán 7 Cho hình chóp Gọi là trọng tâm tam giác , là điểm bất kì thuộc miền trong tam giác Đường thẳng đi qua điểm và

song song với đường thẳng cắt các mặt phẳng lần lượt

Phân tích.

 Bất đẳng thức đã cho tương đương với

 Với biến đổi trên, gợi ta nghĩ đến việc xây dựng một đẳng thức trung gian

+) Gọi lần lượt là giao điểm của với các đường thẳng

+) Qua kẻ đường thẳng song song với cắt các đường lần lượt tại các điểm ; đây cũng chính là các giao điểm cần dựng

TH2: song song với cạnh của tam giác

Vì vai trò như nhau nên ta chỉ cần xét cho trường hợp

M G

C

B A

S

Giả sử cắt lần lượt tại và

Qua kẻ đường thẳng song song với cắt lần lượt tại

Vì nên mặt phẳng cắt theo giao tuyến đi qua và song song với ; và giao tuyến này cắt tại

Chứng minh

Xét tam giác , có

Tương tự:

Khi đó, Đến đây, giải tương tự như TH1.

Nhận xét: Mẫu chốt của bài toán trên ngoài việc sử dụng định lí talet để đưa các tỉ

số về các tỉ số trong mặt phẳng ta còn sử dụng thêm một tính chất quan trong về tỉ số diện tích trong tam giác

Bài toán 8 Cho hình chóp có đáy là hình thang (

) Gọi lần lượt là các điểm thuộc các cạnh và sao cho

và Một mặt phẳng thay đổi luôn chứa cắt và

lần lượt tại và Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Phân tích.

 Bài toán này ý tưởng giống với bài ở trên, tức là ta đi xây dựng một đẳng

thức trung gian liên quan đến và , điều này gợi ta nghĩ đến việc sử

dụng công thức (2.1) cho tam giác Do đó ta cần tính tỉ số .

 Để tính tỉ số ta lại sử dụng công thức (2.1) cho tam giác

Lời giải

+) Cách dựng và

Gọi

Trong mặt phẳng , kẻ đường thẳng qua

sao cho cắt các cạnh tại hai điểm

phân biệt và Hai điểm và chính là

hai điểm cần dựng

I Q

N

P M

B A

S

+) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Vì là hình thang có và

Áp dụng công thức (2.1) cho tam giác , ta được

Áp dụng công thức (2.1) cho tam giác , ta được

Áp dụng BĐT bunhiacopxki ta có:

Bài toán 9 Cho hình chóp có đáy là hình bình hành và có thể tích là Gọi là điểm trên cạnh sao cho Một mặt phẳng qua cắt các cạnh và lần lượt tại hai điểm phân biệt và Gọi là thể tích của

khối chóp Tìm giá trị lớn nhất của

Phân tích.

 Tỉ số là tỉ số thể tích của hai khối chóp tứ giác nên ta chưa thể áp dụng

trực tiếp công thức (2.2) cho tỉ số này Để áp dụng được công thức (2.2) ta

tách thành hai khối chóp tam giác để có thể áp dụng công thức (2.1)

 Bài toán xuất hiện khá nhiều tỉ số, do đó ta gắn biến để thuận lợi cho việc tìmmối liên hệ giữa chúng.

Nhận xét Ở bài toán này vị trí luôn tồn tại nên ta chưa cần phải tìm

miền giá trị đúng của Trong các bài toán cần tìm miền giá trị đúng của

thì ta phải tìm giới hạn của các điểm trên các cạnh và

Cuối cùng tác giả xin đề xuất một số bài toán cực trị có sử dụng đến tính chất của một số hình đa diện đặc biệt.

Bài toán 10 Cho tam giác nhọn có trực tâm Trên đường thẳng điqua vuông góc với mặt phẳng lấy điểm thay đổi khác Gọi làtrực tâm của tam giác Đường thẳng cắt tại Tìm giá trị nhỏ nhấtcủa biểu thức khi thay đổi trên

I

O

N

M P

B A

S

 Đến đây người học cần nhớ đến một tính chất quan trọng của loại tứ diện

ta giải quyết bài toán đặt ra

(vì tam giác nhọn nên nằm giữa và )

Từ đó, suy ra Dấu “=” xảy ra khi là trung điểm của

S

Bài toán 11 Cho tứ diện có các cạnh đôi một vuông góc với

diện tích các mặt của tứ diện Chứng minh rằng:

Phân tích:

 Đối với bài toán này người học cần

tái hiện được tính chất

(Bài tập 4b, trang

105, SGK hình học 11)

 Từ đó, ta cần biến đổi để sử dụng

được công thức trên

 Ở đây, ta cần lưu ý thêm các mặt là các tam giác vuông tại

K H

C

B A

S