SKKN đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng

Bản thân tôi đã rút ra được những phương phápchung để giải quyết một số bài toán liên quan đến đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.. Nội dung của đề tài nhằm rèn luyện cho học sinh

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT CÁT NGẠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ ỨNG DỤNG

BỘ MÔN: TOÁN.

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

MỤC LỤC

1.4 Cơ sở nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu 2

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề 92.3.1 Đồ thị hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối 92.3.1.1 Đồ thị hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối 92.3.1.2 Nhận dạng đồ thị hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối 172.3.2 Ứng dụng của đồ thị hàm số chứa dấu GTTĐ vào bài toán liên

2.4.2 Cách thức tiến hành thực nghiệm sư phạm 49

2.4.4 Hiệu quả của SKKN 52

PHẦN I: MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài.

Từ năm học 2016 - 2017, trong kì thi THPT QG đề thi môn toán chuyển từhình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan Chính điều đó đã tạo ramột sự chuyển biến đáng kể trong cách dạy và học ở các trường THPT Để đạtđược kết quả cao học sinh cần phải nắm vững các kiến thức cơ bản, thuần thục cácdạng toán và quan trọng hơn thế nữa phải linh hoạt, sáng tạo để chọn được cáchgiải quyết vấn đề tốt nhất

Trong các đề thi THPT QG những năm gần đây không thể thiếu các câu hỏi

về khảo sát hàm số và các vấn đề liên quan đến đồ thị hàm số Đặc biệt những bàitoán ở mức độ vận dụng, vận dụng cao thường xuất hiện hàm hợp, trong số đónhiều bài toán liên quan đến hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Những dạng toánnày thường gây khó khăn cho cả người dạy và người học Thực tiễn dạy học chothấy khi gặp bài toán liên quan đến hàm số chứa dấu GTTĐ học sinh thường engại Nhưng nếu học sinh được học tập đầy đủ có hệ thống, giáo viên xây dựngđược một số dạng bài tập phù hợp thì các em sẽ có khản năng tốt hơn để giải bàitập toán Đồng thời các em thấy hứng thú yêu thích môn học hơn, góp phần nângcao hiệu quả dạy và học ở trường phổ thông

Trong quá trình giảng dạy ôn thi và làm đề tôi thấy rất nhiều bài toán khó vềhàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Bản thân tôi đã rút ra được những phương phápchung để giải quyết một số bài toán liên quan đến đồ thị hàm số chứa dấu giá trị

tuyệt đối Tôi đã viết thành SKKN "Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng".

Nội dung của đề tài nhằm rèn luyện cho học sinh một số kỹ năng giải bài tậpliên quan đến đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Ngoài ra góp phần hìnhthành và phát triển các phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán họccho học sinh

Các đề thi THPT QG, đề tham khảo của bộ, đề thi thử THPTQG của các tỉnh,các trường trong những năm gần đây thì xuất hiện nhiều bài toán liên quan đến đồthị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Đề tài này cung cấp cho học sinh một sốphương pháp để giải bài toán liên quan đến đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

và cung cấp cho giáo viên thêm một tài liệu tham khảo để hướng dẫn học sinh giảiquyết trọn vẹn và nhanh gọn khi gặp bài toán dạng này, góp phần nâng cao kết quảdạy học, ôn thi THPT QG

Cung cấp tài liệu cho giáo viên và học sinh nhằm nâng cao hiệu quả ôn thiTHPT QG và chất lượng dạy học môn toán ở trường THPT.

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Đối tượng nghiên cứu của đề tài tập trung chủ yếu vào kiến thức về đồ thịhàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và phương pháp giải một số dạng bài toán liênquan đến đồ thị hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối

1.4 Cơ sở nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu.

Trong thực tiễn giảng dạy về hàm số ta hay gặp bài toán về hàm số chứa dấugiá trị tuyệt đối Nếu người giáo viên có thể hệ thống được ngắn gọn nhưng đầy đủ

lý thuyết Đồng thời xây dựng được hợp lí các phương pháp áp dụng lí thuyết đóvào việc giải các bài tập điển hình thì sẽ giúp học sinh chủ động, tự tin tiếp cận vàgiải quyết tốt các bài tập dạng này, từ đó khơi dậy khản năng vận dụng sáng tạocác kiến thức đã học của học sinh vào việc giải toán, gây hứng thú, đam mê họctập cho các em

Để nghiên cứ đề tài này tôi đã nghiên cứu các tài liệu viết về hàm số và đồthị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối cũng như các dạng toán liên quan thường xuấthiện trong các đề thi THPT QG, đề minh họa của bộ, đề thi thử của các trường Córất nhiều vấn đề liên quan đến hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối tuy nhiên tronggiới hạn của đề tài tôi chỉ tập trung nghiên cứu về một số dạng liên quan đến đồ thịhàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng của nó

1.5 Phương pháp nghiên cứu:

Trong quá trình nghiên cứu đề tài tôi đã sử dụng các phương pháp sau:

 Phương pháp nghiên cứu lý thuyết

 Phương pháp nghiên cứu thực tiễn

 Phương pháp thống kê toán học

Trên cơ sở phân tích kĩ chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo, phân tích

kĩ đối tượng học sinh Bước đầu mạnh dạn thay đổi từng tiết học, sau mỗi nội dungđều rút kinh nghiệm về kết quả thu được và đi đến kết luận

Lựa chọn các bài tập phù hợp từ dễ đến khó, vận dụng hoạt động năng lực tưduy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng chobài toán

1.6 Điểm mới của đề tài.

Trong nhiều đề thi những năm gần đây thì những bài toán liên quan đến hàmhợp đặc biệt là hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối xuất hiện khá nhiều Vấn đề này

đã gây không ít khó khăn cho giáo viên và học sinh trong quá trình giảng dạy và

học tập Sáng kiến kinh nghiệm "Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng" bắt kịp xu thế đổi mới hình thức ra đề, thi cử, đổi mới hoạt động dạy

học trong những năm gần đây, tạo thêm nguồn tài liệu cho giáo viên và học sinh

tham khảo Đề tài của tôi đã cung cấp được hệ thống kiến thức lý thuyết và phươngpháp cụ thể cho các dạng toán được nêu ra Đồng thời cập nhật được các bài tậpmới nhất trong đề thi THPT QG, đề minh họa của bộ và trong các đề thi thử THPT

QG của nhiều tỉnh thành trong cả nước Qua đó HS thấy được sự cần thiết phải họctập chuyên đề này

Trong thực tiễn giảng dạy của bản thân tôi đã áp dụng đề tài của mình vàogiảng dạy và đã thu được kết quả rất khả quan, hầu hết các em sau đó đã rất chủđộng và hứng thú khi tiếp cận với những bài toán liên quan hàm số chứa dấu giá trịtuyệt đối Từ đó phát huy tính tích cực, tư duy sáng tạo của mình trong học tập

Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong bồi dưỡngHSG, ôn thi THPT quốc gia cho HS khá giỏi, ôn thi GVG trường

PHẦN II: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận của đề tài.

2.1.1 Định nghĩa giá trị tuyệt đối.

 Giá trị tuyệt đối của một số thực A, ký hiệu là:

 Mở rộng khái niệm này thành giá trị tuyệt đối của mộtbiểu thức , kí hiệu A (x) là:

 Hai điểm và đối xứng với nhau qua trục hoành

 Hai điểm và đối xứng với nhau qua trục tung

 Hai điểm và đối xứng với nhau qua gốc toạ độ O

Từ các phép biến đổi đơn giản này ta có:

2.1.3 Các phép biến đổi đồ thị.

Lấy đối xứng đồ thị qua trục Oy.Lấy đối xứng đồ thị qua trục Ox.Lấy đối xứng đồ thị qua gốc tọa độ

với Tịnh tiến đồ thị hàm số theo (Dịch chuyển đồ

thị theo phương lên trên đơn vị)

với Tịnh tiến đồ thị hàm số theo (Dịch chuyển đồ

thị theo phương xuống dưới đơn vị)

với Tịnh tiến đồ thị hàm số theo (Dịch chuyển đồ

thị theo phương sang trái đơn vị)

với Tịnh tiến đồ thị hàm số theo (Dịch chuyển đồ thị

theo phương sang phải đơn vị)

Vẽ trước sau đó tịnh tiến đồ thị hàm số theo

.Tịnh tiến đồ thị hàm số theo (Tịnh tiến đồ thịsang trái đơn vị nếu hoặc phải đơn vị nếu

), sau đó lấy đối xứng qua trục (Giữ nguyênphần trên ,bỏ phần dưới , lấy đối xứng phần bị

bỏ qua trục )

Tịnh tiến đồ thị hàm số theo (Tịnh tiến đồ thịsang trái đơn vị nếu hoặc sang phải đơn vịnếu ), sau đó lấy đối xứng qua trục (Giữnguyên phần bên phải , bỏ phần bên trái , lấyđối xứng phần giữ nguyên qua trục )

Vẽ trước sau đó tịnh tiến đồ thị hàm số theo

(Tịnh tiến sang trái đơn vị nếu hoặcphải đơn vị nếu )

Hệ quả 1 Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

Hệ quả 2 Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

2.2 Cơ sở thực tiễn và thực trạng vấn đề nghiên cứu.

Qua số liệu mà tôi đã thu thập được khi đi sâu khảo sát điều tra ở các trườngTHPT Thanh chương 1, THPT Thanh chương 3, THPT Cát Ngạn với 26 giáo viên và

250 em học sinh được khảo sát bằng phiếu thăm dò (Phiếu thăm dò ở phụ lục 1).

 Kết quả nhận được từ phiếu tham khảo ý kiến giáo 26 giáo viên.

Câu hỏi khảo sát

Số GV chọn phương án đưa ra.

Tổng hợp kế quả

1 Trong quá trình dạy

học thầy / cô có gặp khó

khăn khi dạy kiến thức

về hàm số chứa dấu giá

trị tuyệt đối và bài toán

liên quan?

A Có 18 (69%) Nhiều giáo viên gặp khó

khăn khi dạy đến kiếnthức hàm số chứa dấugiá trị tuyệt đối và bàitoán liên quan?

B Không 8 (31%)

2.Thầy / cô đã cho học

sinh của mình rèn luyện

nhiều về kiến thức hàm

số chứa dấu giá trị tuyệt

đối trong quá trình

giảng dạy, ôn thi

THPTQG chưa?

A Nhiều 3 (11,5%) Rất ít giáo viên đã cho

học sinh của mình rènluyện nhiều về kiến thứchàm số chứa dấu giá trịtuyệt đối trong quá trìnhdạy học

3.Thầy / cô đã tham

khảo được nhiều tài liệu

hay về kiến thức hàm số

chứa dấu giá trị tuyệt

đối và ứng dụng ?

A Rất nhiều 3 (11,5%) Ít giáo viên đã tham

khảo được các tài liệutham khảo hay về kiếnthức hàm số chứa dấugiá trị tuyệt đối và ứngdụng

B Nhiều 4 (15,4%)

D Rất ít 10 (38,5%)

 Kết quả nhận được từ phiếu tham khảo ý kiến của 250 học sinh

Câu hỏi khảo sát

Số HS lựa chọn phương

án đưa ra.

Tổng hợp kết quả

1.Khi gặp các bài

toán liên quan đến

hàm số chứa dấu giá

trị tuyệt đối các em

thấy như thế nào?

A Rất khó 128 (51,2%) Đa số các em học sinh thấy

khó khăn khi gặp bài toánliên quan đến hàm số chứadấu giá trị tuyệt đối

B Khó 91 (36,4%)C.Bình

B Vừa 52 (20,8%)

D Rất ít 77 (30,8%)

giá trị tuyệt đối chưa?

3 Khi học đến kiến

thức về hàm số chứa

dấu giá trị tuyệt đối

và bài toán liên quan

em thấy như thế nào?

thường

38 (15,2%)

D Khôngthích

190 (76%)

4.Trong những năm

gần đây bài toán về

hàm số chứa dấu giá

trị tuyệt đối xuất hiện

nhiều trong các đề thi

THPTQG, thi thử của

các trường em có

muốn được rèn luyện

nhiều về nội dung

này

A Có 216 (86,4%) Hầu hết các em mong

muốn được học kiến thức

về về hàm số chứa dấu giátrị tuyệt đối khi biết nhữngbài toán liên quan đến kiếnthức này xuất hiện nhiềutrong các đề thi THPTQG,thi thử của các trường

Khi gặp các bài toán về vấn đề trên, hầu như học sinh khá e ngại khi khôngnắm được phương pháp giải toán Một số học sinh do năng lực tư duy hạn chế hơnnữa lại chưa được rèn luyện nhiều về phương pháp giải những dạng toán này Các

em không hứng thú khi giải những bài toán đến hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

 Về phía giáo viên.

Nhiều giáo viên gặp khó khăn trong quá trình giảng dạy kiến thức liên quanđến hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng Nhiều giáo viên chưa dành thờigian dạy cho học sinh của mình một cách đầy đủ có hệ thống các kiến thức về hàm

số chứa dấu giá trị tuyệt đối.Đa số các thầy cô chưa tham khảo được các tài liệuhay đề cập đến vấn đề này

Một thực tế nữa là trong các kì thi THPTQG, đề minh họa của BộGD&ĐT,đề thi thử của các tỉnh, các trường thì bài toán về “Hàm số chứa dấu giátrị tuyệt đối và ứng dụng” xuất hiện khá nhiều Ví dụ như:

Đề thi minh họa THPT QG của Bộ GD&ĐT năm 2018 có câu:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

có 7 điểm cực trị?

Đề Thi chính thức THPT QG năm học 2018 – 2019 có câu:

Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên

Số nghiệm thực của phương trình là:

Đề Thi THPT QG năm học 2019-2020 (Mã 101 – Lần 2) có câu:

Cho hàm số có Biết là hàm số bậc bốn và có đồ thị làđường cong trong hình bên Số điểm cực trị của hàm số là

Để giải được những bài toán về hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối đòi hỏi họcsinh phải được cung cấp hệ thống lí thuyết và phương pháp cụ thể Đồng thờihướng dẫn HS biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo vào giải quyết các bài toán

Chính những điều đó đã thôi thúc tôi nghiên cứu và áp dụng nội dung chủ đềdạy học này trong năm học 2020 – 2021 để góp phần nâng cao chất lượng dạy học,

ôn thi THPTQG

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

2.3.1 Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.

2.3.1.1 Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Để vẽ đồ thị của hàm số chứa dấu GTTĐ ta thực hiện các bước như sau:

Bước 1: Xét dấu các biểu thức chứa bên trong dấu giá trị tuyệt đối.

Bước 2: Sử dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ.Phân tích hàm đã cho

thành các phần không chứa dấu GTTĐ (Dạng hàm cho bởi nhiều công thức)

Bước 3: Vẽ đồ thị từng phần rồi ghép lại.

*Các kiến thức liên quan

+ Lấy đối xứng với phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành

 C

 C

nằm phía dưới Oxqua Ox.Khi đó, ta được đồ thị như hình vẽ:

Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số

Bước 2:

+ Giữ nguyên phần đồ thị nằm trên miền

+ Lấy đối xứng với phần đồ thị nằm trên miền qua trục hoành

Một số dạng đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối khác:

Tịnh tiến đồ thị theo (Tịnh tiến đồ thị theophương lên phía trên đơn vị).

Tịnh tiến đồ thị theo

(Tịnh tiến đồ thị theo phương xuốngphía dưới đơn vị)

Tịnh tiến đồ thị theo

(Tịnh tiến đồ thị theo phương qua trái đơn vị)

Tịnh tiến đồ thị theo (Tịnh tiến đồ thị theophương qua phải đơnvị)

xứng qua trục hoành (Giữ nguyên phần trên , bỏ phần dưới,lấy đối xứng phần bị bỏ qua trục ).

Tịnh tiến đồ thị theo (Tịnh tiến đồ thị theo phương quatrái đơn vị nếu hoặc sang phải đơn vị nếu ), sau

đó lấy đối xứng qua đường thẳng ( Giữ nguyên phần bênphải đường thẳng , bỏ phần bên trái đường thẳng ,lấy đối xứng phần giữ nguyên qua đường thẳng )

Vẽ trước, sau đó tịnh tiến đồ thị theo (Tịnh tiếntheo phương lên trên đơn vị nếu hoặc xuống dưới đơn vị nếu

Ví dụ 5: Cho hàm số có đồ thị là đường cong như trong hình vẽ

Đồ thị hàm số là tịnh tiến đồ thị hàm số lên trên theophương 1 đơn vị

Nhận xét : Đây là dạng đồ thị hàm số

Ví dụ 6: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ:

x y

Đồ thị hàm số được suy ra từ đồ thị hàm số bằng cáchGiữ nguyên phần bên phải đường thẳng , bỏ phần bên trái đường thẳng

, lấy đối xứng phần giữ nguyên qua đường thẳng

x y

-4 -2 O 1

Vẽ đồ thị hàm số

Hướng dẫn giải:

Đồ thị hàm số được suy ra từ đồ thị hàm số bằng cách tịnhtiến sang phải 2 đơn vị

Đồ thị hàm số được suy ra từ đồ thị hàm số bằngcách giữ nguyên phần đồ thị trên trục hoành Lấy đối xứng qua trục phần đồthị nằm dưới trục hoành

x y

-4

-2 O 1

x y

Đồ thị hàm số là tịnh tiến đồ thị hàm số lên trên 1 đơnvị

y

1 -1 2

O 1

ĐTHS ĐTHS ĐTHS

Nhận xét : Đây là dạng đồ thị hàm số

2.3.1.2 Nhận dạng đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Ví dụ 1: (THPTNguyễn KhuyếnTPHCM 2020) Cho hàm số có đồ thị như hình 1 Đồ thị hình 2 là của hàm số nào trong các đáp án dưới đây?

Nhận xét: Bài toán này từ đồ thị hàm số suy ra đồ thị hàm số

nên chỉ cần học sinh nắm được chất đồ thị hàm số là giải quyết được bàitoán

Ví dụ 2: (Đề tham khảo Bộ GD&ĐT 2017) Hàm số có đồ thịnhư hình vẽ bên Hình nào dưới đây là đồ thị của hàm số ?

x y

x y

x y

+) Giữ nguyên phần đồ thị đã cho ứng với

+) Lấy đối xứng phần đồ thị đã cho ứng với qua trục

Ví dụ 3: (Thi thử THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hàm số có đồ thịhàm số như hình vẽ.

Đồ thị hàm số đi qua điểm (1; 0) nên chọn A

Nhận xét: Bài toán thuộc dạng đồ thị hàm số

2.3.2 Ứng dụng của đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối vào các bài toán liên qua đến cực trị của hàm số.

1 Kiến thức liên quan :

 Định nghĩa cực đại, cực tiểu của hàm số:

Cho hàm số xác định và liên tục trên khoảng và điểm

Định lí 1: Giả sử hàm số liên tục trên khoảng và

có đạo hàm trên hoặc

a b; 

a) Nếu , thì là điểm cực tiểu

b) Nếu , thì là điểm cực đại

4) Dựa vào dấu của suy ra tính chất cực trị của

Nhận xét: Hàm số có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm không xác

Nếu hàm số có số cực trị không nằm trên trục hoành là m, số giao điểmcủa đồ thị hàm số với trục hoành là n Khi lấy đối xứngphần đồ thị

nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành thì tạo thêm những điểm cực trị mới tạigiao điểm với Vậy số cực trị của hàm số là

Chú ý:

Hàm số có số cực trị không nằm trên trục hoành là , số cực trị nằm trêntrục hoành là Số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là Thì số cực trị của của hàm số là

2 Các ví dụ minh họa.

 Phương pháp tìm số cực trị của hàm số

Bước 2: Tìm số giao điểm với trục hoành là

Ví dụ 1 Tìm số cực trị của hàm số biết hàm số có đồ thị như

hình vẽ bên

Hướng dẫn giải:

Số cực trị không nằm trên trục hoành của hàm số là

Tìm số giao điểm cắt của đồ thị hàm với trục hoành là

Vậy số cực trị của là .

Nhận xét : Đây là dạng toán tìm số cực trị của hàm số .

Ví dụ 2: (Trích đề tham khảo Bộ GD&ĐT 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên

của tham số để hàm số có điểm cực trị?

Hướng dẫn giải:

Do hàm số có ba điểm cực trị không nằm trên nên hàm số có

4 điểm cực trị khi phương trình có 4 nghiệm

Vậy có giá trị nguyên thỏa đề bài là Chọn C.

Nhận xét : Đây là dạng toán liên quan đến số cực trị của hàm số y f x   Ta vận

dụng phương pháp tìm số số cực trị của hàm số y f x   để giải.

Ví dụ 3: (Thi thử THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội – 2021)

Cho hàm bậc ba có đồ thị như hình vẽ Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị trên đoạn

0 2

0 + 0 0 + +

A B C D

Hướng dẫn giải:

Phương trình cho một nghiệm thuộc đoạn

Phương trình cho nghiệm thuộc đoạn

Nhận xét: Trong bài toán trên thì để tìm được số cực trị của hàm số đòihỏi phải tìm được số cực trị của hàm số và số giao điểm của ĐTHS

với trục hoành Bài toán đòi hỏi HS nắm vững phương pháp sự linh hoạttrong quá trình giải

Ví dụ 4: (Thi thử Chuyên Đh Vinh - 2018) Cho hàm số có đạo hàm

với mọi Hàm số có nhiều nhấtbao nhiêu điểm cực trị?

Hướng dẫn giải:

Ta có có nghiệm và đổi dấu lần nên hàm số

có cực trị Suy ra có tối đa nghiệm phân biệt

Do đó có tối đa cực trị Số cực trị của hàm số bằng số cực

trị

Nhận xét: Đây là dạng toán liên quan đến phép tịnh tiến đồ thị, đồ thị hàm số

và số cực trị của hàm số Để giải được bài toán này thì ngoàiviệc nắm được phương pháp tìm cực trị thì HS cần nắm được các phép biến đổi đồthị

Ví dụ 5: (Thi THPTQG2020 lần 2 - Mã 101)

Cho hàm số có Biết là hàm số bậc bốn và có đồ thị làđường cong trong hình bên Số điểm cực trị của hàm số là

Hướng dẫn giải:

Xét

Có

Đặt phương trình (1) trở thành:

Vẽ đồ thị hàm trên cùng hệ trục tọa độ với hàm

Dựa vào đồ thị ta có:

Bảng biến thiên

Dựa vào BBT ta thấy hàm số có 5 điểm cực trị Chọn A

Nhận xét: Đây là bài toán tìm số cực trị của hàm số Nhưng việc lậpđược bảng biến thiên của khá phức tạp đòi hỏi học sinh linh hoạt và sáng tạotrong việc giải toán

0 + 0 0 +

+ 0

0 0 0

 Phương pháp tìm số cực trị của hàm số

Ví dụ 1: Cho hàm số có bảng biến thiên sau:

Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

Ví dụ 3: (THPT Kinh Môn Hải Dương lần 2- 2021)

Cho hàm số Đồ thị của hàm số như hình dưới

Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

x 1 1

0 + 0 5

0

A B C D .

Hướng dẫn giải:

Từ đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ dương (và 1 điểm có hoành độ âm)  Hàm số có 2 điểm cực trị có hoành độ dương

Chọn A

Nhận xét: Đây là bài toán kết hợp phép tịnh tiến đồ thị và bài toán tìm cực trị của

hàm tuy nhiên bài toán chỉ cho đồ thị của hàm số nên việc phát hiện sốcực trị dương của đồ thị hàm số đòi hỏi phải linh hoạt khi quan sát đồ thịcủa hàm số

Ví dụ 4: ( Thi thử THPTGia Bình 2019) Cho hàm số có bảng biến thiênnhư sau

Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị

Hàm số có một cực trị dương nên hàm số có 3 cực trị.

Nhận xét : Bài toán kết hợp phép tịnh tiến đồ thị và bài toán tìm cực trị hàm số

Ví dụ 5: (Thi thử THPT Kinh Môn - 2018)

Cho hàm số Tìm tất cả các giá trị củatham số để hàm số có 5 điểm cực trị

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Hàm số có 5 điểm cực trị khi chi khi hàm số có hai cực trị dương

Nhận xét: Sử dụng phương pháp tìm cực trị của đồ thị hàm số bài toánđưa về tìm m để hàm số có 2 cực trị dương sẽ trở nên đơn giản hơn

Ví dụ 6: (Thi thử THPT Minh Khai 2019) Cho hàm số Cho hàm số

liên tục trên và hàm số Biết đồ thị hàm số

Quan sát vào vị trí tương đối của hai đồ thị trên hình vẽ, ta có BBT của hàm số

như sau:

Đồ thị hàm số nhận trục làm trục đối xứng nên từ BBT trên ta suy

ra BBT của hàm số như sau:

x 1 0 1 3

0 + 0 0 + g(1)

g(0) g(-1) g(3)

x 3 1 0 1 3

0 + 0 + 0 0 + g(1) g(1)

g(3) g(0) g(3)

Vậy hàm số có 5 điểm cực trị.

Nhận xét: Học sinh dễ dàng nhận ra dấu hiệu ban đầu của bài toán là tìm cực trị

của hàm Tuy nhiên việc lập được BBT của hàm số đòi hỏihọc sinh phải tìm được cực trị của hàm số dựa vào đồ thị hàm số

’

13

3 g(2) 0

Nhận xét: Tương tự như ví dụ 6 thì bài toán này gây khó khăn cho học sinh trong

việc lập BBT của hàm số y = g(x) khi phải linh hoạt để tìm được các cực trị củahàm số y = g(x)

Ví dụ 8: (Thi thử THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG HÀ NỘI - 2021)

Cho hàm số với là các tham số thực thỏa mãn

và Tìm số điểm cực trị của hàm số

Hướng dẫn giải:

(với lại liên tục trên )

có 3 nghiệm lần lượt là (do là đa thức bậc ba nên có tối đa 3 nghiệm.)

Như vậy đồ thị của hàm số có 2 điểm cực trị đều nằm bên phải trục tung

Ta phác họa đồ thị như sau:

x y

Từ đó suy ra đồ thị như hình bên dưới

1.Kiến thức liên quan.

 Bài toán tương giao cơ bản.

– Giả sử hàm số có đồ thị và hàm số thị là

– Khi đó hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) là nghiệm của phương trình hoành

– Giả sử nghiệm của phương trình thì giao điểm của và là:

 Bài toán biện luận số nghiệm phương trình đơn giản.

Xét phương trình:

– Biến đổi (1) về dạng: (2)

– Khi đó (2) có thể xem là phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị:

và (trong đó thường là hàm số đã được khảosát và vẽ đồ thị, (d) là đường thẳng cùng phương với trục hoành)

 

     

0 0; 0 ; 1 1; 1

M x f x M x f x

– Dựa vào đồ thị (C), từ số giao điểm của (C) và (d) ta suy ra số nghiệm của (2),cũng là số nghiệm của (1).

– Từ đồ thị hàm số suy ra đồ thị hàm số

– Khi đó (3) có thể xem là pt hoành độ giao điểm của 2 đồ thị: và

– Dựa vào đồ thị , từ số giao điểm của và ta suy ra số nghiệm của (3)

 Biện luận số nghiệm phương trình (4).

– Từ đồ thị hàm số suy ra đồ thị hàm số

– Khi đó (3) có thể xem là phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị:

và – Dựa vào đồ thị , từ số giao điểm của và ta suy ra số nghiệm của (4)

2 Ví dụ minh họa:

 Bài toán tương giao liên quan đến đồ thị hàm số

Ví dụ 1: (THPT Tiên Du– Bắc

Ninh-2020)

Cho hàm số có đồ thị trong

hình vẽ bên

Hướng dẫn giải:

Từ đó suy ra đồ thị hàm số

Suy ra phương trình có 2nghiệm phân biệt thuộc khoảng

Nhận xét: Học sinh vẽ được ĐTHS thì bài toán được giải quyết

Ví dụ 3: (Trích đề thi THPTQG năm 2019-2020 , Mã 103) Cho hàm số bậc ba

có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Số nghiệm thực của phương trình là: