SKKN Xây dựng một số công thức giải nhanh giúp học sinh làm tốt bài tập trắc nghiệm chương I giải tích 12

Vì vậy, giáo viên và học sinh cần phải đổi mới phương pháp dạy và học để đáp ứng được hai yêu cầu: nắm được kiến thức và giải bài toán trong thời gian nhanh nhất có thể.. Để đáp ứng được

MỤC LỤC

PH ẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ 2

I Lý do chọn đề tài: 2

II Đối tượng, mục đích nghiên cứu: 2

III Thời gian và phương pháp nghiên cứu 3

IV Nhiệm vụ nghiên cứu 3

V Phạm vi nghiên cứu 4

VI Dự báo xu hướng đóng góp mới của đề tài 4

PH ẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 5

I Cở sở lý luận: 5

II Cơ sở thực tiễn: 5

III Xây dựng hệ thống công thức 5

3.1 Xây dựng công thức giải nhanh một số bài toán về tính đơn điệu của hàm số bậc ba yax3 bx2  cx d a 0 5

3.2 Xây dựng công thức giải nhanh bài toán về cực trị hàm số bậc ba, bậc bốn 8

3.3 Xây dựng công thức và phương pháp giải nhanh một số bài toán liên quan đến hàm số phân thức ax b y cx d    26

3.4 Bài tập ôn luyện 29

IV Một số lưu ý rút ra từ quá trình dạy học 38

4.1 Hiệu quả của sáng kiến 38

4.2 Kết quả thực nghiệm 38

4.3 Kết quả chung 42

PH ẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 43

1 Kết luận 43

2 Kiến nghị 43

M ỘT SỐ HÌNH ẢNH THỰC NGHIỆM 45

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 49

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Đất nước ta đang trên con đường hội nhập và phát triển, từ đó cần những con người phát triển toàn diện Muốn vậy, phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục và đào tạo, đòi hỏi sự nghiệp giáo dục phải được đổi mới một cách căn bản và toàn

diện để đáp ứng nhu cầu phát triển của xã hội Để đổi mới sự nghiệp giáo dục và đào tạo trước hết phải đổi mới phương pháp dạy học Điều quan trọng của việc

dạy và học là trang bị cho người học kỹ năng cần thiết, về tư duy, nhân cách,

phẩm chất và đạo đức Đào tạo thế hệ trẻ có đủ năng lực công tác thích ứng với

cuộc sống , giáo dục phát triển toàn diện trí thể mỹ Đào tạo nguồn nhân lực có

đủ trình độ chuyên môn nghiệp vụ phục vụ đắc lực cho sự nghiệp công nghiệp hoá - Hiện đại hoá đất nước , phù hợp với sự phát triển kinh tế toàn cầu, thời đại phát triển công nghệ thông tin

Từ năm học 2017 đến nay hình thức thi THPT Quốc Gia của môn Toán đã

có sự thay đổi chuyển từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm, đây là một sự thay đổi lớn trong việc kiểm tra đánh giá đối với bộ môn toán Làm toán trắc nghiệm không chỉ đòi hỏi học sinh có kiến thức mà còn phải biết

giải bài toán trong thời gian nhanh nhất Vì vậy, giáo viên và học sinh cần phải đổi mới phương pháp dạy và học để đáp ứng được hai yêu cầu: nắm được kiến

thức và giải bài toán trong thời gian nhanh nhất có thể

Để đáp ứng được vấn đề này, chúng tôi những giáo viên dạy toán cần cho

học sinh tự tìm tòi cách giải các dạng toán tổng quát và rút ra công thức giải nhanh cho các dạng toán đó, đảm bảo học sinh vừa có kiến thức sâu lại đáp ứng được yêu cầu giải bài toán trong thời gian nhanh nhất có thể Với các lí do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài:“ Xây dựng một số công thức giải nhanh giúp học sinh

làm t ốt bài tập trắc nghiệm chương 1- Giải tích 12”

II ĐỐI TƢỢNG, MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:

2.1 Đối tƣợng nghiên cứu:

Thứ nhất về kiến thức: là kiến thức về toàn bộ chương 1 giải tích 12 như tính đơn điệu, cực trị …, các dạng bài tập có công thức giải nhanh, ngắn gọn và

một số bài tập nâng cao với công thức giải tương đối phức tạp yêu cầu phải suy

luận mới có thể giải được

Thứ hai về học sinh: là đối tượng học sinh lớp 12 chuẩn bị tham gia thi THPT Quốc gia

2.2 Mục đích nghiên cứu:

- Từ bài toán tự luận tìm ra các kỹ thuật, công thức giải nhanh cho bài

toán giải theo hình thức trắc nghiệm Làm vậy sẽ đáp ứng được hai yêu cầu học sinh nắm chắc kiến thức và xử lý nhanh Tạo hứng thú học tập cho mọi đối tượng học sinh

- Phân chia các dạng toán, mỗi dạng hệ thống các công thức từ đó học sinh củng cố được kiến thức Từ đó giúp học sinh có sự tự định hướng tốt hơn khi đứng trước các bài toán liên quan

III THỜI GIAN VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

3.1 Thời gian nghiên cứu

Trong suốt thời gian giảng dạy tại trường THPT Nghi lộc 2, từ lớp 10 đến

lớp 12, chúng tôi gồm Nguyễn Giáo Ngọc và Nguyễn Thị Thủy đã nghiên cứu

đề tài này

3.2 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Thông qua sách, vở, tạp chí, các trang

mạng…

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết

- Tổng hợp kinh nghiệm giáo dục;

- Điều tra, khảo sát; Khảo sát học sinh khối 12 thông qua một số tiết dạy toán 12

- Lấy ý kiến chuyên gia;

- Thực nghiệm sư phạm

Cách thực hiện:

- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn

- Liên hệ thực tế trong nhà trường ra bài tập vận dụng để học sinh làm, áp

dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy

- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 12 trong năm học

2017 - 2018 đến nay

IV NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

- Nhiệm vụ của đề tài:

Kế hoạch nghiên cứu tìm ra phương pháp giúp đỡ học sinh học tốt giải tích

lớp 12

Nghiên cứu, đánh giá tính khả thi khi vận dụng vào thực tiễn giảng dạy

Rút ra kết luận và đề xuất một số biện pháp khi tiến hành giúp đỡ từng đối tượng học sinh nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy trong nhà trường THPT

- Yêu cầu của đề tài:

Để phát triển năng lực tự định hướng cho học sinh, giáo viên nên vận dụng các phương pháp dạy học tích cực và tiến hành theo trình tự: giới thiệu phương pháp (dạy học tường minh tri thức phương pháp được phát biểu một cách tổng quát); đưa ra các ví dụ đa dạng vận dụng tri thức phương pháp (tập luyện những

hoạt động ăn khớp với những tri thức phương pháp) và cuối cùng là hệ thống các bài toán tự luyện giúp học sinh khắc sâu tri thức phương pháp

V P HẠM VI NGHIÊN CỨU

- Đề tài này chúng tôi tập trung vào một số bài toán chương 1 giải tích lớp

12 trong chương trình phổ thông

- Dùng công cụ đạo hàm ở chương trình lớp 12 để giải quyết các bài toán ứng dụng thực tế

- Một số bài toán liên quan đến chương 1 ở trong các đề thi THPTQG

VI DỰ BÁO XU HƯỚNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA ĐỀ TÀI

Hiện nay, kỹ năng giải toán trắc nghiệm của học sinh đang còn yếu Học sinh giải quyết vấn đề còn chậm và thiếu chính xác Vì vậy, việc rèn luyện kỹ năng giải toán trắc nghiệm của học sinh thông qua công thức giải nhanh là một

hoạt động thiết thực mang lại hiệu quả giáo dục cao đồng thời góp phần đổi mới phương pháp dạy học

- Giúp các em hình thành tư duy giải nhanh, chính xác các bài toán liên quan

- Giúp các em học sinh nhìn nhận rõ hơn về ứng dụng toán học vào thực tế đời sống

- Có hệ thống công thức bài tập hay, khó và mới

- Trình bày được một số kinh nghiệm và giải pháp trong dạy học trắc nghiệm chương 1 nhằm khắc phục một số khó khăn của học sinh và tạo động lực cho học sinh tính tích cực tự giác trong học tập

PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

I CỞ SỞ LÝ LUẬN:

Trong xu thế đổi mới phương pháp giáo dục hiện nay của Bộ giáo dục và đào tạo, trong quá trình dạy học để thu được hiệu quả cao đòi hỏi người giáo viên phải nghiên cứu tìm hiểu kỹ chương trình, đối tượng học sinh; đưa ra các phương pháp phù hợp với kiến thức, với các đối tượng học sinh cần truyền thụ

Với tinh thần trên chúng tôi đã nghiên cứu chương trình SGK, tài liệu tham khảo

và phân thành các dạng toán và mỗi dạng toán chúng tôi tìm tòi công thức giải nhanh giúp học sinh tiết kiệm thời gian khi làm đề thi THPTQG

II CƠ SỞ THỰC TIỄN:

Sau khi học xong khái niệm, tôi đã cho học sinh thực hành làm bài trắc nghiệm 20 câu với phân loại 20 câu đủ hai phần và các câu hỏi có nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp và câu hỏi vận dụng cao

Đặc điểm của lớp thực nghiệm là:

Đối với lớp 12A6 Số học sinh: 42

Kết quả học tập về môn toán năm học 2019 – 2020 là: 2 học sinh có học

lực giỏi, 9 học sinh có học lực khá, 14 học sinh có học lực trung bình, 13 học sinh có học lực yếu và có 4 học sinh học lực kém

Đối với lớp 12A7 Số học sinh: 42

Kết quả học tập về môn toán năm học 2019 – 2020 là: 3 học sinh có học

lực giỏi, 9 học sinh có học lực khá, 15 học sinh có học lực trung bình, 13 học sinh có học lực yếu và có 2 học sinh học lực kém

Như vậy qua khảo sát trên ta thấy đa số học sinh chưa đảm bảo với yêu cầu

kiểm tra đánh giá mới Rất nhiều học sinh không hoàn thành được bài làm của mình trong khoảng thời gian 90 phút dành cho 50 câu nếu không có kỹ thuật và

“mẹo” giải nhanh

III XÂY DỰNG HỆ THỐNG CÔNG THỨC

3.1 Xây d ựng công thức giải nhanh một số bài toán về tính đơn điệu

a) Nếu với mọi và chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc thì hàm số đồng biến trên

b) Nếu với mọi và chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc thì hàm số nghịch biến trên

Định lý 2 Cho hàm số có đạo hàm trên

a) Nếu với mọi , chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc (a;b) và f(x) liên tục trên thì hàm số đồng biến trên

b) Nếu với mọi và chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc và liên tục trên thì hàm số nghịch biến trên Sau khi học sinh nắm được lý thuyết trong giờ dạy của mình chúng tôi thực

hiện các bước sau:

Bước 1: Nêu vấn đề , định hướng cho học sinh giải các dạng toán thường

g ặp dưới dạng tự luận để học sinh hiểu được bản chất vấn đề

Bước 2: Giáo viên định hướng học sinh chọn công thức giải nhanh cho mỗi

d ạng toán đó

Bước 3: Đưa ra một số bài tập trắc nghiệm có vận dụng công thức đề học sinh rèn luy ện, củng cố ghi nhớ kiến thức

Liên quan đến tính đơn điệu hàm bậc ba các dạng toán thường gặp:

1) Tìm điều kiện để hàm số bậc ba yax3 bx2  cx d a 0 đồng biến trên R Giáo viên dẫn dắt cho học sinh giải

Hàm số đồng biến trên R  y' 3  ax2  2bx c    0, x R và dấu bằng xảy

trên một đoạn có độ dài bằng k cho trước

Hàm số đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng k  y' 0  có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 sao cho x1x2 k

Hàm s ố bậc ba yax3 bx2  cx d a 0

́

Hàm s ố bậc ba yax3 bx2  cx d a 0

ngh ịch biến trên một đoạn có độ dài bằng k

cho trước

√ | |

Hàm s ố bậc ba yax3 bx2  cx d a 0

đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng k

cho trước

√ | |

Hàm s ố bậc ba yax3 bx2  cx d a 0

đồng biến trên một đoạn có độ dài lớn hơn

k cho trước

√ | |

Ví d ụ 2: Với giá trị nào của m thì hàm số 1 3 2

và thì ta nói hàm số đạt cực đại tại

Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số

+ Nếu tồn tại số sao cho với mọi

và thì ta nói hàm số đạt cực tiểu tại

Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số

+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị

+ Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị

Giáo viên dẫn dắt cho học sinh giải bài toán

Hàm số có hai cực trị (có CĐ và CT) y' 3  ax2  2bx c  0có hai nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi x qua chúng ' 2

     2) Tìm điều kiện để hàm số bậc ba yax3 bx2  cx d a 0 không có

cực trị Hàm số không có cực trị  y' 3  ax2  2bx c  0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép ' 2

     3) Tìm điều kiện để hàm số bậc ba yax3 bx2  cx d a 0 có hai cực

trị Tìm tọa độ trung điểm của hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Hoành độ của hai điểm cực trị là hai nghiệm x1 , x2 của phương trình

y' 3  ax2  2bx c  0

Theo định lý viet : x1 x2 =

3

b a

Do đó, tọa độ trung điểm của hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là

4) Tìm điều kiện để hàm số bậc ba yax3 bx2  cx d a 0 có hai cực

trị Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

(phương trình đường thẳng đi qua cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số)

Chia y cho y’ rồi biểu diễn y theo y’ ta được :

Khi hàm s ố có hai điểm cực trị thì

trung điểm của hai điểm cực trị của

đồ thị hàm số chính là điểm uốn của

Khi hàm s ố có hai điểm cực trị thì

ph ương trình đường thẳng đi qua hai

Với m 0 hàm số có cực đại và cực tiểu Khi đó phương trình đường thẳng

đi qua cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số là

Ví d ụ 8: Tìm m để hàm số yx3  3x2 mx 2 có hai điểm cực trị và đường

thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân ?

Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa

độ một tam giác cân nên hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có

hệ số góc bằng  1

2

1 9.1

Gọi k là hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm

số Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với đường thẳng

d : x+ 4y – 3 =0 góc   45 0nên ta có : 0

3 1

5 4

A m  2 B m  1 C m 0 D m 1

Trung điểm của hai điểm cực trị là I (1; m-2)

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là

Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng d khi và

chỉ khi đường thẳng d đi qua trung điểm của hai đoạn thẳng nối hai điểm cực trị

và d vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

Trung điểm của hai điểm cực trị là I (1; m)

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là

8) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số yax4 bx2 c a(  0) có ba điểm cực trị

tạo thành một tam giác đều

9) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số yax4 bx2 c a(  0) có ba điểm cực trị

13) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số yax4 bx2 c a(  0) có ba điểm cực

trị A, B, C sao cho tam giác ABC có 3 góc nhọn

14) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số yax4 bx2 c a(  0) có ba điểm cực

trị A, B, C sao cho AB ACn0

15)Tìm điều kiện để đồ thị hàm số yax4 bx2 c a(  0) có ba điểm cực trị

A, B, C sao cho SABC S0

16) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số yax4 bx2 c a(  0) có ba điểm cực trị

tạo thành tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp r0

17) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số yax4 bx2 c a(  0) có ba điểm cực trị

tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp R0

18) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số yax4 bx2 c a(  0) có ba điểm cực trị

A, B, C sao cho tam giác ABC có trọng tâm là gốc tọa độ O

19) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số yax4 bx2 c a(  0) có ba điểm cực trị

A, B, C sao cho tam giác ABC có trực tâm là gốc tọa độ O

20) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số yax4 bx2 c a(  0) có ba điểm cực trị

A, B, C sao cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là gốc tọa độ O

21) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số yax4 bx2 c a(  0) có ba điểm cực trị

A, B, C sao cho tam giác ABC có tâm đường tròn nội tiếp là gốc tọa độ O

22) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số yax4 bx2 c a(  0) có ba điểm cực trị

A, B, C sao cho tam giác ABC cùng với điểm O tạo thành một hình thoi

23) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số yax4 bx2 c a(  0) có ba điểm cực trị

khi và chỉ khi a 0và hàm số có 1 cực trị  0

0

a b

b S a

32

b S

2 16

b a

3 2

19) Vì tam giác ABC cân tại A nên OABC

Do đó, O là trực tâm của tam giác ABC OB AC    0 b3 8a 4ac 0 20) Tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là gốc tọa độ O⟺ ⟺

21) Tam giác ABC có tâm đường tròn nội tiếp là gốc tọa độ O ⟺ ⟺

22) Do BCOA nên tam giác ABC cùng với O tạo thành hình thoi ABOC khi và chỉ khi H là trung điểm của OA 0 2 2

với

(Vì √ √ √ √ mà nên ) Áp dụng định lý viet ta rút ra được

Ta có công th ức giải nhanh cho bài toán:

a b





 



D ữ kiện Công th ức

Hàm s ố yax4 bx2 c a(  0) có 2 c ực

đại và 1 cực tiểu

0 0

a b

a b

a b

8 cos

3 0

8

a b

b r

b a

0

8 8

 C m có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều

4

AC

A m 0 B m  3 C m  3 D m 3

Gi ải:

Với a = m , b = -1 , 0

1 4

2 1 0 1

3.2.3 Bài toán v ề cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

1, Số điểm cực trị của hàm số bằng tổng số nghiệm đơn và nghiệm bội lẻ của pt

bội 3, là nghiệm kép Vậy có 2 điểm cực trị )

2, Số điểm cực trị của hàm số bằng số điểm cực trị

của hàm số

3, Số điểm cực trị của hàm số bằng tổng số điểm cực trị của hàm

số và số nghiệm đơn, nghiệm bội lẻ của pt

4, Số điểm cực trị của hàm số bằng với là số điểm cực trị dương của hàm số

5, Số điểm cực trị của hàm số bằng số điểm cực trị của hàm