SKKN Phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học chủ đề thể tích khối đa diện

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆMĐỀ TÀI: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN LĨNH VỰC: TOÁN HỌC... Qua nhiều năm giảng dạy

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC

CHỦ ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

LĨNH VỰC: TOÁN HỌC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU 2

_

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC

CHỦ ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

LĨNH VỰC: TOÁN HỌC

MỤC LỤC

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ 1

1.1 Lí do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 2

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

1.4 Tính mới của đề tài, sáng kiến, giải pháp 2

1.5 Phương pháp nghiên cứu 2

1.6 Cách thực hiện 2

1.7 Tính khả thi khi thực hiện 2

PHẦN II NỘI DUNG 3

2.1 Thực trạng của vấn đề 3

2.2 Cơ sở lí luận và thực tiễn 3

2.2.1 Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo 3

2.2.2 Một số định nghĩa, định lý và tính chất liên quan 4

2.3 Giải pháp cụ thể 6

Giải pháp 1 Hình thành cho học sinh quy trình tựa thuật toán để giải quyết một bài toán thể tích khối đa diện 6

Giải pháp 2 Phân dạng các bài toán thể tích khối đa diện 16

Giải pháp 3 Xây dựng một số công thức tính thể tích mới giúp tính nhanh thể tích một số khối đa diện 29

PHẦN III KẾT LUẬN 48

A KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 48

1 Kết luận 48

2 Những kiến nghị, đề xuất 48

B KẾ HOẠCH THỰC HIỆN 49

C TÀI LIỆU THAM KHẢO 49

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ

1.1 Lí do chọn đề tài

Nghị quyết Hội nghị Trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diệngiáo dục và đào tạo nêu rõ: “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và họctheo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiếnthức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớmáy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở đểngười học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực Chuyển từhọc chủ yếu trên lớp sang tổ chức hình thức học tập đa dạng, chú ý các hoạt động

xã hội, ngoại khóa, nghiên cứu khoa học Đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin

và truyền thông trong dạy và học”

Đổi mới phương pháp dạy học đang thực hiện bước chuyển từ chương trìnhgiáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của người học, nghĩa là từ chỗquan tâm đến việc học sinh học được cái gì đến chỗ quan tâm học sinh vận dụngđược cái gì qua việc học Để đảm bảo được điều đó, phải thực hiện chuyển từphương pháp dạy học theo lối "truyền thụ một chiều" sang dạy cách học, cách vậndụng kiến thức, rèn luyện kỹ năng, hình thành năng lực và phẩm chất Tăng cườngviệc học tập trong nhóm, đổi mới quan hệ giáo viên - học sinh theo hướng cộng tác

có ý nghĩa quan trọng nhằm phát triển năng lực xã hội Bên cạnh việc học tậpnhững tri thức và kỹ năng riêng lẻ của các môn học chuyên môn cần bổ sung cácchủ đề học tập tích hợp liên môn nhằm phát triển năng lực giải quyết các vấn đềphức hợp Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của người học, hình thành

và phát triển năng lực tự học (sử dụng sách giáo khoa, nghe, ghi chép, tìm kiếm thông tin ), trên cơ sở đó trau dồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo của tư

duy Có thể chọn lựa một cách linh hoạt các phương pháp chung và phương phápđặc thù của môn học để thực hiện Tuy nhiên dù sử dụng bất kỳ phương pháp nàocũng phải đảm bảo được nguyên tắc “Học sinh tự mình hoàn thành nhiệm vụ nhận

thức(tự chiếm lĩnh kiến thức) với sự tổ chức, hướng dẫn của giáo viên”.

Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể (07/2017) có nêu “Những nănglực chung được tất cả các môn học và hoạt động giáo dục góp phần hình thành,phát triển: năng lực tự chủ và tự học, năng lực giao tiếp và hợp tác, năng lực giảiquyết vấn đề và sáng tạo” Trong đó, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo(GQVĐ&ST) được xem là một trong những năng lực cốt lõi giúp học sinh (HS)biết cách vận dụng kiến thức đã học giải quyết các vấn đề học tập, những tìnhhuống thực tiễn từ cuộc sống, xã hội ở tất cả các môn học

Trong trường phổ thông môn toán là một bộ môn rất quan trọng trong việcgiúp học sinh hình thành năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo, trong môn toán thìphần hình học không gian lại giữ một vai trò, vị trí hết sức đặc biệt Ngoài việccung cấp cho học sinh những kiến thức, kĩ năng giải toán hình học không gian, cònrèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất, năng lực của người công dân mới,

trong đó có năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo Qua nhiều năm giảng dạy mônhọc tôi cũng đúc kết được một số kinh nghiệm nhằm giúp tìm ra những phươngpháp truyền đạt phù hợp với học sinh, với mong muốn nâng dần chất lượng giảngdạy nói chung và môn Hình học không gian nói riêng.

Từ những lý do nêu trên, tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu là: ‘‘Phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học chủ

đề thể tích khối đa diện”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Trong đề tài này tôi đưa ra một số giải pháp giúp học sinh học tốt chủ đề nàyqua đó giúp học sinh phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo

Một số giải pháp đưa ra như sau:

+ Hình thành cho học sinh quy trình tựa thuật toán để giải quyết một bàitoán thể tích khối đa diện

+ Phân dạng các bài toán thể tích khối đa diện

+ Xây dựng một số công thức tính thể tích mới giúp tính nhanh thể tích một

số khối đa diện

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu các đối tượng sau:

Một số bài toán hình học không gian ở chương 1 lớp 12

1.4 Tính mới của đề tài, sáng kiến, giải pháp

Đã có nhiều tài liệu viết về chủ đề hình học không gian này, cũng đã cónhiều sáng kiến kinh nghiệm viết về chủ đề này nhưng những giải pháp đưa ra cụthể trong đề tài này thì gần như chưa có một tài liệu nào trước đó viết sát thực nhưsáng kiến này

1.5 Phương pháp nghiên cứu

+ Nghiên cứu lý luận chung

+ Khảo sát điều tra thực tế dạy học

+ Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm

1.6 Cách thực hiện

+ Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên của nhóm bộ môn.+ Liên hệ thực tế, áp dụng đúc rút kinh nghiệm

+ Thông qua việc giảng dạy trực tiếp

1.7 Tính khả thi khi thực hiện

Đề tài này đã được áp dụng cho các em học sinh lớp 12 trường THPT DiễnChâu 2 trong năm học 2019-2020 và đặc biệt là trong năm học 2020-2021

PHẦN II NỘI DUNG

2.1 Thực trạng của vấn đề

Trong môn toán ở trường phổ thông phần hình học không gian giữ một vaitrò, vị trí hết sức quan trọng Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ nănggiải toán hình học không gian, còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất,năng lực của con người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phêphán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư duy sáng tạo và năng lực giải quyếtvấn đề cho học sinh

Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh lớp 12 rất e ngạihọc môn Hình học không gian vì một số lý do sau:

i) Phân môn Hình học không gian được học phần cơ bản ở lớp 11 và phầntổng hợp ở lớp 12 Do đa số học sinh không chú ý, không nắm vững vấn đề cơ bản

và cốt lõi của chủ đề này ở lớp 11, không rèn luyện kỹ năng giải toán từ lớp 11 nên

bị mất gốc cả về kiến thức lẫn tư duy phương pháp giải bài toán hình học không gian

do đó khi lên lớp 12 hầu hết các em đều buông xuôi phần hình học không gian này

ii) Để học tốt phân môn Hình đòi hỏi người học phải có tư duy nhạy bén, óctưởng tượng phong phú, phải nắm được các qui ước vẽ hình Nhưng hiện nay đa sốhọc sinh lại lười tư duy, ít suy nghĩ, bài toán nào hơi khó là bỏ qua không kiên trìtìm kiếm phương pháp giải

iii) Về phía giáo viên, một bộ phận giáo viên toán khi dạy đến phân hình họckhông gian là suy nghĩ các em yếu phần này, có dạy thế nào đi nữa các em cũngkhông học, không hiểu bài nên dẫn đến cách tiếp cận vấn đề sơ sài, cẩu thả làm chocác em học sinh thêm phần khó khăn trong việc học chủ đề này

Từ các lý do trên nên kết quả bài kiểm tra phần hình học không gian của các

em trước khi thực hiện đề tài này không cao, cụ thể như sau:

2.2 Cơ sở lí luận và thực tiễn

2.2.1 Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo

Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo (NLGQVĐ&ST) của HS là khả năng

cá nhân sử dụng hiệu quả các quá trình nhận thức, hành động và thái độ, động cơ,cảm xúc để phân tích, đề xuất các biện pháp, lựa chọn giải pháp và thực hiện giảiquyết những tình huống, những vấn đề học tập và thực tiễn mà ở đó không có sẵn

quy trình, thủ tục, giải pháp thông thường, đồng thời đánh giá giải pháp GQVĐ đểđiều chỉnh và vận dụng linh hoạt trong hoàn cảnh, nhiệm vụ mới”.

Cấu trúc NLGQVĐ&ST của HS gồm sáu thành tố: nhận ra ý tưởng mới;phát hiện và làm rõ vấn đề; hình thành và triển khai ý tưởng mới; đề xuất, lựa chọngiải pháp; thực hiện và đánh giá giải pháp GQVĐ; tư duy độc lập Mỗi thành tốbao gồm một số hành vi của cá nhân khi làm việc nhóm hoặc làm việc độc lậptrong quá trình GQVĐ

- Nhận biết, phát hiện được vấn đề cần giải quyết bằng toán học

- Đề xuất, lựa chọn được cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề

- Sử dụng được các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích để giải quyếtvấn đề đặt ra

- Đánh giá giải pháp đề ra và khái quát hóa cho vấn đề tương tự

2.2.2 Một số định nghĩa, định lý và tính chất liên quan

1 Khái niệm về hình đa diện

 Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các

đa giác thỏa mãn hai tính chất:

a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ cómột đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung

b) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác

 Mỗi đa giác gọi là một mặt của hình đa diện Các đỉnh, cạnh của các đagiác ấy theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện

2 Khái niệm về khối đa diện

 Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cảhình đa diện đó

 Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đadiện Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện đó được gọi

là điểm trong của khối đa diện Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong, tậphợp những điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện

 Mỗi hình đa diện chia các điểm còn lại của không gian thành hai miềnkhông giao nhau là miền trong và miền ngoài của hình đa diện, trong đó chỉ cómiền ngoài là chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đó

3 Phân chia và lắp ghép khối đa diện

Nếu khối đa diện  H là hợp của hai

khối đa diện  H , 1  H sao cho 2  H và1

 H2 không có chung điểm trong nào thì ta nói

có thể chia được khối đa diện  H thành hai

khối đa diện  H1 và  H2 , hay có thể lắp ghép

hai khối đa diện  H và 1  H với nhau để2

được khối đa diện  H .

4 Thể tích khối chóp và khối lăng trụ

a) Thể tích khối chóp: V 1

3B h+B : Diện tích mặt đáy

+ h: Độ dài chiều cao khối chóp.

b) Thể tích khối lăng trụ: V B h.

+B : Diện tích mặt đáy

+h: Chiều cao của khối chóp

Bước 1: Xây dựng công thức tính

Trong bước này chúng ta phải xác định được đâu là đáy, đâu là đường caocủa khối đa diện từ đó xác lập được công thức tính thể tích của khối đa diện đó

Bước 2: Tính các yếu tố thành phần trong công thức trên

Từ giả thiết ta đi tính đường cao và diện tích đáy của khối đa diện trên

Bước 3: Lắp các yếu tố đã tính được vào công thức và cho kết quả

Để giúp cũng cố quy trình trên ta thực hiện ví dụ sau:

VÍ DỤ 1. Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O Biết

Khối chóp S ABCD lại có đáy là hình chữ nhật và AB a AD a ,  3 nên

dễ dàng tính được diện tích đáy

Vậy thể tích khối chóp tính được khi ta tính được độ dài đường cao SO,

dựa vào kiến thức cơ bản trong hình học phẳng chúng ta dễ dàng tính được độ dàiđường cao của hình chóp

Từ những phân tích trên ta suy ra lời giải như sau:

Lời giải:

Ta cóSOABCD suy ra 1

AB a BC a Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng

vuông góc với mặt phẳng  ABC Tính theo a thể tích V của khối chóp

S ABC ?

Phân tích:

Trong bài toán này khối chóp S ABC chưa cho rõ đâu là đường cao, đâu

là đáy Vậy để xác lập được công thức tính thì ta phải xác định được đường cao củakhối chóp này

Ta có giả thiết mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng

vuông góc với mặt phẳng  ABC kết hợp với định lý: "Hai mặt phẳng vuông góc

với nhau, thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này mà vuông góc vớigiao tuyến thì sẽ vuông góc với mặt phẳng kia"

Từ đó chỉ cần trong tam giác đều SAB ta kẻ đường cao SH  AB thì

Để hoàn thành yêu cầu bài toán thì nhiệm vụ còn lại là tính SH và S ABC,

mà việc này thì không còn khó khăn nữa

Từ những phân tích trên ta suy ra lời giải như sau:

Lời giải:

Gọi H là trung điểm của cạnh AB Do SAB đều nên SH  AB

Hơn nữa (SAB) vuông góc với mặt đáy (ABC) nên SH ABC Do đó SH

là chiều cao của khối chóp S ABC suy ra . 1 

Vậy thể tích khối chóp S ABC là: . 1 1 3 2 2 3 6

Trong bài toán này khối chóp S ABCD chưa cho rõ đâu là đường cao, đâu

là đáy Vậy để xác lập được công thức tính thì ta phải xác định được đường cao củakhối chóp này

Từ giả thiết SA SB SC   2a kết hợp với định lý: “Hai đường xiên

bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu của chúng bằng nhau” ta suy ra hình chiếu

vuông góc của S lên mặt phẳng  ABCD là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC , vấn đề cần giải quyết là đi tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Xét tam giác ABD cân tại A có �BAD600 nên tam giác ABD đều, suy ra



DA DB tức là DA DB DC Vậy D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 

ABC Khi xác định được đường cao của hình chóp thì việc tính toán các yếu tố sẽ

Lời giải:

Xét tam giác ABD cân tại A có �BAD600 nên tam giác ABD đều, suy ra



DA DB tức là DA DB DC Vậy D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mpABCD Vì SA SB SC  

nên các tam giác SHA, SHB , SHC bằng nhau (theo trường hợp cạnh huyền - cạnh

góc vuông) Suy ra HA HB HC , hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 

ABC Do đó H trùng với D suy ra 1

VÍ DỤ 4 Cho hình chóp S ABCD có cạnh bên SA tạo với đáy một góc 60�

và SA a 3, đáy là tứ giác có hai đường chéo vuông góc, AC BD  2a Tính thể tích V của khối chóp S ABCD theo a?

Từ giả thiết SA a 3 và hợp với đáy một góc 60 nên nếu ta kẻ SH�

vuông góc với mặt đáy thì AH là hình chiếu vuông góc của SA lên mặt phẳng đáy

nên góc giữa SA ABCD,   SA AH,  SAH� 600 Khi đó áp dụng giả thiết

SA a thì ta sẽ tính được SH Khi xác định được đường cao của hình chóp thì

việc tính toán các yếu tố sẽ trở nên đơn giản, từ đó ta có lời giải bài toán như sau:

Trong bài toán này khối chóp S ABC đã xác định được đường cao là SA..

Vì vậy ta xác lập được công thức tính thể tích của khối chóp này

Từ giả thiết AB a,  AC 2a, � BAC1200 ta suy ra diện tích tam giác

ABC Vì vậy để tính thể tích khối chóp S ABC thì cần tính đường cao SA, ở đây

ta thấy còn giả thiết góc góc giữa SBC và   ABC là  60 còn chưa sử dụng nên0

chắc chắn để tính được SA thì cần sử dụng giả thiết này Muốn sử dụng giả thiết

này thì ta phải dựng được góc của hai mặt phẳng, sau khi dựng được góc giữa haimặt phẳng thì việc tính sẽ trở nên đơn giản Khi đó ta có lời giải bài toán như sau:

Lời giải:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC

.77

Trong bài toán này khối chóp S ABCD đã cho rõ SO là đường cao nên ta chọn

ABCD là đáy Từ đó ta xác lập được công thức tính thể tích của khối chóp này

Từ giả thiết ABCD là hình thoi có một góc 60 nên ta dễ dàng tính được�diện tích đáy Vì vậy để tính được thể tích của khối chóp thì cần tính được đường

cao SO mà ta còn giả thiết mặt phẳng SCD tạo với mặt phẳng đáy góc � 60 nênchắc chắn phải sử dụng giả thiết này để tính độ dài đường cao, khi ta dựng đượcgóc thì việc tính độ dài đường cao sẽ trở nên đơn giản hơn, từ đó ta có lời giải bàitoán như sau:

Phân tích:

Trong bài toán này khối lăng trụ chưa cho rõ đường cao nên để tính được thểtích của khối lăng trụ thì đầu tiên chúng ta phải xác định được đường cao của nó

Ta có giả thiết mặt bên ABB A là hình bình hành và nằm trong mặt��

phẳng vuông góc với mặt phẳng A B C D���� kết hợp với định lý: "Hai mặt phẳng

vuông góc với nhau, thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này màvuông góc với giao tuyến thì sẽ vuông góc với mặt phẳng kia" nên nếu ta kẻ

��



AH A B thì AHA B C D từ đó ta xác định được đường cao của khối lăng����

trụ, việc tính toán các yếu tố trong bài này khi dựng được rồi thì rất cơ bản, từ đó ta

có lời giải bài toán như sau:

Lời giải:

Vẽ đường cao AH của hình bình hành ABB A , vì mặt bên �� ABB A vuông ��

góc với mặt đáy nên AH cũng là đường cao của lăng trụ đã cho.

a b c

a b c

Thể tích V của khối hộp chữ nhật đã cho là: V abc 2.3.1 6

VÍ DỤ 9 Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A, . ���cạnh BC 2a và góc � ABC  �60 Biết tứ giác BCC B là hình thoi có góc��

��

B BC nhọn và mặt phẳng BCC B vuông góc với mặt phẳng �� ABC Mặt 

phẳng  ABB A�� tạo với mặt phẳng  ABC góc 45� Tính thể tích V của khối

lăng trụ ABC A B C . ���

Phân tích:

Trong bài toán này khối lăng trụ chưa cho rõ đường cao nên để tính được thểtích của khối lăng trụ thì đầu tiên chúng ta phải xác định được đường cao của nó

Ta có giả thiết mặt bên BCC B là hình thoi và nằm trong mặt phẳng��

vuông góc với mặt phẳng  ABC kết hợp với định lý: "Hai mặt phẳng vuông góc

với nhau, thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này mà vuông góc vớigiao tuyến thì sẽ vuông góc với mặt phẳng kia" nên nếu ta kẻ �B H BC thì

B H ABC từ đó ta xác định được đường cao của khối lăng trụ Sau khi dựng

được đường cao, ta thấy tam giác vuông �B HI chỉ có góc ��  B IH 450, với từng đó

dữ kiện không thể tìm được đường cao �B H của lăng trụ Xét tam giác BHI vuông tại I, ta cũng chỉ có được �  B 600, không đủ điều kiện để tìm bất kỳ cạnh nào Xét

tam giác vuông BB H cũng chỉ có dữ kiện � BB�2a BC (cạnh hình thoi) Qua

đây, ta thấy mỗi tam giác vuông trong hình đều có những dữ kiện nửa vời, vì vậy muốn giải quyết dạng toán này, chúng ta cần xét cùng lúc nhiều tam giác rồi liên

hệ các dữ kiện rời rạc thành một phương trình duy nhất để tìm cạnh (góc) như

mong muốn Từ đó ta có lời giải bài toán như sau:

Gọi h B H là chiều cao của hình lăng trụ  � ABC A B C suy ra. ���

3sin60

Trong bài toán này đã cho khối lăng trụ đứng nên ta đã biết cạnh bên của

lăng trụ cũng là đường cao của nó Mặt khác giả thiết bài toán cho đáy ABC là

tam giác vuông cân tại C CB,  2a nên ta dễ dàng tính được diện tích của đáy Vì

vậy để giải quyết được bài toán này thì chúng ta cần huy động các kiến thức vàoviệc tính cạnh bên của khối lăng trụ Áp dụng giả thiết góc giữa 'B C và AC bằng'

0

60 thì sẽ tính được cạnh bên, từ đó ta có lời giải như sau:

Lời giải:

Gọi E là trung điểm đoạn ABthì CE AB tại E (vì ACB vuông cân tại C ).

Hơn nữa CE BB nên  � CE EB suy ra  � CEB vuông tại E �

Gọi K C B B C thì EK là đường trung bình của  �� � ABC suy ra�

Vậy: V ABC A B C ' ' 'BB S� ABC a 2.a2a3 2

Để giải quyết bài toán này ta thấy một đặc điểm chung là phải xác định đượcđâu là đường cao, đâu là đáy Sau đó khai thác các giả thiết góc, giả thiết khoảngcách đồng thời huy động các kiến thức để tính yếu tố cạnh như định lý sin, định lý

cô sin, công thức tính diện tích, công thức tính độ dài đường trung tuyến,… để tínhcác yếu tố đó Sau đó lắp vào công thức thì cho ra kết quả mong đợi

Giải pháp 2 Phân dạng các bài toán thể tích khối đa diện

Trường hợp 1: Hình chiếu của đỉnh lên mặt đáy trùng với một đỉnh của mặt đáy

Ví dụ 1 Cho hình chóp S ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng ABCD đáy,

ABCD là hình thang vuông tại A và B có AB a AD , 3 , a BC a Biết

SA a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy, tam giác SBD là tam giác đều

Tính thể tích của khối chóp S ABCD?

chóp S ABCM theo a.

Lời giải

Ví dụ 5 Cho hình lăng trụ đứngABC A B C , biết đáy ABC là tam giác đều cạnh ���

a Khoảng cách từ tâm O của tam giác ABC đến mặt phẳng  A BC bằng � 

6

a

Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A B C ���

Chiều cao là h d ABC A BC    ; ���  AA�.

Do tam giác ABC là tam giác đều nên

O là trọng tâm của tam giác ABC Gọi I là

trung điểm của BC , H là hình chiếu vuông

Xét tam giác �A AI vuông tại A ta có:

Lời giải

SAB đều cạnh a  đường cao

2

a

SH ; SAB  ABC nên SH cũng là

đường cao của hình chóp S ABC ABC vuông

Do SAC  ABCD nên đường cao SH

của tam giác SAC là đường cao của khối chóp

Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ ABCD A B C D có hình chiếu � ' ' ' ' A lên mp ABCD  là

trung điểm H của AB, ABCD là hình thoi cạnh 2a, góc � ABC600, BB tạo với�

đáy một góc 30 Tính theo a thể tích hình lăng trụ0 ABCD A B C D ? ' ' ' '

chiếu vuông góc của �A lên mặt phẳng  ABC trùng với trung điểm cạnh BC 

Góc giữa BB và mặt phẳng � ABC bằng 60� Tính thể tích của khối lăng trụ

Trường hợp 3: Hình chiếu của đỉnh trên mặt đáy nằm ở miền trong của

đa giác đáy

Ví dụ 1: Cho khối chóp S ABC có SA SB SC , tam giác ABC là tam giác đều  

cạnh 2a, khoảng cách giữa SA và BC bằng 3

2

a Tính theo a thể tích khối chóp

S ABC

Lời giải

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra G là chân đường cao kẻ từ S

Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, � ABC �60 Hình

chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng đáy là trọng tâm của tam giác ABC Gọi

SM

2 2

12

a h