Ứng dụng thuật toán ML để đổi pha sóng mang và định thời cho kênh pha ding 2

Tài liệu tham khảo chuyên ngành viễn thông Ứng dụng thuật toán ML để đổi pha sóng mang và định thời cho kênh pha ding

Chơng II Tổng hợp các thuật toán đồng bộ 2.1 Mở đầu

Trên cơ sở mô hình kênh pha đinh và các thông số đặc trng của nó đã đợc khảo sát

và đợc rút ra ở chơng I Theo đó, một khi cho tín hiệu có khuôn dạng điều chế cụ thể cũng nh loại tín hiệu cụ thể đợc truyền qua kênh pha đinh này ta có thể xác định đợc sự

ảnh hởng của kênh pha đinh này lên tín hiệu đó trong miền thời gian và miền tần số Vì mục đích của đồ án là tìm hiểu các giải pháp đồng bộ định thời và pha sóng mang trong môi trờng kênh pha đinh, vì vậy chơng này sẽ trình bầy có tính tổng hợp các thuật toán đồng bộ điển hình đợc dùng trong quá trình đồng bộ Thuật toán đợc rút ra phải bao gồm: (1) các thông số cần đợc ớc tính hay thông số đồng bộ cụ thể là thông số

định thời  và thông số pha sóng mang ; (2) các thông số đặc trng cho loại dữ liệu

đợc phát qua kênh cụ thể dữ liệu a tính chất đặc trng của loại dữ liệu này nghĩa là xác suất phát dữ liệu này, dữ liệu này thuộc loại dữ liệu tất định hay ngẫu nhiên cũng nh quan hệ của dữ liệu này với các thông số đồng bộ định thời và pha sóng mang (3) ảnh hởng của kênh lên các thông số cần đợc ớc tính và dữ liệu phát qua kênh Tuy nhiên, cề nguyên tắc cần phải xét cho các mô hình kênh pah đinh thực tế và các thông số phụ

thuộc thời gian, song công thức toán quá phức tạp Trong nghiên cứu thờng lấy gần

đúng, không làm mất tính cảm nhận đối với các mô hình kênh thực tế Theo đó, ta rút

ra các thuật toán đồng bộ trong các điều kiện lý tởng và sau đó phân tích hiệu năng của các thuật toán này khi đợc sử dụng chung với các kênh thực tế

Theo đó, trớc hết đồ án trình bầy việc rút ra các thuật toán đông bộ khẳ năng nhất

ML (Maximum-Likelihood) một cách vắn tắt để đồng bộ (hay ớc tính) định thời và pha Phân loại các loại ớc tính dựa trên các tiêu trí cụ thể Trình bầy thuật toán tìm kiếm lớn nhất theo cơ chế tìm kiếm song song và tìm kiếm lặp và các hệ thống hồi tiếp lỗi Đặc biệt trình bầy hai thuật toán ớc tính thông số định thời không đợc hỗ trợ dữ liệu NDA và đợc hỗ trợ dữa liệu DA (DD) mà đợc dùng rất phổ biến trong các hệ thống thông tin vô tuyến Các thuật toán tìm đợc là giải pháp để phục vụ các bài toán tối u

2.2 Rút ra các thuật toán đồng bộ ML

 Định nghĩa

Hàm khả năng giống phải đạt đợc tính trung bình trên các thông số không mong đợi Chẳng hạn,

 Ước tính hợp của , :

r  ,   P a pr a ,  , 

a chuỗi Mọi

 Ước tính pha :



















r

a chuỗi Mọi

(2.1)

 Ước tính định thời :



















  P a p r a , , p d r

a chuỗi Mọi

ngoại trừ một vài trờng hợp đặc biệt, thờng không thể lấy trung bình ở dạng kín đợc, do

đó phải sử dụng đến kỹ thuật lấy gần đúng Vì vậy, có thể hiểu việc rút ra các thuật toán đồng bộ là tìm cách lấy gần đúng phù hợp

 Phân loại

 Cơ sở (1) : Dựa vào cách khử sự phụ thuộc dữ liệu liên quan ra mà phân

thành

1 Loại DD/DA: trực tiếp quyết định (DD: Decision-Directed) hay hỗ trợ dữ liệu (DA: Data-Aided)

2 Loại NDA: Không hỗ trợ dữ liệu (Non-data-aided)

Loại DD/DA

Loại thuật toán DA: Khi biết trớc chuỗi dữ liệu (chẳng hạn mào đầu a 0 trong quá trình

bắt), khi này ta đề cập đến các thuật toán đồng bộ hỗ trợ dữ liệu (dữ liệu hỗ trợ) Vì

biết trớc chuỗi a 0, nên chỉ có một một thành phần của tổng trong ptr (2.1) còn lại Vì vậy, quy tắc ớc tính hợp ,  quy về làm cực đại hoá hàm khả năng

 r | a  a ,  , 

       



 p r a a , , max

arg ˆ

,

ˆ

0 f

, DA

(2.2)

Loại thuật toán DD: Khi chuỗi đợc tách a ˆ đợc dùng cứ nh là nó là chuỗi đúng thì ta

đề cập đến các thuật toán đồng bộ trực tiếp quyết định Khi xác suất aˆ là chuỗi đúng

của a 0 mà lớn, thì chỉ có một thành phần tham gia vào tổng ở ptr(2.1)

























a chuỗi

Mọi

(2.3) Vì vậy









 



 p r a aˆ , , max

arg ˆ

,

ˆ

f ,

DD

(2.4)

Tất cả các thuật toán DD đều cần đến một ớc tính thông số khởi tạo trớc khi bắt đầu

quá trình tách tách Để có đợc ớc tính tin cậy, có thể gửi tiêu đề của các ký tự đã biết

Loại NDA: Có đợc các thuật toán NDA nếu thực sự thực hiện (chính xác hoặc xấp xỉ)

phép lấy trung bình

Ví dụ: NDA cho BPSK với các ký hiệu phân bố đồng nhất độc lập nhau i.i.d































1 N 0 n

n n

f n

n f

r

p

(2.5)

 Cơ sở (2) : phân loại theo các thông số đồng bộ đợc rút ra Chẳng hạn, (DD&D): Trực tiếp định thời và dữ liệu:



























thoi dinh f

f p r ˆ , , ˆ r

p

liệu du

a

DD, không phụ thuộc định thời:

r  pr a  a ˆ ,  , p  d 

(DD&D): Trực tiếp pha và dữ liệu:

























r p

pha f

f

liệu du

a

DD, không phụ thuộc pha:

r pr aaˆ,,p  d

 Cơ sở (3) : Phân loại theo cách ớc tính pha và định thời từ tín hiệu thu Ta

phân biệt giữa các thuật toán vào hai loại sau

 Loại (FF) : là loại trực tiếp ớc tính các thông số không đợc biết trớc (

0

0 , 

 ) đợc gọi là Feedforward (FF) vì rút ra đợc ớc tính từ tín hiệu thu

tr-ớc khi nó đợc hiệu chỉnh trong bộ nội suy (để định thời) hoặc bộ quay pha

(để khôi phục sóng mang)

 Loại (FB) : là loại lần lợt rút ra đợc tín hiệu lỗi (eˆ  ˆ 0) và (

0

ˆ

eˆ      ) đợc gọi là Feedback (FB) vì tìm đợc ớc tính lỗi và cấp tín hiệu hiệu

chỉnh quay trở lại bộ nội suy hoặc bộ quay pha tơng ứng Các cấu trúc FB có khả năng bám các thay đổi thông số biến đổi chậm một cách tự động Vì vậy, chúng cũng đợc gọi là các đồng bộ hồi tiếp lỗi

Hình 2.1 minh hoạ sơ đồ khối máy thu số điển hình cùng với các tín hiệu cần thiết cho các thuật toán FF hoặc FB Chú ý rằng có thể hoán đổi vị trí của các khối với nhau tuỳ vào ứng dụng Chẳng hạn, có thể đổi vị trí giữa bộ nội suy và bộ quay pha với nhau

Bộ quay pha

Bộ lọc thích hợp

Đồng bộ

ký tự hồi tiếp thuận không phụ thuộc pha

Đồng bộ

ký tự hồi tiếp không phụ thuộc pha

Đồng bộ

ký tự hồi tiếp phụ thuộc sóng mang

Đồng hồ

cố định

Đồng bộ sóng mang hồi tiếp thuận không phụ thuộc

định thời

Bộ nội suy

Đồng bộ sóng mang hồi tiếp thuận phụ thuộc định thời

Đồng bộ sóng mang hồi tiếp phụ thuộc

định thời

Bộ tách dữ liệu phụ thuộc pha định thời

ˆ

ˆ

s T k

Hình 2.1 Các thuật toán đồng bộ Feedforward (FF) và Feedback (FB)

Khi rút ra thuật toán đồng bộ theo chuẩn ML, ta đã giả định rằng mô hình kênh lý

t-ởng, các thông số không đổi, ít nhất đối với các kênh tựa tĩnh Về nguyên tắc, cần phải xét cho các mô hình thực tế và các thông số phụ thuộc thời gian, song công thức toán

quá phức tạp Trong nghiên cứu thờng lấy gần đúng, không làm mất tính cảm nhận đối với các mô hình kênh thực tế Theo đó, ta rút ra các thuật toán đồng bộ trong các điều kiện lý tởng và sau đó phân tích hiệu năng của các thuật toán này khi đợc sử dụng chung với các kênh thực tế

Ta coi rằng các xung Nyquist và bộ lọc trớc | F ( ) |2

 đối xứng qua 1/ 2Ts Khi này, hàm khả năng giống [chơng 4, [7]] là































































 1

N

0 n

j n

* n

2 n

2 0 , 0 2

n

r

p

(2.8)

trong đó zn(  )  z ( nT   T )

Biết rằng, có thể rút ra đợc các thuật toán đồng bộ một cách hệ thống bằng cách lấy

gần đúng phù hợp để khử các thông số không muốn“không muốn” ” trong hàm ML Kết quả lấy gần

đúng là một hàm L(), trong đó  là tập các thông số đợc ớc tính Giá trị ớc tính 



đợc định nghĩa là đối số để hàm L( ) nhận giá trị cực trị Tuỳ vào định nghĩa L()

mà cực trị có thể là cực đại hoặc cực tiểu:

 





 L extr arg

Nói một cách chính xác, ˆ là một ớc tính ML nếu hàm mục tiêu L() là hàm ML p

rf | Tuy vậy, để tiện ta thờng nói ớc tính ML trong trờng hợp L( ) chỉ xấp xỉ bằng

prf |

Ta tìm đợc gần đúng đầu tiên của hàm khả năng giống (2.8) khi giá trị lớn của N, ta

biết rằng tích bên trong (inner product) SHfSf | h0,0|2| an |2 không phụ thuộc vào các tham số đồng bộ Khi giá trị N đủ lớn, thì tổng









1 N

0 n

2 n

là giá trị gần đúng với giá trị kỳ vọng của nó Vì vậy, ta có      n 2

n

2

a

hằng số, từ giá trị cực đại tìm đợc hàm mục tiêu:









































 1

N 0 n

j n

* n 2

n

e z a Re

2 exp ,

, a

 Nhận xét : Có thể rút ra một vài kết luận quan trọng từ hàm mục tiêu :

Hầu hết các máy thu số thực hiện khôi phục định thời trớc khôi phục pha Lý do

hoàn toàn rõ từ (2.11) Một khi biết đợc định thời, một mẫu trên ký hiệu đầu ra bộ lọc

thích hợp là đủ để ớc tính pha sóng mang và tách ký hiệu Để giảm thiểu lợng tính toán

trong máy thu, việc hiệu chỉnh và ớc tính pha sóng mang phải đợc thực hiện ở tốc độ lấy mẫu thấp nhất, là tốc độ ký hiệu 1/T Vì vậy, tất cả các thuật toán số để ớc tính pha

đợc rút ra sau này đều thuộc loại D  hoạt động tại tốc độ ký hiệu 1/T Chúng sẽ là

hoặc DD (DA) hoặc NDA

Trong khi ít thuật toán ớc tính pha sóng mang, thì tồn tại nhiều thuật toán số để khôi phục định thời Thực tế, do số bậc tự do trong quá trình rút ra thuật toán là lớn hơn nhiều Quan trọng nhất là tốc độ lấy mẫu 1/ Ts để tính toán zn  đợc chọn độc lập

tốc độ ký hiệu Có thể đạt đợc một lợng lớn mẫu zn   znnT   T bằng cách lấy mẫu đồng bộ đầu ra bộ lọc thích hợp tơng tự z(t) tại t  nT   T Sử dụng thuật toán hồi tiếp lỗi số hoạt động tại tốc độ 1/ T để tạo ra tín hiệu lỗi để điều khiển VCO tơng

tự, trong hệ thống khôi phục định thời cầu này Khi dùng tốc độ lấy mẫu cao hơn

T

1 s (  : hệ số giới hạn băng thông), thì có thể thực hiện bộ lọc thích hợp ở dạng số Sau đó nhận đợc các mẫu zn  tại đầu ra bộ triệt (decimator)

   n s n s

z     Việc khôi phục định thời đợc thực hiện bởi hệ thống hồi tiếp lỗi

số (FB) hoặc ớc tính trực tiếp (FF) của thông số định thời  và theo sau sự nội suy số Tất cả các thuật toán DD, DA và NDA đều đợc quan tâm trong thực tế

2.3 Thuật toán tìm kiếm lớn nhất

Tồn tại nhiều thuật toán để tìm kiếm cực đại cho hàm mục tiêu Việc lựa chọn chủ yếu phụ thuộc vào tốc độ bit và công nghệ có sắn

Quá trình tìm kiếm song song

Công nghệ ngày nay cho phép tích hợp các bộ xử lý tín hiệu số phức tạp cao Lợng tính toán có thể đợc quản lý xử lý song song hơn là sử dụng công nghệ quá cũ

Quá trình tìm kiếm lặp

Có thể thực hiện tìm kiếm cực đại theo chuỗi Điều kiện cần, nhng không đủ để cực

đại hoá hàm mục tiêu là:

L

0 ,

, a r L

ˆ , ˆ f

ˆ , ˆ f

































(2.12)

Trong (2.12) ta đã coi rằng có sẵn ớc tính về chuỗi dữ liệu a hoặc biết trớc chuỗi

a = a 0 Đối với các thuật toán NDA không tồn tại đối số aˆ

Do hàm mục tiêu là hàm lõm (concave) của các thông số ( ,  ), nên ta có thể ứng dụng kỹ thuật gradient (or steepsest method-phơng pháp dốc đứng) để tính toán cho giá trị không của (2.24) nếu các ớc tính ban đầu nằm trong vùng hội tụ

 f k k 2

k 1 k

k k f 1

k 1 k

ˆ , ˆ , a r L ˆ

ˆ

ˆ , ˆ , a r L ˆ

ˆ













































(2.13)

αi: thông số hội tụ

khi đặt

x ˆ x f

x )

x ˆ

| r L









Chú ý rằng dữ liệu thu trên đoạn L ký hiệu đợc xử lý lặp và cần phải lu liệu đó trong bộ

nhớ, không phải là trở ngại đối với công nghệ hiện nay Tìm kiếm lặp là kỹ thuật đợc quan tâm đặc biệt để bắt với các ký tự đã biết trong khoảng thời gian chuỗi hoa tiêu

2.4 Các hệ thống hồi tiếp lỗi

Các hệ thống hồi tiếp lỗi sử dụng một tín hiệu lỗi để điều chỉnh các thông số đồng

bộ Tín hiệu lỗi tìm đợc bằng cách lấy vi phân hàm mục tiêu và tính giá trị đạo hàm cho các ớc tính ˆn,ˆn mới nhất,

n n

ˆ , ˆ , aˆ L

ˆ , ˆ , aˆ L





































(2.14)

Do quan hệ nhân quả, nên tín hiệu lỗi chỉ phụ thuộc vào các ký hiệu a n đợc xét đó (đợc giả sử đã biết) Tín hiệu lỗi đợc dùng để ớc tính mới:

 f k k n

1 n

k k f n

1 n

ˆ , ˆ , a r L ˆ

ˆ

ˆ , ˆ , a r L ˆ

ˆ

















































(2.15)

Ta dễ dàng nhận thấy trong phơng trình (2.15) ớc tính của hệ thống hồi tiếp lỗi rời rạc thời gian bậc một trong đó (  ,  ) xác định băng thông vòng Có thể dùng bộ lọc vòng thích hợp để thực hiện các hệ thống bám bậc cao hơn

Tín hiệu lỗi luôn đợc phân tích vào tín hiệu tin cộng với tạp âm Đối với  và tơng tự

đối với  ta đợc:

   































không binh trung am tạp trinh Quá







































































n n n n

n n

n n n n

n

n

ˆ , ˆ , aˆ L E ˆ

, ˆ , aˆ L

ˆ , ˆ , aˆ L E ˆ

,

ˆ

,

a

L

(2.16)

Tín hiệu tin phụ thuộc phi tuyến lỗi (ˆn  0) và (ˆn  0) Khi đủ nhỏ ta nói rằng hệ

thống hồi tiếp lỗi hoạt động ở chế độ bám Tín hiệu tin trong (2.16) phải bằng khi lỗi

bằng không để tạo ra ớc tính không lệch Quá trình đa hệ thống từ trạng thái khởi đầu

của nó vào chế độ bám đợc gọi là bắt Bắt là một hiện tợng phi tuyến

Khi quan trắc một vài trờng hợp tơng tự giữa các hệ thống khồi tiếp lỗi & tìm kiếm cực

đại Cả hai trờng hợp đều dùng đạo hàm của hàm mục tiêu để rút ra tín hiệu lỗi Tuy vậy, cũng cần phải thấy rõ về các khác nhau cơ bản: đối với thuật toán tìm kiếm cực

đại xử lý toàn bộ tín hiệu một cách lặp để hội tụ vào ớc tính cuối cùng, còn đối với các

hệ thống điều khiển hồi tiếp thì hoạt động trong thời gian thực bằng cách chỉ dùng

đoạn tín hiệu thu đợc ở các thời điểm quá khứ

 Nhận xét:

Ta phân biệt giữa các thuật toán mà giả sử chuỗi ký tự đã biết và quan sát đợc: Loại một đợc gọi là trực tiếp quyết định (DD: Decision-Directed) hoặc đợc hổ trợ dữ liệu (DA:Data-Aided), NDA quan sát Dới dạng cấu, ta ta loại thành các cấu trúc

feedforward (FF) và feedback (FB).

2.5 Ước tính thông số định thời NDA

Hàm mục đích đối với các thông số đồng bộ (, ) đợc cho bởi ptr (2.11):

 

















































































1 N

0 n

j n

* n 2

n

1 N

0 n

j n

* n 2

n

e z a Re

2 exp

e z a Re

2 exp

, ,

a

L

(2.17)

Trớc hết, ta rút ra các bộ ớc định thời độc lập pha và dữ liệu Tìm đợc ớc tính  bằng

cách khử các thông số không mong muốn a và  trong phơng trình (2.17)

Để loại bỏ dữ liệu phụ thuộc, ta phải nhân phơng trình (2.17) với P(i a), trong đó i a

ký hiệu thứ i của M ký hiệu, lấy tổng trên toàn bội bộ M khả năng Giả sử các ký hiệu

độc lập và đồng xác suất lúc này hàm khả năng giống đợc viết là































1 N

0 n

i j

n

* n

i 2

n

a P e

z a Re

2 exp

,

Có nhiều cách để đạt tới (2.18) Giả sử dùng điều chế M-PSK với M > 2, thì các xác suất:

 

M

1 a

P i  với ia ej2 iM i 1, ,M







(2.19)

có thể đợc xấp xỉ bởi hàm mật độ xác suất biến liên tục (pdf: probability density

function) của e j , trong đó α có phân bố đều trên ( ,):

       

















































































 

 

 



















































d z

arg cos

z

2 exp

d e

Re

z 2 exp

d e

z Re

2 exp

,

L

1 N

0 n

n n

2 n

1 N

0 n

z arg j

2 n n

1 N

0 n

j n 2

n

Vì cos(.) đợc lấy tích phân trên toàn bộ chu kỳ 2, nên không phụ thuộc vào  và

)

(

z

 

 

 













































































2

z I

dx x cos z

2 exp L

2 n n 1

N

0 n

0

1 N

0 n

z arg

z arg

n 2 n 1

n

n

(2.21)

Trong đó I0(.) là hàm Bessel loại một bậc không Đang quan tâm đến việc lấy gần

đúng, phân bố của pha là không liên quan Vì vậy, bằng cách lấy trung bình trên các

ký hiệu ta đạt đợc pha độc lập Nhng cũng phải chú ý rằng, cực đạt hoá yêu cầu hiểu

biết về tỷ số tín hiệu trên tạp âm 2

n

Xét giải pháp thứ 2, trớc hết lấy trung bình trên pha để đợc thuật toán phụ thuộc dữ liệu:

 





























































 

























2

a z I

d e

Re a z

2 exp

,

a

L

2 n

* n n 1

N 0 n 0

1 N 0 n

n arg n arg j

* n n

2 n 2

ý

Chú

(2.22)

Chú ý rằng kết quả là nh nhau cho tất cả các điều chế pha (M-PSK) (vì a n = hằng số), nhng trừ M-QAM Để có đợc thuật toán đồng bộ NDA cho M-QAM, ta phải lấy trung bình trên các ký hiệu mà không thể ở dạng kín

Có thể đơn giản hoá các hàm mục đích (2.21) và (2.22) hơn nữa bằng cách triển khai chuỗi của hàm Bessel cải tiến Lấy log và khai triển vào chuỗi:

2

x 1 x

loại bỏ mọi hằng số không thích hợp cho sự ớc tính mang lại:

 

 





















1 N

0 n

2 n

1

z max arg

L max arg ˆ : NDA

(2.24)

 

 





















1 N

0 n

2 n

2 n

2

a z

max arg

, a L max arg ˆ :

DA

Đối với M-PAM ( 2

n | a

| = hằng số), thì cả hai thuật toán là một

Đến đây ta khai triển theo các hớng khác nhau: Ta muốn khử sự phụ thuộc dữ liệu trong (2.17)  cần phải lấy trung bình trên các ký hiệu, nếu có thể thực hiện đợc ở tất cả Hơn nữa, cần phải biết 2

n

 (điểm hoạt động) thờng không có sẵn Thuật toán sẽ cảm nhận điểm hoạt động này Cả hai vấn đề đều có thể bị phá hỏng bằng cách xét giới hạn của hàm khả năng giống (2.17) cho tỷ số tín hiệu trên tạp âm thấp (SNR), 2

n

Theo đó, ta khai triển hàm số mũ của phơng trình (2.17) vào chuỗi Taylor:

 

2 1

N

0 n

j n

* n

2

2 n

1 N

0 n

j n

* n 2

n

1 N

0 n

j n

* n 2

n

e z

a Re

1 e

z z a Re

2

1

z a Re

2

exp















































































































(2.25)

Tiếp theo ta lấy trung bình mỗi thành phần trong chuỗi này theo chuỗi dữ liệu Đối với chuỗi dữ liệu i.i.d  ta đạt đợc đối với

Số hạt thứ nhất:

 

0

e z a E Re

e z a Re E

j n

* n a

1 N 0 n

j n

* n

1 N 0 n a





























(2.26)

Vì  *

n

a

E = 0

Số hạng thứ hai:

 



 















































































































1 N

0 n

2 n

2 n 2

j 2

* n

2 n 2

j 2 n 2

* n

1

N

m

n

1 N

m

* m n m

* n 2

j

* m

* n m n 2

j m n

* m

* n

2 1

N

0 n

j

* n n

j n

* n

2 1

N

0

n

j n

* n

z a 2 e z

a e

z a 4

1

z z a a 2 e

z z a a z

z a a 4

1

e z

a e

z a 4

1 e

z a Re

(2.27)

Bây giờ, ta thực hiện lấy các giá trị kỳ vọng theo chuỗi dữ kiệu mà giả định i.i.d, các

ký hiệu nhận đợc (E[a n]  0):

 













































1 N

0 n

2 j 2

* n

2 n

2 n

1 N

0 n

2 n

2 j n

* n

1 N

0 n a

e z

a E Re 2

1 z

a E 2

1

e z a Re

E

(2.28)

Sử dụng phơng trình (2.28) dẫn đến hàm mục tiêu dới đây:

 

      









































2 j 2

* n

1 N

0 n

* n

2 n

1 N

0 n

2 n

e z

a E Re

z a E ,

L

(2.29)

Lấy trung bình trên pha phân bố đều nhận đợc bộ ớc tính định thời không nhất quán (NC: NonCoherent):

0 n

2

* n









cũng giống nh phơng trình (2.24) (NDA)

Phơng trình (2.29) cho ta cơ sở để ớc tính không hỗ trợ dữ liệu hợp của pha và định thời

Ước tính pha:

     





















2

* n

1 N

0 n

2

n z a arg

2

1

Lấy cực đại tổng thứ hai của (2.29) cho mọi , vì tổng

       







1 N

0 n

*

a E

(2.32) trở thành số thực Vì vậy, tìm đợc ớc tính ˆ bằng cách cực đại hoá giá trị tuyệt đối:

            











1 N 0 n

2 n

* n 2

n 1

N 0 n

2

a E max

arg

Là kết quả quan tâm vì tìm kiếm hai chiểu đối với ( ,  ) đợc giảm thành tìm kiếm một chiều đối với  bằng cách cực đại hoá hàm mục tiêu:



























































1 N 0 n

2 n

2 2 n

1 N 0 n

2 n

2 2 n

1 N 0 n

2 n 2 2 n

1 N 0 n

2 n 2 2 n

) ( z a

) ( z a

E

) ( z a

) ( z a

E )

( L

(2.34) Nhân đây, ta cũng tìm hớng khác cho thuật toán không đợc hổ trợ dữ liệu/pha độc lập Một cách chính xác hơn, thuật toán đợc tìm là thuật toán hớng pha ẩn Là vì (2.34) độc lập thông số thử  xem hình (2.2)

So sánh (2.34) và (2.30) thấy rõ bộ ớc tính định thời không nhất quan (NC) không phụ thuộc vào chùm sao tín hiệu còn bộ ớc nhất quán hoàn toàn (IC: Implicitly Coherent) lại phụ thuộc vào còm sao tín hiệu Theo đó, ta tập trung xét hai loại chòm sao tín hiệu

quan trọng Loại thứ nhất: chứa chòm sao tín hiệu một chiều (1D) chứa dữ liệu giá trị thực [ 2 ] 1



n

a

E (đợc chuẩn hoá) Loại thứ hai: chứa chòm sao tín hiệu hai chiều (2D)

mà thể hiện quay đối xứng  / 2nhờ E [ a 2 ] 0

n  Vì vậy, đối với các chòm sao 2D đối xứng quay  / 2, thì các bộ đồng bộ IC và NC là giống nhau, nhng đối với các chòm sao 1D khác nhau

 Nhận xét

Dới dạng khái niệm, giải pháp để có đợc các bộ ớc tính cho các thông số đồng bộ

là dễ hiểu Khả năng giống (không phải hàm log khả năng giống) phải đợc lấy trung bình trên các thông số không mong muốn Điều này chỉ có thể đạt đợc trong các trờng hợp cách ly ở dạng đóng Nó phải sử dụng đến phép tính xấp xỉ

Trong chơng đã đa ra các kỹ thuật lấy xấp xỉ hoá để rút ra các bộ ớc tính định thời NDA Thực tế phần lớn kết quả quan trọng là thụât toán pha độc lập

 





 n

2 n

z max arg

Thuật toán thực hiện cho các phơng pháp báo hiệu M-QAM và M-PSK