SKKN những kỹ năng phát hiện nhanh đồ thị của hàm số bậc 3, hàm trùng phương trong bài thi trắc nghiệm

Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây.. Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của một hàm số trong

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN

TRƯỜNG NGUYỄN CẢNH CHÂN

=====  =====

ĐỀ CƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

LĨNH VỰC: TOÁN HỌC

Đề tài:Những kỹ năng phát hiện nhanh đồ thị của hàm

số bậc 3, hàm trùng phương trong bài thi trắc nghiệm.

ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Những kỹ năng phát hiện nhanh đồ thị của hàm số bậc

3, hàm trùng phương trong bài thi trắc nghiệm.

I MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Một trong những vấn đề cơ bản của đổi mới chương trình giáo dục phổthông là đổi mới phương pháp dạy học, phương pháp kiểm tra đánh giá Việc đổimới phương pháp dạy học và phương pháp kiểm tra đánh giá môn Toán hiện nay

là nhằm phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo của học sinh trong việc tiếpthu kiến thức qua đó khai thác vận dụng những kỹ năng để giải toán

Trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia, cũng như các kỳ thị lớp lớp

12 ở những năm gần đây đều thi dưới hình thức thi trắc nghiệm nên đòi hỏi kỹnăng giải toán phải linh hoạt, sáng tạo không thụ động Khi đứng trước một bàitoán học sinh phải hình dung và định hướng được ngay cách giải mới đáp ứngđược kết quả cao Qua quá trình giảng dạy ở trường phổ thông nhiều năm bảnthân tôi đã trực tiếp dạy nhiều đối tượng học sinh từ yếu, trung bình đến bồidưỡng học sinh khá; song, tôi nhận thấy rằng việc giải một bài toán trắc nghiệmhọc sinh mất phương hướng, đặc biệt là đối với đối tượng học sinh có học lựcyếu, trung bình cũng như khá để tìm ra đáp án đúng, đôi khi học sinh giải bàitoán đó như theo hướng tự luận mất rất nhiều thời gian, trong khi, yêu cầu bìnhquân mỗi câu trắc nghiệm chỉ mất tối đa là gần 2,0 phút phải cho đáp số ở nhữngcâu hỏi dạng nhận biết

Đứng trước những vấn đề như vậy, làm thế nào để đáp ứng được nhu cầuđổi mới hiện nay, làm sao cho học sinh có hứng thú trong học tập, không bịđộng trước các bài toán ở mức độ nhận biết, thông hiểu và vận dùng về hàm số;

Sau đây tôi xin giới thiệu một kinh nghiệm đó là:

Những kỹ năng phát hiện nhanh đồ thị của hàm số bậc 3, hàm trùng phương trong bài thi trắc nghiệm.

2 Mục đích nghiên cứu:

Tổng hợp kiến thức cơ bản về một lĩnh vực nhỏ của hàm số giúp học sinh

có học lực yếu, trung bình, khá… có thể giải được các bài tập trắc nghiệm mộtcách nhanh chóng, chính xác

3 Đối tượng nghiên cứu:

Những kỹ năng giải nhanh các bài toán về đồ thị của hàm số bậc 3, bậc 4trùng

4 Phương pháp nghiên cứu:

Từ lý thuyết chung về hàm số bậc 3, bậc bốn trùng phương, xây dựng hệthống các dấu hiệu nhận biết để giải các bài tập có liên quan

II NỘI DUNG

y

x O

x O

vô

nghiệm hay

y

x O

y

x O

Chú ý: y(0) = c

Từ bảng tổng hợp trên nhận thấy:

* Khi , từ trái qua phải đồ thịcó hướng bắt đầu đi lên

* Khi , từ trái qua phải đồ thị có hướng bắt đầu đi xuống

Từ dấu hiệu trên ta đã loại được một số phương án không phải là đáp sốđúng

x O

y

x O

Ngoài các dấu hiệu về cực trị, từ bảng tổng hợp trên ta nhận thấy:

Khi a > 0, từ trái qua phải đồ thị có hướng bắt đầu đi lên

Khi a < 0, từ trái qua phải đồ thị có hướng bắt đầu đi xuống

(hai điều trên trái ngược với hàm số bậc 3)

Từ dấu hiệu trên ta đã loại được một số phương án không phải là đáp sốđúng

y(0) = c

2 Thực trạng vấn đề

Ta gặp dạng bài toán:

thị, hãy tìm đồ thị của hàm số đã cho

Cho 1 hình ảnh đồ thị và 4 hàm số, tìm hàm số có đồ thị tương ứng

Cho 1 hình ảnh đồ thị và 1 hàm số tìm mỗi liên hệ giữa các hệ số

Nếu giải nhanh bài toán trên theo các bước khảo sát để tìm ra đồ thị thìquả thật mất rất nhiều thời gian

3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

3.1 Các ví dụ về hàm số bậc 3

Ví dụ 1 Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A y = x3 + 3x2 – 2 B y = x3 - 3x2 - 2

C y = -x3 - 3x2 – 2 D y = -x3 + 3x2 - 2

Giải

Nhìn đồ thị có hướng đi lên từ trái qua phải suy ra a > 0 nên loại C và D

Mà đồ thị có 2 điểm cực trị x= 0 và x = -2 suy ra loại B

Chọn A

Ví dụ 2. Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của một hàm số trong bốnhàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây Hỏi hàm số đó làhàm số nào?

Chọn B.

Ví dụ 3 Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong hình vẽ bên

A B

C D

Nhìn đồ thị có hướng đi lên từ trái qua phải suy ra a > 0 nên D bị loại

Ta thấy ở đáp án B và C đồ thị qua gốc tọa độ, mà đồ thị trên không qua gốc tọa

độ nên đáp án B và C bị loại

Chọn A

Ví dụ 4 Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số

Nhìn đồ thị có hướng đi lên từ trái qua phải suy ra a > 0 nên loại D

Mà đồ thị có 2 điểm cực trị nên loại A

Chọn C

Ví dụ 6 Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số

Giải

án A và B, hơn nữa đây là đồ thị hàm số bậc 3 có 2 điểm cực trịnên loại C

Chọn C

Ví dụ 8 Đường cong trong hình bên d ư ớ i là đồ thị của một

hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C,

D dưới đây Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

x y

-2

2 -1

1 O

Giải

loại B

Chọn C

Ví dụ 9 Đồ thị hàm số là hình nào trong 4 hình dưới đây?

x y

2 O

4

2

1 -1

y

-1 O

4

1 1 -1

3

-2 O

-4

x O

1 3

1 -1 -1

O 1 1 2

Giải

Nhìn dạng đồ thị thấy a > 0 , suy ra loại B và D

   Chọn C.

Ví dụ 11. Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của một hàm số trongbốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây Hỏi hàm số đó

là hàm số nào?

A y = -x3 + 2 B y = -x3 + 3x + 2

C y = -x3 - x + 2 D y = -x3 + 1

Giải

Nhìn đồ thị ta thấy hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định nên loại B và

đồ thị đi qua điểm (1;1) nên loại C và D

Chọn A

Ví dụ 13 Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ bên

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A a < 0, b > 0, c > 0, d > 0 B a < 0, b < 0, c = 0, d > 0.

C a > 0, b < 0, c > 0, d > 0 D a < 0, b > 0, c = 0, d > 0 Giải

+ Ta có: Hàm số có hai điểm cực trị , trái dấu

Từ đồ thi suy ra , vậy loại C

Từ đồ thị suy ra hàm số có 2 cực trị và hoành độ các điểm cực trị trái dấu

suy ra

Từ đồ thị, Ta có hoành độ điểm uốn dương

Chọn A.

Ví dụ 16 Chàm hàm số có đồ thị như hình bên Trong các

mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

C D

Giải

Vì đồ thị đi lên từ trái qua phải khoảng đầu nên a > 0, có 2 điểm cực trị trái dấunên a.c < 0 suy ra c <0 mà y(0) > 0 suy ra d > 0

Từ đồ thị, Ta có hoành độ điểm uốn dương

Chọn D

Ví dụ 18 Cho đường cong có đồ thị như hình bên

Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải

Từ đồ thị ta có , từ dạng đồ thị suy ra

Gọi , là hoành độ hai điểm cực trị của hàm số suy ra , nghiệm phương

Lại có đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên

Vậy có số dương trong các số , , ,

Ví dụ 20 Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ Trong các số

và có bao nhiêu số dương?

Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu có hai nghiệm trái dấu

Bước 2: Xác định tương giao với Oy: y(0) = c, quan sát hàm số hoặc đồ

thị để loại tiếp các phương án không phù hợp

Bước 3: Xác định trên đồ thị sự tương giao với ox (nếu hoành độ điểm

tương giao có giá trị nguyên) kiểm tra y( )=0 cho ra đáp án đúng

Chú ý: Nếu không nguyên thì không xét bước 3

Bước 4: Nếu bước 2, 3 không tìm được đáp án đúng khi đó ta xem xét

đến hàm số có cực trị hay không, kiểm tra hoành độ các điểm cực trị từ đó cho

ra đáp án đúng

Bước 5: Nếu các yếu tố trên vẫn chưa tìm được đáp án đúng ta chú ý đến

điểm uốn, tâm đối xúng của đồ thị hàm số, từ đó cho kết luận

3.2 Các ví dụ về hàm số trùng phương

Ví dụ 1 Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số

trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây Hỏi hàm số đó là hàm số nào ?

x y

-1

1 -1

Vì đồ thị có hướng đi lên từ trái qua phải ở khoảng đầu tiên nên a < 0 loại đáp

án A và B và vì đồ thị có 3 điểm cực trị nên a.b < 0 nên loại đáp án D

Chọn C.

Ví dụ 2: Đường cong trong hình dưới là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm

số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây Hỏi hàm số đó là hàm sốnào ?

Ví dụ 5 Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số

trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây Hỏi hàm số đó là hàm số nào ?

x y

-1

1

-1

0 1

Giải

Từ đồ thị ta suy ra đây là hàm số bậc 4 trùng phương có 3 cực trị nên a > 0, b <

0, do đó loại B, D Mà đồ thị đi qua gốc tọa độ , suy ra loại A

Chọn C.

Nhìn vào đồ thị ta thấy a > 0 nên loại A và B.

Vì đồ thị có 3 điểm cực trị nên a.b < 0, suy ra loại D

Nhìn vào đồ thị ta thấy nên loại A và B

Vì đồ thị có 3 điểm cực trị nên a và b trái dấu, suy ra

Chọn B

Ví dụ 10 Giả sử hàm số có đồ thị như hình vẽ Khi đó

A B C D.

.Giải

Vì đồ thị đi lên khoảng đầu tiên từ trái qua phải nên a < 0 nênloại đáp án A và B

Hơn nữa đồ thị có 3 điểm cực trị nên a và b trái dấu ( không cấnđiều kiện của c) suy ra loại đáp án C

Ví dụ 12 Cho hàm số ( ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Chọn B

Ví dụ 14.Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây Hỏi hàm số đó là hàm số nào ?

Vì đồ thị có hướng đi lên từ trái qua phải nên a < 0 suy ra loại

Chọn D

Qua một số ví dụ trên, tuỳ vào từng bài tập khác nhau khi giải cần kiểm tra nhanh các dấu hiệu sau:

- Kiểm tra nhanh y(0) để loại đi các hàm số (hoặc đồ thị hàm số) không

- Nếu các yếu tố trên không loại được hết thi khi đó nghĩ đến tương giao

của đồ thị hàm số với Ox hoặc hoành độ các điểm cực trị

A B C D

Lời giải

thỏa yêu cầu bài toán

Từ hình có đây là hình dạng của đồ thị hàm bậc 4 nên loại A và B

Vì đồ thị đi lên từ trái qua phải khoảng đầu nên a < 0 nên loại D

Chọn C.

Ví dụ 4 Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

A y x4  2x2 B y x3  3x C yx4  2x2 D yx3  3x

Lời giải

Đường cong trong hình là đồ thị hàm trùng phương nên loại B và D

Vì đồ thị đi lên từ trái qua phải khoảng đầu nên a < 0 nên loại C

Chọn A

Ví dụ 5 Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

Qua đồ thị là hàm bậc 3 nên loại A, D

Vì đồ thị có hướng đi xuống từ trái qua phải khoảng nên hệ số a

A B C D

Lời giải Chọn D

Dựa vào đồ thị có dạng đồ thị của hàm số bậc 3 có hệ số nên đáp án D đúng

Đây là đồ thị của hàm số bậc ba với hệ số nên chọn C.

Dựa vào đồ thị ta thấy đây là hình ảnh đồ thị của hàm số bậc ba nên loại đáp án

B và C; Mặt khác dựa vào đồ thị ta có nên hệ số của dương nên ta chọn đáp

Ví dụ 12 Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm

nào?

án D, hơn nữa đây là đồ thị hàm số bậc 3 nên loại C, mà đồ thịtiếp xúc trục hoành và không có điểm cực trị tại x = 0 suy ra loạiB.

Dựa vào đồ thị ta thấy đây là hình ảnh đồ thị của hàm số bậc ba nên loại đáp án

B và C mặt khác đồ thị đi lên từ trái qua phải nên a > 0 nên loại D

Thông qua bài tập tổng hợp trên giáo viến nhận mạnh cho học sinh biết rằng.Ngoài 2 lượng kiến thức tách riêng trên sẽ có nhiều bài tập cho ở dạng tổng hợpnhư vậy các em cần sử dụng dấu hiệu nào trong 2 dấu hiệu trên để loại các đáp

án không phù hợp với đề ra

4 Hiệu quả của sáng kiến

Trong quá trình giảng dạy, khi hướng dẫn học sinh làm bài tập theo cácbước trên hầu như các em đã tự mình phân tích các dấu hiệu và đưa ra được đáp

án đúng cho tất cả các bài tập

III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

Qua hệ thống lí thuyết và một số bài tập về một lĩnh vực nhỏ của hàm sốbậc 3, hàm số bậc 4 dạng trùng phương; đó là tìm hàm số khi biết đồ thị vàngược lại Cũng như cho đồ thị hàm số học sinh giải quyết được các bài tập liênquan đến hệ số của các hàm số trên Đối với mọi học sinh nếu nắm chắc các dấuhiệu thì có thể giải quyết tốt các dạng bài tập trên

Trên đây là kinh nghiệm nhỏ của tôi mà trong quá trình giảng dạy tôi đãxây dựng nên, tôi rất mong nhận được sự đóng góp của các anh chị và các bạnđồng nghiệp để tôi có thể dạy cho học sinh chuyên đề này có hiệu quả hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn.