SKKN rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông thông qua việc định hướng giải quyết bài toán hình học tọa độ phẳng dựa trên tính chất đặc trưng của điểm và đường

TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THÔNG QUA VIỆC ĐỊNH HƯỚNG GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG DỰ

TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:

RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THÔNG QUA VIỆC ĐỊNH HƯỚNG GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG DỰA TRÊN TÍNH CHẤT ĐẶC TRƯNG

CỦA ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG

A ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lý do chọn đề tài

Trong xu hướng phát triển nền kinh tế tri thức, Việt Nam càng coi trọng giáo dục, khẳng định giáo dục là quốc sách hàng đầu để sáng tạo ra hệ thống giá trị hiện đại, đổi mới, làm nguồn lực thúc đẩy phát triển kinh tế - xã hội Những năm qua, với nhiều giải pháp thiết thực được triển khai và thực hiện có hiệu quả, nền giáo dục Việt Nam đã đạt được nhiều thành tựu to lớn trên lĩnh vực giáo dục, đào tạo nguồn nhân lực cho đất nước và xã hội

Tuy nhiên, trước yêu cầu cấp bách của sự phát triển kinh tế - xã hội trong bối cảnh toàn cầu hóa, đã nảy sinh một số bất cập đòi hỏi chúng ta phải có sự đổi mới căn bản trong chương trình giáo dục nói chung và giáo dục phổ thông nói riêng Trên cơ sở kế thừa và phát triển những ưu điểm của các chương trình giáo dục phổ thông đã có của Việt Nam; đồng thời, tiếp thu thành tựu nghiên cứu về khoa học giáo dục và kinh nghiệm xây dựng chương trình theo mô hình phát triển năng lực của những nền giáo dục tiên tiến trên thế giới và quá trình nghiên cứu, sáng tạo, đổi mới phương pháp của mỗi nhà khoa học và mỗi giáo viên gắn với nhu cầu phát triển của đất nước, những tiến bộ của thời đại khoa học - công nghệ để sáng tạo ra những sản phẩm trí tuệ, góp phần thực hiện có hiệu quả chủ trương đổi mới và phát triển nền giáo dục của đất nước

Trong Nghị quyết Hội nghị lần thứ 8, Ban Chấp hành Trung ương khóa

XI (Nghị quyết số 29-NQ/TW) về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo cũng đã chỉ rõ một thực trạng hiện nay là “…công việc giảng dạy, học tập, thi cử, kiểm tra và đánh giá kết quả còn lạc hậu, thiếu thực chất…’’ Để đáp ứng được các yêu cầu của cuộc sống, của xã hội hiện đại buộc chúng ta phải tiến hành đổi mới căn bản, toàn diện hệ thống giáo dục quốc gia Đó là thay đổi tất

cả những yếu tố, những chủ thể của quá trình đào tạo: Thầy phải thay đổi, trò phải thay đổi, cán bộ quản lý phải thay đổi; tư duy phải thay đổi, hành động phải thay đổi; chương trình phải thay đổi, sách giáo khoa phải thay đổi, cách dạy, cách học, cách thi cử càng phải thay đổi Trong đó, đổi mới giáo dục phổ thông giữ vai trò then chốt, bởi vì “giáo dục phổ thông là nền tảng của cả hệ thống giáo dục quốc gia” Trong những năm gần đây thì nội dung, phương pháp đào tạo, chương trình môn Toán học ở bậc THPT đã có rất nhiều thay đổi về yêu cầu giáo dục, nội dung kiến thức và kỹ năng Cụ thể:

Về chương trình: đã có những quy định về Chuẩn kiến thức và người giáo viên phải dạy như thế nào để học sinh đạt được chuẩn kiến thức đó

Về kỹ năng, hình thức và phương pháp dạy học: chuyển từ nền giáo dục THPT nặng về truyền thụ kiến thức một chiều sang nền giáo dục THPT chú trọng phát triển năng lực và phẩm chất của học sinh, được tiến hành bằng cách đổi mới dạy học theo hướng phát triển năng lực cá nhân người học, người giáo

viên phải lấy học sinh làm trung tâm; áp dụng các phương pháp , kỹ thuật dạy học tích cực, chấm dứt hoàn toàn hiện tượng dạy học theo kiểu áp đặt, truyền thụ kiến thức một chiều, thầy đọc- trò chép; chú trọng rèn luyện phương pháp tự học, tự nghiên cứu, giúp những học sinh có năng lực hoạt động trí tuệ, phát huy được tính tích cực trong học tập nói chung và học tập môn Toán nói riêng; tăng cường các hoạt động phát triển tư duy và tính sáng tạo; biết vận dụng kiến thức

đã được học để giải quyết các vấn đề nảy sinh trong thực tế …

Trong quá trình học sinh tiếp cận với các bài toán hình học tọa độ phẳng, học sinh gặp khó khăn trong việc định hướng cách giải, học sinh không biết cách

sử dụng giả thiết cũng như mối liên hệ của giả thiết với yêu cầu bài toán đặt ra làm bước cản lớn trong việc giải toán Chính vì vậy, tác giả viết đề tài này nhằm một phần nào đó định hướng cũng như chỉ ra mối liên hệ của các điểm, các đường trong bài toán, từ đó vận dụng tính chất đặc trưng của điểm và đường vào việc tìm ra lời giải mà bài toán yêu cầu

Nhằm khắc phục phần nào những khó khăn, hạn chế đã nêu trên, tác giả

lựa chọn và viết sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: “Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông thông qua việc định hướng giải quyết bài toán hình học tọa độ phẳng dựa trên tính chất đặc trưng của điểm và đường”

2 Mục đích nghiên cứu

Giới thiệu, cung cấp thêm cho các em học sinh lớp 10 THPT và đồng nghiệp một số cách nhìn trong việc giải quyết các bài toán về tọa độ của hình học phẳng khó, dựa trên kiến thức đã được tìm hiểu ở bậc THCS thiết lập mối quan hệ của điểm và đường để từ đó giải quyết nhanh các bài toán tọa độ hình học phẳng

Rèn luyện cho các em học sinh THPT nói chung, học sinh các lớp 10 THPT chuẩn bị tham gia kỳ thi THPTQG hàng năm, kỳ thi HSG nói riêng khả

năng thông hiểu, vận dụng , vận dụng cao các kiến thức cơ bản của Hình học 10

vào giải quyết các bài toán Hình học tọa độ phẳng

Hình thành cho các em học sinh thế giới quan khoa học, chỉ cho các em phương pháp tìm hiểu mối liên hệ mật thiết giữa các phần trong các nội dung, chương trình môn Toán bậc THPT, mối liên hệ giữa kiến thức sách giáo khoa và thực tiễn cuộc sống

Phát triển tư duy sáng tạo cho các em học sinh, đáp ứng các yêu cầu trong Nghị quyết Hội nghị lần thứ 8, Ban Chấp hành Trung ương khóa XI (Nghị quyết

số 29-NQ/TW) về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng

xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Học sinh lớp 10 , học sinh chuẩn bị tham dự kỳ thi THPTQG hàng năm Giáo viên giảng dạy môn Toán THPT

4 Phương pháp nghiên cứu

Trên cơ sở kiến thức Sách giáo khoa Hình học 10 (cơ bản), tác giả xây dựng, khai thác, phát triển, sắp sếp các vấn đề, lồng ghép vào các ví dụ (được tham khảo từ đề thi HSG tỉnh lớp 11 hàng năm của các tỉnh, thành phố, đề thi thử THPTQG hàng năm của một số trường và một số tài liệu tham khảo khác)

để phân hoạch thành các dạng toán cụ thể theo từng mức độ để phù hợp với từng nhu cầu, năng lực của các em học sinh

Tham khảo bài viết của các đồng nghiệp ở các tạp chí có nội dung liên quan đến đề tài

Trao đổi với các đồng nghiệp ở Tổ Toán - Tin ở Trường THPT Chuyên Phan Bội Châu (Nghệ An) và một số đơn vị bạn trong tỉnh có quan tâm đến vấn

đề này để đề xuất biện pháp tiếp cận lời giải các bài toán, triển khai đề tài

Trao đổi, thảo luận và phối hợp trực tiếp với các em học sinh được tác giả trực tiếp giảng dạy ở Trường THPT Chuyên Phan Bội Châu (Nghệ An) để kiểm nghiệm và rút kinh nghiệm

5 Khả năng ứng dụng và triển khai kết quả

Đề tài có thể dùng làm tài liệu tham khảo, học tập cho các em học sinh lớp 10 - THPT trong và ngoài trường

Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo cho các giáo viên giảng dạy bộ môn Toán THPT

Đề tài có thể ứng dụng để phát triển thành mô hình sách tham khảo trong lĩnh vực này để phục vụ công tác giảng dạy của giáo viên, công việc học tập cho học sinh và công tác nghiên cứu của các nhà giáo dục

Mặc dù đã rất cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong muốn nhận được sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp, các độc giả để tiếp tục hoàn thiện hơn và đạt được nhiều kết quả tốt hơn nữa trong việc giảng dạy môn Toán THPT nói chung và giảng dạy phần Tọa độ Hình học phẳng THPT nói riêng Tác giả xin chân thành cảm ơn

B NỘI DUNG

1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản của tọa độ hình học phẳng

Trong mục này chúng tôi trình bày lại một số khái niệm và tính chất cơ bản của tọa độ hình học phẳng

1.1 Định nghĩa trục tọa độ

Trục tọa độ là ( còn gọi là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị er

Ta ký hiệu trục tọa độ là  O e;r

Cho M là điểm tùy ý trên trục  O e;r

Khi đó có duy nhất một số k sao cho

được gọi là trục tung và kí hiệu là Oy Các vectơ ri và j

và viết urx y;  hoặc u x yr ;  Số thứ nhất x gọi là hoành độ, số thứ hai y gọi là tung độ của vectơ ur

1.5 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trên mặt phẳng tọa độ O i j; ,r r

, cho hai vectơ ar a a1; 2,brb b1; 2 Khi

đó tích vô hướng a br r là a b a b a br r  1 1 2 2

1.6 Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ ur được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng  nếu u r 0r và

giá của ur song song hoặc trùng với 

1.7 Định nghĩa phương trình tham số của đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng  đi qua điểm M x y 0; 0 và nhận uru u1; 2 làm vectơ chỉ phương Với mỗi điểm M bất kì trong mặt phẳng,

ta có M Muuuuur0 x x y y 0;  0 Khi đó M M Muuuuur0 cùng phương với

1.8 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ nr được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng  nếu n r 0r và nr

vuông góc với vectơ chỉ phương của 

1.9 Phương trình tổng quát của đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng  đi qua M0x y0; 0 và nhận

Định nghĩa: Phương trình ax by c   với a, b không đồng thời bằng 0, 0được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng

1.10 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Xét hai đường thẳng 1 và 2 có phương trình tổng quát lần lượt là

a) Hệ (I) có một nghiệm x y0; 0, khi đó 1 cắt 2tại M0x y0; 0

b) Hệ (I) vô số nghiệm, khi đó 1 trùng với 2

c) Hệ (I) vô nghiệm, khi đó 1 không có điểm chung với 2, hay 1 song

song với 2

1.11 Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng 1:a x b y c1  1  1 0 và 2:a x b y c2  2  2 0

Đặt    1, 2

  thì ta thấy  bằng hoặc bù với góc giữa nur1 và nuur2 trong

đó nur1, nuur2 lần lượt là vectơ pháp tuyến của  1, 2 Vì cos 0 nên ta suy ra

1.12 Công thức tính khoảng cảnh từ một điểm đến một đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng  có phương trình ax by c   0

và điểm M0x y0; 0 Khoảng cách từ điểm M0đến đường thẳng , kí hiệu là

 0, 

d M  , được tính bởi công thức

Trong mục này thông qua các bài toán, tác giả trình bày một số dấu hiệu

về mối qua hệ giữa điểm đã cho với điểm cần tìm, để từ đó xây dựng các công

thưc, phương trình cần thiết nhằm tìm ra tọa độ điểm mà bài toán yêu cầu

Chúng ta lần lượt xét các bài toán sau:

Bài toán 1.1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC

có A(0;2), B(-2;-2) và C(4;-2) Gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh AB và BC,

H là chân đường cao hạ từ B lên AC Xác định trọng tâm G của tam giác MNH

Nhận xét và định hướng: Trong bài toán này rõ ràng chúng ta thấy được

nếu có tọa độ của M, N, H thì tìm được tọa độ trọng tâm Mà M, N là trung điểm

của AB, BC nên ta dễ dàng tìm được tọa độ hai điểm đó Còn H là chân đường

cao, ta dựa vào điều kiện tọa độ chân đường cao thì việc tìm tọa độ H dễ dàng

thực hiện được Cụ thể ta có lời giải bài toán như sau :

Lời giải : Ta có M(-1,0) và N(1;-2),uuurAC 4; 4  Giả sử H x y ;  Ta có:

Qua bài Bài toán 1.1 ta thấy việc tìm ra mối quan hệ giữa điểm được cho

và điểm cần tìm là chìa khóa giải quyết bài toán này Ngoài yêu cầu là tìm trọng

tâm G của tam giác NMH, chúng ta cũng có thể sử dụng giả thiết đó những với

những yêu câu tương tụ với những điểm đặc biệt khác Ví dụ sau đậy là minh

chứng

Bài toán 1.2 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC

có A(0;2), B(-2;-2) và C(4;-2) Gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh AB và BC,

H là chân đường cao hạ từ B lên AC Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp I của

Bài toán 1.3 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho tam giác

có trực tâmH  1;3, tâm đường tròn ngoại tiếp I3; 3  và trung điểm của

làM 2; 2  Tìm toạ độ các điểm A biết rằng A có hoành độ âm

A.A   1; 5 B A 1;5

C A  1;5 D A 1;5 hoặc A   1; 5

Bài giải: Gọi D là điểm đối xứng B quaI, ta có HADC là hình bình hành

Theo giả thiết M là trung điểm AC , suy ra cũng là trung điểmHD, do đó ta có

 , suy raB 1;1 Gọi  C là đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC , phương trình của     2 2

Mặt khác, do MI uuur 1; 1  nênAC x y:    Toạ độ của 4 0 A là nghiệm của

x y





 

Kết hợp giả thiết bài toán ta cóA   1; 5

Bài toán 1.4 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC

nhọn, không cân có trực tâmH   1; 1, nội tiếp đương tròn tâmI 2;1 , bán kính 5

R  và

4sin

5

BAC

 Tìm toạ độ các điểm B biết rằng các điểm A B, có hoành

độ âm

A.B   2; 2 B B6; 2 

C B  2; 2 D B   2; 2 hoặc B6; 2 

Bài giải: Gọi D là điểm đối xứng B quaI , ta có HADC là hình bình

hành Theo giả thiết M là trung điểm AC , suy ra M cũng là trung điểm HD

Do BC2 .sinR BAC 8 nênAH 2IM  , suy ra hệ 6

Giải ra ta được B   2; 2 Vậy đáp án là A

Bài toán 1.5 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC

Bài toán 1.6 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác

ABC nhọn có A3; 7  và M  2;3 là trung điểm của BC Gọi H K, lần lượt

là chân đường cao hạ từ B C, và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHK là

Bài giải: Gọi E là trực tâm tam giác ABC , suy ra E đối xứng A qua J , I

là tâm đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC và D là điểm đối xứng của A

qua I Ta có EBDC là hình bình hành nên trung điểm M của BC cũng là trung

điểm ED Ta có uuurAE 2IMuuur và E3; 1  nên I  2;0, suy ra phương trình của (C): 2 2

x  y  , phương trình của đường thẳng BC y:   Do đó tọa 3 0

độ của B C, là nghiệm của hệ:

Tương tự với việc sử dụng kiến thức hình học THCS vào giải hình học tọa

độ phẳng, cụ thể hơn là bài toán tìm điểm ở bài toán trên Bài toán sau đây học sinh muốn làm được cũng cần huy động kiến thức hình học đã được học ở bậc THCS



Bài toán 1.7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC

nhọn có các điểmM1; 2 ,  N 2;2 ,  P 1;2 lần lượt là chân đường cao hạ từ

, ,

A B C lên cạnh đối diện Tìm tọa đỉnh A của tam giác ABC

A.A  1;4 B A   1; 4

C A 1; 4 D A1; 4 

Hướng dẫn Bài toán này muốn làm được cần thiết lập được mối liên hệ

giữa các điểm M, N, P là chân đường cao với các điểm A, B, C thông qua biểu thức vectơ và các kiếm thức của các điểm đã được học ở bậc học THCS

Bài giải Gọi là trực tâm tam giác , do thuộc đường tròn đường kính nên và thuộc đường tròn đường kính

hay là tâm đường tròn nội tiếp tam giác Do ,

Vậy đáp án bài này là: A

Ta gặp một số bài toán tương tự như sau:

Bài tập 1.1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có

H H

x y

AB x  y     x y 3 0 ( 1; 4)

A  B(4; 1)  C  ( 5; 4)

Bài tập 1.2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có

B C của tam giác ABC

Bài tập 1.3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ABC có đỉnh

Bài tập 1.5 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội

tiếp đường tròn ( )C có tâm I  2;1 vàAIB 900, D   1; 1 là hình chiếu vuông góc của A lên BC , đường thẳng AC đi qua M  1;4 Tìm tọa độ đỉnh B biết

A có hoành độ dương

A B2; 2 B B  2; 2

C B2; 2  D B   2; 2 Đáp án là C

Bài tập 1.6 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có

 3;1

A , B1; 3  và trọng tâm G thuộc trụcOx Tìm tọa độ đỉnh C biết tam giác ABC có diện tích bằng 3

A C2;2 B C 3;2

C C2; 2  D C   2; 2 Đáp án là A

Bài tập 1.7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có

các điểmM 1;4 , N  1;3 là trung điểm BC , CAvà

Bài tập 1.8 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC nhọn

có các điểm M  2;3, N2;2và P  2; 2 lần lượt là chân đường cao hạ từ A,

B, C lên cạnh đối diện Tìm tọa độ ba đỉnh của tam giác ABC

A A1;5 , B 4;4 , C 4;0 B A1;5 , B  4; 4 , C 4;0

C A1;5 , B  4; 4 , C 4;0 D A1;5 , B 4; 4 ,  C 4;0 Đáp án là B

Bài tập1.9 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có

các điểm M 1;0 , N4; 3  lần lượt là trung điểm AB, AC và D2;6 là chân

đường cao hạ từ A lên BC Tìm tọa độ đỉnh A của tam giác ABC

A A 5;1 B A   5; 1

C A  5;1 D A5; 1  Đáp án là B

Bài tập 1.10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có

các đỉnh A0;2 , B  2; 2 , C 4; 2  Gọi H là trực tâm tam giác ABC , M là

giao điểm ( A) của đường tròn đường kính AH vớiAB, N là giao điểm ( khác

B) của đường tròn đường kính BH với BC Viết phương trình đường tròn ngoại

tiếp (C) của tam giác AMN

Bài tập 1.11 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có

trung điểm của BC là M 3;4 , tâm đường tròn ngoại tiếp là I(5 ;3) và H(4 ;2)

là chân đường cao hạ từ C lên AB Tìm tọa độ đỉnh A của tam giác ABC

A A 8;2 B A4;2

C A 8;0 D A5; 1  Đáp án là A

Bài tập1.12 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác

ABC có trực tâm H1;6 , M2;2 là trung điểm của AC và N 1;1 là trung điểm BC Tính

Bài tập 1.13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có

trực tâm H  1;4, trung điểm BC là M0; 3  và tâm đường tròn ngoại tiếp

tam giác HBC là I3; 6  Xác định toạ độ đỉnh A B, của tam giác

A A7;10 , B  7; 10 B A7;10 , B 7; 10 

C A7;4 , B  7; 10 D A5; 1 ,  B 7;10 Đáp án A

Bài tập 1.14 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC

có trực tâm H 1;3, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I3; 3 , 

Bài toán 1.15 Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxy , cho tam giác ABC

ngoại tiếp đường tròn( )C Các cạnh AB BC CA lần lượt tiếp xúc với ( ), , C tại

 3;2 ,   4;1 , 5; 2

M N P  Tìm tọa độ đỉnh C

A

15;

Bài toán 2.1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác

ABC nhọn có trung tuyến AM : 3x5y  , đường thẳng 2 0 BC x y:    2 0

và đường cao AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D2; 2 ( khác

A) Tìm toạ độ đỉnh B biết điểm B có tung độ âm

A B0; 2  B B0; 3 

C B1; 2  D C1; 5 

Nhận xét và định hướng:

Bài toán cho phương trình trung tuyến AM, nếu ta xác định thêm một

đường thẳng đi qua A thì ta sẽ tìm được tọa độ điểm A Nhận thấy với tọa độ điểm D và phương trình đường thẳng BC ta sẽ viết được phương trình đường thẳng AH và từ đó xác định tọa độ điểm A cũng như viết được phương trình đường trọn ngoại tiếp tam giác ABC thông qua việc thiết lập các mối quan hệ của giả thiết bài toán Việc tìm ra phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là ta đã có 2 đường phân biệt đi qua điểm B, C đó là phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và phương trình cạnh BC Như vậy, bài toán đã được giải quyết

Bài giải: Do AH BC nên nuuurAH  1;1 , phương trình của AH x y:  0, tọa độ A là nghiệm của hệ:

  hay A(1;-1) Lại có, từ

M AM BC nên tọa độ của M là nghiệm của hệ: