Báo cáo BTL Giải tích 1 Các bài toán về tối ưu hóa và ứng dụng trong vật lí, kinh tế,...

Báo cáo BTL giải tích 1, trường đại học bách khoa tp.HCM, cung cấp các kiến thức, tính chất, kĩ năng, công thức liên quan đến đạo hàm; cách thức giải một số bài toán tối ưu của hàm số một biến số bằng cách tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

-BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 1

ĐỀ TÀI 4 CÁC BÀI TOÁN VỀ TỐI ƯU HÓA VÀ

ỨNG DỤNG THỰC TẾ TRONG VẬT LÍ, KINH TẾ,…

GVHD: Huỳnh Thị Vu

Lớp: L10 Nhóm: L10-4

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Giải tích là một môn học quan trọng đối với sinh viên các ngành khoa học

tự nhiên và kỹ thuật Sự phát triển của nhiều ngành khoa học như Vật lí học, Hóahọc,… đều gắn liền với sự phát triển của Toán học nói chung và Giải tích nóiriêng

Giải tích hàm số một biến số là một nội dung quan trọng của chương trìnhGiải tích 1, có tính ứng dụng thực tiễn rất cao trong đời sống, kinh tế, khoa học, kĩthuật,… Nhiều tình huống trong cuộc sống, các hoạt động kinh tế, kỹ thuật vàcông nghệ, người ta phải quan tâm tới bài toán tìm ra phương án tốt nhất để đạtđược mục tiêu mong muốn trong những điều kiện ràng buộc nhất định Đó là cácbài toán tối ưu

Để hiểu rõ hơn về bản chất, ý nghĩa, nội dung, các công thức liên quan cũngnhư ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực, nhóm được phân công đề tài “Các bàitoán tối ưu và ứng dụng thực tế trong kinh tế, vật lí,…”

2 Mục đích của đề tài

Để tài của nhóm sẽ làm rõ các khái niệm, định nghĩa, tính chất, giới thiệuđược các phương pháp chung nhất tính toán đạo hàm, tìm giá trị lớn nhất - giá trịnhỏ nhất… cũng như các công thức tính toán liên quan

Từ đó giới thiệu và ứng dụng trong một số bài toán tối ưu và áp dụng trongkinh tế, vật lí,…

3 Nội dung đề tài

Bài báo cáo được chia làm hai phần chính:

- Phần lý thuyết - cơ sở lý thuyết: định nghĩa, tính chất; các công thức tínhtoán: đạo hàm, giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất;

- Phần bài tập tính toán các bài toán tối ưu - ứng dụng thực tế trong kinh tế,vật lí,…

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU II MỤC LỤC III BẢNG PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC IV

Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1

1.1 Khái niệm đạo hàm của hàm số một biến số 1

1.1.1 Hàm số một biến số 1

1.1.2 Định nghĩa đạo hàm của hàm một biến 1

1.1.3 Các quy tắc đạo hàm 1

1.1.4 Đạo hàm của hàm ngược 2

1.1.5 Đạo hàm của hàm lũy thừa - mũ 2

1.1.6 Đạo hàm của hàm tham số 2

1.2 Đạo hàm cấp cao 2

1.2.1 Đạo hàm cấp 2 2

1.2.2 Đạo hàm cấp n 2

1.3 Tính đơn điệu của hàm số - Bảng biến thiên 3

1.3.1 Tính đơn điệu của hàm số 3

1.3.2 Cách biểu diễn bảng biến thiên 3

1.4 Giá trị lớn nhất (GTLN) - Giá trị nhỏ nhất (GTNN) 3

1.4.1 Định nghĩa 3

1.4.2 Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất 4

1.5 Bài toán tối ưu 4

1.5.1 Giới thiệu bài toán tối ưu 4

1.5.2 Các bước giải bài toán tối ưu 4

Chương 2: BÀI TẬP TÍNH TOÁN - ỨNG DỤNG THỰC TẾ 5

2.1 Một số bài toán ứng dụng trong kinh tế 5

2.1.1 Bài toán 1 5

2.1.2 Bài toán 2 5

2.1.3 Bài toán 3 6

2.1.4 Bài toán 4 7

2.1.5 Bài toán 5 8

2.2 Một số bài toán ứng dụng trong vật lí 8

2.2.1 Bài toán 6 8

2.2.2 Bài toán 7 9

2.2.3 Bài toán 8 10

2.2.4 Bài toán 9 11

2.2.5 Bài toán 10 12

2.3 Một số bài toán ứng dụng trong các lĩnh vực khác 12

2.3.1 Bài toán 11 12

2.3.2 Bài toán 12 13

2.4 Kết luận 13

TÀI LIỆU THAM KHẢO 14

PHỤ LỤC 15

BẢNG PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC

1 Nguyễn Hữu Bình 2112901 Lý thuyết mục 1.1.4-1.1.6; bài toán

Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.1 Khái niệm đạo hàm của hàm số một biến số.

1.1.1 Hàm số một biến số.

Định nghĩa: Hàm số một biến số f xác định trên tập hợp Xℝ là một quy

tắc sao cho ứng với mỗi xX là một phần tử duy nhất yℝ Kí hiệu:

f: X  ℝ

y = f(x)

Khi đó, tập hợp X được gọi là tập xác định của hàm số f và ký hiệu là D(f).

Tập hợp f(X) = {y= f(x)ℝ } được gọi là tập giá trị của hàm số f và ký hiệu là

E(f).

1.1.2 Định nghĩa đạo hàm của hàm một biến.

Cho hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của điểm x 0 Giới hạn (nếu có)của tỷ số: 0

0)()(lim

x f x f

Định lí 1: Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm hữu hạn u’(x 0 ) tại điểm x 0 , thì hàm

số y=cu=cu(x) với cℝ cũng có đạo hàm hữu hạn tại điểm x 0: [1]

y’=cu’=cu’(x 0) (1.1)

Định lí 2: Nếu hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm hữu hạn u’(x 0 ) và v’(x 0)

tại điểm x 0 , thì hàm số y=uv=u(x)v(x) cũng có đạo hàm hữu hạn tại điểm x 0 [1]

y’=u’v’=u’(x 0)v’(x 0) (1.2)

Định lí 3: Nếu hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm hữu hạn u’(x 0 ) và v’(x 0)

tại điểm x 0 , thì hàm số y=u.v=u(x).v(x) cũng có đạo hàm hữu hạn tại điểm x 0 [1]

y’=u’.v+u.v’=u’(x 0 ).v(x 0 )+u(x 0 ).v’(x 0) (1.3)

Lưu ý: Ta có thể mở rộng cho tích của hữu hạn những hàm số

(u.v….w)’=u’.v….w+u.v’….w+…+u.v….w’ (1.4)

Định lí 4: Nếu hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm hữu hạn u’(x 0 ) và v’(x 0)

tại điểm x 0 sao cho v(x 0)0, thì hàm số y= ( )

)(

x v

x u v

(''.'

'

0 2

0 0 0

0

x v x u x v x u v

v u v u

y   

(1.5)

Định lí 5 (đạo hàm của hàm hợp): Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm hữu hạn

u’(x 0 ) tại điểm x 0, còn hàm số y=f(u) có đạo hàm hữu hạn f’(u 0) tại điểm tương ứng

u 0 =u(x 0 ) Khi đó hàm hợp y=f(u) sẽ có đạo hàm hữu hạn tại điểm x 0 [1]

[1] Nguồn truy xuất tại mục Tài liệu tham khảo

y’(x 0 ) = f’(u 0 ).u’(x 0) (1.6)

1.1.4 Đạo hàm của hàm ngược.

Cho hàm số y=f (x ) tăng (hoặc giảm) liên tục trên khoảngX ⊂ℝ và có đạohàm hữu hạn f '(x0)≠ 0 tại điểm x0 Khi đó hàm ngược x=g( y)=f − 1(y) có đạo hàmhữu hạn tại điểm tương ứng y0=f(x0), và luôn có đẳng thức: [1]

1.1.5 Đạo hàm của hàm lũy thừa - mũ.

Định nghĩa: Cho hàm số u=u (x )>0 và v=v (x ) xác định trên cùng một tậphợp X ⊂ℝ khi đó hàm số y=u v

=(u ( x)) v (x) gọi là hàm lũy thừa – mũ

Nếu hàm số u và v có đạo hàm hữu hạn u '

1.1.6 Đạo hàm của hàm tham số.

Cho hàm số x=x (t) , y= y (t )xác định trong lân cận của điểm t0 Nếu chúng

Cho hàm y = f ( x ) có đạo hàm f '(x ) Nếu đạo hàm f '(x ) có đạo hàm trên

khoảng (a,b) thì đạo hàm của nó gọi là đạo hàm cấp 2 của f(x), kí hiệu là: f ''(x )

1.3 Tính đơn điệu của hàm số - Bảng biến thiên.

1.3.1 Tính đơn điệu của hàm số Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K: Hàm số y=f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x1, x2 thuộc K mà

x1 nhỏ hơn x2 thì f(x1) nhỏ hơn f(x2), tức là: x 1 < x 2 ⇔ f(x 1 ) < f(x 2)

Hàm số y=f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x1, x2 thuộc K

mà x1 nhỏ hơn x2 thì f(x1) lớn hơn f(x2), tức là: x 1 > x 2 ⇔ f(x 1 ) > f(x 2)

Định lí:

a) Nếu f’ (x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

b) Nếu f’ (x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

1.3.2 Cách biểu diễn bẳng biến thiên

Ví dụ: Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên ℝ có f’ (x) > 0 trong khoảng

(-,x 0 ) và f’ (x) < 0 trong khoảng (x 0,+), ta có được bảng biến thiên như sau:

xD Số f(d) gọi là GTLN của f trên D.

Hàm số y = f(x) đạt GTNN tại a nếu f(a)f(x)

xD Số f(a) gọi là GTNN của f trên D.

 Tìm f ’(x) tìm những điểm x i mà tại đó f ’(x i) = 0 hoặc KHÔNG TỒN TẠIđạo hàm.

 Loại những điểm x i[a, b] Tính giá trị của f(x) tại những điểm x i[a,b].

 So sánh f(a), f(b) và f(x i ) với x i[a,b] GTLN, GTNN

1.5 Bài toán tối ưu.

1.5.1 Giới thiệu bài toán tối ưu.

Có nhiều tình huống trong xã hội, cuộc sống đời thường, người ta phảiquan tâm tới bài toán tìm ra phương án tốt nhất để đạt được mục tiêu mong muốntrong những điều kiện ràng buộc nhất định Đó là các bài toán tối ưu

Trong thực tiễn, đạo hàm thường mang ý nghĩa là tốc độ biến thiên của

một đai lượng theo tham số nào đó Vì thế trong lĩnh vực kinh tế, bài toán tối ưuthường là các bài toán tìm phương án sao cho lợi nhuận lớn nhất, chi phí nguyênliệu thấp nhất, kế hoạch sử dụng công cụ để đảm bảo lợi nhuận,…; trong lĩnh vựcvật lí, kĩ thuật: đạo hàm của quãng đường mang ý nghĩa là vận tốc,… nên có thểứng dụng để tìm quãng đường, thời gian di chuyển ngắn nhất hoặc tối ưu hóa hiệusuất động cơ nhiệt,…

Để giải các bài toán thực tiễn này, thử thách lớn nhất chính là chuyển đổibài toán bằng lời về dưới dạng một bài toán tối ưu hóa được miêu tả bằng một hàm

số Trong khuôn khổ chương trình Giải tích 1, chúng ta chỉ giải bài toán tối ưubằng phương pháp đơn giản nhất là tìm GTLN, GTNN của hàm số một biến số

1.5.2 Các bước giải bài toán tối ưu.

1 Phân tích bài toán, giả thiết; gọi các biến (chẳng hạn x,y,…) có liên quan

2 Vẽ biểu đồ, sơ đồ, hình minh họa (nếu cần)

3 Tìm điều kiện của các biến

4 Biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng - Thành lập hàm số f(x) theo

giả thiết

5 Sử dụng phương pháp tìm GTLN - GTNN Kết luận

Chương 2: BÀI TẬP TÍNH TOÁN - ỨNG DỤNG

THỰC TẾ

2.1 Một số bài toán ứng dụng trong kinh tế.

2.1.1 Bài toán 1 [2] (tối ưu hóa lợi nhuận) Khi nuôi cá trong hồ, người ta

thấy rằng: nếu trên mỗi đơn vị diện tích mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con

cá sau một vụ cận nặng P(n) = 0,48 - 0,02n (kg) Biết mỗi kg cá bán được 30.000

đ Vậy lợi nhuận lớn nhất sau một vụ trên một đơn vị diện tích mặt hồ là?

Vậy lợi nhuận lớn nhất sau một vụ trên một đơn vị diện tích mặt hồ là:

2,88 x 30.000 đ = 86.400đ, khi nuôi 12 con cá trên một đơn vị diện tích mặt hồ

2.1.2 Bài toán 2 [2] (tối ưu hóa lợi nhuận) Một đại lý bán một loại sản phẩm

với giá x đôla/đơn vị Với giá bán này thì sẽ bán được 500-7x sản phẩm trong tuần.

Biết đại lý mua loại sản phẩm này với giá 30 đôla/đơn vị từ nhà phân phối Hỏi đại

lý trên bán được bao nhiêu sản phẩm khi lợi nhuận hàng tuần lớn nhất?

Giải

Gọi u = u(x) = 500 - 7x (sản phẩm) là số đơn vị sản phẩm bán ra hằng tuần.

y = y(x) (đôla) là tổng lợi nhuận hàng tuần.

Giá bán sản phẩm phải là một số dương nên x(0,+)

Tổng lợi nhuận hàng tuần = (giá bán - giá nhập) x số lượng sản phẩm bán được

Cho y’ u = 0  14x - 710 = 0  x= 71014 . Bảng biến thiên:

[2] Nguồn truy xuất tại mục Tài liệu tham khảo

Vậy đại lý trên bán được 145 đơn vị sản phẩm khi lợi nhuận hàng tuần lớn nhất.

2.1.3 Bài toán 3 [3] (tiết kiệm chi phí sản xuất): Khi sản xuất vỏ lon sữa bò

hình trụ các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon

là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất Muốn thể tích củakhối trụ đó bằng 2 và diện tích toàn phần hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy là?

Giải

Gọi x là bán kính đáy của lon sữa Điều kiện: x > 0.

Khi đó, thể tích của lon sữa là:

V (x )=π x2h ⇒ x2

V h



(h là chiều cao lon)Diện tích toàn phần của lon sữa là:

2.1.4 Bài toán 4: Giá trị V (đv: nghìn đôla) của một máy công nghiệp được

mô hình hóa bởi

(*) Xem tại Chương 1, mục 1.1, tiểu mục 1.1.6.

(**) Do u’(x)<0, nên ta sẽ đọc bảng biến thiên theo chiều từ phải sang trái, nếu trong khoảng nào

đó u’(x)<, ta sẽ đọc bảng biến thiên từ trái sang phải.

[3] Nguồn truy xuất tại mục Tài liệu tham khảo.

S(0.6827)

V (N )=( 3 N + 430

N +1 )

2 /3

Trong đó N là số giờ máy được sử dụng mỗi ngày Giả sử rằng việc sử dụng máy

thay đổi theo thời gian: N (t )=√t2−10 t+45 Trong đó t là số tháng máy đã đi vào

hoạt động Giá trị của máy đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu và sau bao lâu kể từ khi

Thay t = 5  N(5) = 2√5  V(N=2√5) ≈18.726 (nghìn đôla) Vậy giá trị của

máy đạt giá trị lớn nhất là 18.726 (nghìn đôla) và sau 5 tháng kể từ khi hoạt động

2.1.5 Bài toán 5 [4] (tối ưu hóa chi phí): Một người muốn mua một mảnh đất

hình chữ nhật trồng ruộng với diện tích 384 mét vuông Nhưng sau khi quyết định

xong chú nhận ra mình cần thêm diện tích đất để đào một ao chứa nước làm ruộng

nên chú quyết định tăng đồng thời hai bên chiều dài của mảnh đất lên 6 m và hai

bên chiều rộng thêm 4 mét, để có thể mua được mảnh đất có diện tích nhỏ nhất

( tiết kiệm chi phí ), thì chu vi mảnh đất là bao nhiêu?

Giải

(*) Xem tại Chương 1, mục 1.1, tiểu mục 1.1.3.

Gọi x,y lần lượt là chiều rộng và chiều dài của mảnh đất

dự tính ban đầu (x,y > 0)

x2 Cho S’ = 0 ta được: x1=−16 (loại ), x2=16(n ậnℎận )

Ta thấy giá trị nhỏ nhất của S là 600 m2 và y = 24m và x = 16m

Chiều dài sau khi thay đổi: 24 + 6 = 30 ( mét )

Chiều rộng sau khi thay đổi: 16 + 4 = 20 ( mét )

Khi đó chu vi ta cần tìm là : C = ( 30 + 20 ) 2 = 100 ( mét)

2.2 Một số bài toán ứng dụng trong vật lí.

2.2.1 Bài toán 6 [5] (thời gian chuyển động ngắn nhất): Một ô tô xuất phát

từ điểm A trên đường cái trong khoảng thời gian ngắn nhất đến điểm B trên cánhđồng Điểm B cách đường cái một đoạn 2 3(m) Hỏi ô tô phải rời đường cái từđiểm C cách điểm D một đoạn là bao nhiêu? Biết rằng vận tốc ô tô khi chạy trêncánh đồng giảm 2 lần so với chạy trên đường cái

v

x L v

AC

t   

(s)Vận tốc trên cánh đồng giảm 2 lần so với trên đường cái: 2 ( / )

2

)32(2

2

v

x v

Tổng thời gian: T = t1+t2 = 0

2 2 0

v

x v

v

x v

21

)32(2

)')32((

21

x v

x v

x

x v

20

12

21

v x v

x x

448

2.2.2 Bài toán 7 (tối ưu hóa năng lượng tiêu hao): Một con thuyền bơi

ngược dòng để vượt một khoảng cách là 300km Vận tốc của dòng nước là 6km/h

Nếu vận tốc bơi của con thuyền khi nước đứng yên là v (km/h) thì năng lượng tiêu

hao của con thuyền trong t giờ được cho bởi công thức E (v )=c v3t Trong đó c là

một hằng số, E được tính bằng jun Tìm vận tốc bơi của thuyền so với bờ khi bơi

ngược dòng nước để năng lượng tiêu hao là ít nhất

Giải

Gọi v(km/h) là vận tốc của thuyền khi nước đừng yên, v0 = 6(km/h) là vận tốc của

dòng nước

Vận tốc của thuyền so với bờ khi bơi ngược dòng là: v’ = v - v0 = v − 6 (km/h)

Thời gian để thuyền bơi ngược dòng được vượt khoảng cách 300km là:

Cho: E ' (v )=0 ⇔{v=0 (loại do không thỏa D)

2.2.3 Bài toán 8 [5] (hiệu suất của động cơ nhiệt): Một động cơ nhiệt hoạt

động theo chu trình Carnot, với hiệu suất (tỉ lệ giữa công sinh ra và lượng nhiệt

cung cấp) được cho bởi công thức 1

Thay vào công thức hiệu suất ta được một số theo t: ( ) 1 2

1)

1.(

ln.(2

1)'

1)'

1.(

ln.(2

1)'(2

1 2

1 1

1 1

t t t t t t

t t

t t

t t

(*) Xem tại Chương 1, mục 1.1.5 Đạo hàm của hàm lũy thừa - mũ.

[5] Nguồn truy xuất tại mục Tài liệu tham khảo.

(t)

(e)Vậy hiệu suất thấp nhất của động cơ là (e)≈ 28 %, tại thời điểm 2.7 giờ sau khihoạt động

2.2.4 Bài toán 9 (tối ưu hóa diện tích khung dây): Động cơ điện xoay chiều

đơn giản có cấu tạo gồm một nam châm và một khung dây hình chữ nhật đượcxoay đều với vận tốc góc không đổi Diện tích của khung dây càng lớn thì suấtđiện động tạo ra càng lớn Tuy nhiên, dây chỉ có chiều dài 10m Để có thể có suấtđiện động lớn nhất thì chiều dài các cạnh của khung dây là bao nhiêu?

Giải

Để có suất điện động lớn nhất, diện tích của khung

dây phải lớn nhất

Chiều dài của dây điện làm khung chính là chu vi

của khung quay: C = L = 10(m)

Gọi chiều dài và chiều rộng của khung dây lần lượt là x và y, ta có: C=2x+2y=10

 y = 10− 2 x2 =5 − xDiện tích của khung dây là: S = x.y = x.(5-x) = -x2 + 5x (0 < x < 10)

Đạo hàm S theo x, ta được: S’= -2x + 5 Cho S’ = 0  x = 2.5 (m)

Từ bảng biến thiên, ta thấy diện tích của khung dây lớn nhát khi x = 2.5 (m)

 Chiều dài và chiều rộng của khung dây lần lượt là x=2.5(m) và y=5-2.5=2.5(m),khi đó diện tích của khung dây lớn nhất và bằng S = 2.5 x 2.5 = 6.25(m2)

2.2.5 Bài toán 10 [7] (công suất của mạch điện xoay chiều): Đặt vào hai đầu

mạch điện xoay chiều hiệu điện thế có giá trị hiệu dụng U=100 (V); cảm kháng,dung kháng và điện trở được mắc nối tiếp với nhau và có giá trị lần lượt là ZL =

100 (), ZC = 60 () và R = x () Biết công suất tiêu thụ của mạch có thể tính

2

)(Z L Z C R

U R







(W) Tính công suất lớn nhất mạch tiêu

[7] Nguồn truy xuất tại mục Tài liệu tham khảo