Một số bài tập về môđun xạ ảnh với môđun đối ngẫu

Hiện có nhiều người quan tâm nghiên cứu lý thuyết môđun Đối với học viên khoa Toán cao học, việc học môn Cơ sở đại số đại tạo hội để tiếp cận sâu nghiên cứu thêm mảng lý thuyết Trong mơđun xạ ảnh môđun nội xạ hai lớp môđun quan trọng ý nghiên cứu nhiều Là học viên cao học việc tìm tịi nghiên cứu điều cần thiết nên làm Do khoảng thời gian hạn hẹp với mục đích nghiên cứu thêm mơđun xạ ảnh tơi chọn đề tài tiểu luận “ MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MÔĐUN XẠ ẢNH VỚI MÔĐUN ĐỐI NGẪU”

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Giảng viên hướng dẫn: Học viên thực hiện:

TS PHAN VĂN THIỆN TRƯƠNG THN HỒNG THỦY

Ngành: Lý luận và phương pháp

dạy học môn Toán

Lớp: Cao học khóa K20

(2011-2013)

LỜI NÓI ĐẦU

Hiện nay có rất nhiều người quan tâm nghiên cứu về lý thuyết môđun Đối với những học viên khoa Toán ở cao học, việc được học môn Cơ sở đại số hiện đại tạo cơ hội để tiếp cận sâu hơn và nghiên cứu thêm về mảng lý thuyết này Trong đó môđun xạ ảnh và môđun nội xạ là hai lớp môđun quan trọng

được chú ý nghiên cứu nhiều hơn cả Là một học viên cao học thì việc tìm tòi

nghiên cứu là điều rất cần thiết và nên làm Do đó tuy khoảng thời gian hạn hẹp nhưng với mục đích nghiên cứu thêm về môđun xạ ảnh tôi đã chọn đề tài tiểu luận “ MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MÔĐUN XẠ ẢNH VỚI MÔĐUN ĐỐI NGẪU” Phần tiểu luận được phân thành hai chương:

Chương 1: Kiến thức chuNn bị

Chương 2: Một số bài tập về môđun xạ ảnh với môđun đối ngẫu

Tôi xin chân thành cảm ơn vì sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy giáo TS Phan Văn Thiện và sự ủng hộ, chia sẻ tài liệu từ các bạn trong lớp cao học Toán K20 trường đại học sư phạm Huế Tiểu luận này vì nhiều lí do chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận được sự đóng góp ý kiến của tất cả mọi người để tiểu luận này hoàn thiện hơn

Huế, ngày 12 tháng 02 năm 2012

Trương Thị Hồng Thủy

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 2

MỤC LỤC 3

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BN 4

1.1 Môđun 4

1.2 Đồng cấu môđun 5

1.3 Tích trực tiếp Tổng trực tiếp 7

1.4 Dãy khớp 8

1.5 Môđun tự do 9

1.6 Môđun xạ ảnh 11

Chương 2 MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MÔĐUN XẠ ẢNH VỚI MÔĐUN ĐỐI NGẪU 13

2.1 Bài tập 1 .13

2.2 Bài tập 2 .15

2.3 Bài tập 3 .16

2.4 Bài tập 4 .16

2.5 Bài tập 5 .17

2.6 Bài tập 6 .18

2.7 Bài tập 7 .19

2.8 Bài tập 8 .20

KẾT LUẬN 22

TÀI LIỆU THAM KHẢO 23

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BN

1.1 Môđun

Định nghĩa 1.1.1 Cho R là một vành, (M, )+ là nhóm aben M được gọi là

một R-mô đ un trái nếu có một ánh xạ (được gọi là phép nhân vô hướng)

(iii) 1.x=x; , , ,

r s R x y M

Một R-môđun trái M được kí hiệu là R M còn gọi là một môđun trái trên R

Tương tự, ta cũng có một định nghĩa cho R-mô đ un ph ả i bằng cách xét phép nhân vô hướng ở bên phải M là một R-môđun phải được kí hiệu là M R Nếu

R là một vành giao hoán thì các khái niệm môđun trái và môđun phải là trùng nhau

Trong suốt tiểu luận này nếu không đề cập gì thêm thì để đơn giản ta qui

ước khi nói M là R-môđun nghĩa là M là một R-môđun trái

Định nghĩa 1.1.2 Cho M là một R-môđun Tập con N của M được gọi là

một mô đ un con của M nếu N là một nhóm con của nhóm cộng M và N đóng kín đối với phép nhân vô hướng của R-môđun M

Định lý 1.1.1 Cho M là một R-môđun, N là một tập con khác rỗng của M

Khi đó các khẳng định sau là tương đương:

(i) N là môđun con của M

(ii) ∀x y, ∈ ∀ ∈N, r R x: + =y N rx, ∈N

(iii) ∀r s, ∈ ∀R, x y, ∈N rx: + ∈sy N

Định nghĩa 1.1.3. Cho N là môđun con của R-môđun M thì nhóm thương (M / N, )+ có cấu trúc của một R-môđun với phép nhân ngoài được định nghĩa:

(r x+N)= +rx N r( ∈R x, ∈M)

R-môđun (M /N, ,.)+ này được gọi là môđun thương của môđun M trên

môđun con N

Định nghĩa 1.1.4. Cho S là một tập con của R-môđun M Môđun con bé

nhất của M chứa S được gọi là mô đ un con c ủ a M sinh b ở i S , ký hiệu: S Nếu

M = S thì S được gọi là một h ệ sinh của M và M được sinh b ở i S Nếu M có

một hệ sinh hữu hạn thì M được gọi là mô đ un h ữ u h ạ n sinh

1.2 Đồng cấu môđun

Định nghĩa 1.2.1 Cho M N, là các R-môđun Ánh xạ f M: →N được

gọi là một đồng cấu R-môđun hay còn gọi R-đồng cấu nếu các điều kiện sau

được thỏa mãn:

( ) ( ) ( )( ) ( )

Nếu có một đẳng cấu f M: →N thì M được gọi là đẳng cấu với N, kí hiệu M ≅N

Nếu f M: →N là một R-đồng cấu thì ta có:

(i) f(0)=0 (ii) f(− = −x) f x( ),∀ ∈x M

Đối với một đồng cấu f M: →N ta kí hiệu

Im ( )Ker | ( ) 0 (0)

f f M

=

Gọi Im f là ảnh của f, Ker f là hạt nhân của f

Mệnh đề 1.2.1 Cho f M: →N là đồng cấu R-môđun Khi đó f đơn cấu

khi và chỉ khi Ker f =0

Định nghĩa 1.2.2 Cho M và N là hai R-môđun Tập hợp tất cả các R-đồng

cấu từ M vào N được ký hiệu Hom M N R( , )

Mệnh đề 1.2.2. Cho R là vành giao hoán Khi đó với phép cộng và nhân vô

thì Hom M N R( , ) là một R-môđun

Định nghĩa 1.2.3 Cho R là vành giao hoán và xem R như là một môđun trên chính nó, khi đó R-môđun

M*=Hom M R R( , )

được gọi là môđun đối ngẫu của M

Với mỗi phần cho trước tùy ý u∈M ta xác định một ánh xạ

môđun đối ngẫu đặc biệt quan trọng cho việc nghiên cứu cấu trúc môđun và

Định lý 1.3.1 Cho R là một vành giao hoán Với mọi i∈I, M i là R-môđun thì (⊕i I∈ M i)*=∏i I∈ M i*

Chứng minh Cho f ∈ ⊕( i I∈ M i) *, cho f M i: i →R f m, (i i)= f m( ), trong đó thành phần thứ i của m là m i, ngược lại bằng 0 Khi đó f i là một hàm xác định

φ = ∈ , vì vậy φ là toàn ánh Ta cũng dễ dàng kiểm tra được chỉ ra φ là

Các khẳng định sau là tương đương

(i) Dãy khớp trên chẻ ra

(ii) f có nghịch đảo trái, tức là có đồng cấu :h Y →X sao cho hf =1X

(iii) g có nghịch đảo phải, tức là có đồng cấu :k Z→Y sao cho gk =1Z

1.5 Môđun tự do

Định nghĩa 1.5.1 Cho R là một vành, S là một tập hợp Một R-mô đ un t ự do

trên R là một R-môđun F cùng với một ánh xạ f S: →F sao cho với mọi ánh xạ g S: →X từ tập S vào R-môđun X, tồn tại duy nhất một đồng cấu

neáu neáu

Khi đó ( , )F f là một R-môđun tự do trên S

Định nghĩa 1.5.2 Cho M là R-môđun, S là tập con của M

S gọi là h ệ sinh của M nếu

S gọi là cơ sở của M nếu S là hệ sinh của M và độc lập tuyến tính

Cho họ R-môđun ( M i) ,i S∈ S ≠ ∅,M i = ∀ ∈R, i S Xét tổng trực tiếp

Ta có ⊕i S∈ M i là R-môđun tự do F sinh bởi S

Mệnh đề 1.5.1 Mọi R-môđun M đều là ảnh toàn cấu của một R-môđun tự

do Suy ra, mọi R-môđun M đều đẳng cấu với thương của một môđun tự do

Định lý 1.5.1 Cho M là R-môđun Tập con S ⊂M là một cơ sở nếu và chỉ nếu ánh xạ bao hàm :i S →M có thể mở rộng thành đẳng cấu R-môđun

:

h F→M với F là R-môđun tự do sinh bởi S

Hệ quả 1.5.1 R-môđun M là tự do khi và chỉ khi M có một cơ sở

Định lý 1.5.2 (Tính phổ dụng) Cho F là R-môđun tự do với cơ sở

1.6 Môđun xạ ảnh

Định nghĩa 1.6.1 môđun P được gọi là xạ ảnh nếu mọi đồng cấu

R-môđun f P: →B và mọi toàn cấu và mọi toàn cấu R-môđun : g A→B thì có

một đồng cấu R-môđun : h P→ A thỏa gh= f

Định lý 1.6.1 Mọi môđun tự do đều là xạ ảnh

Mệnh đề 1.6.1 Cho X là R-môđun Các khẳng định sau tương đương:

Chương 2 MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MÔĐUN XẠ ẢNH VỚI MÔĐUN ĐỐI NGẪU

2.1 Bài tập 1. Cho R là vành giao hoán Chứng minh khi P là R-môđun tự

do hữu hạn sinh, có một đẳng cấu tự nhiên P≅ P**

Chứng minh Nếu ta chọn một R-cơ sở e1, ,e của P thì mọi n f ∈P* là hoàn toàn xác định với các giá trị e i i, =1, ,n và tương ứng f với n-bộ

(( ( ), , ( ))1 n

n

f e f e ∈R ) cho ta một R-tuyến tính đơn ánh từ P* vào n

R và nó cũng là toàn ánh Ta định nghĩa f P i : →R bởi f r e i(1 1+ + r e n n)=r i Đây là hàm tọa độ thứ i theo cơ sở của P ta đã chọn Khi đó, ánh xạ * n

P →R biến hàm tọa độ này thành vectơ thứ i trong cơ sở trực chuN n của n

R Ta có đẳng cấu * n

P →R , trong này các hàm tọa độ cho cơ sở của P phải là cơ sở P* Vì vậy với mỗi cơ sở e1, ,e n của R-môđun tự do hữu hạn sinh, các hàm tọa độ cho cơ sở này là một cơ sở đối ngẫu Nó được gọi là c ơ s ở đố i ng ẫ u và ký hiệu

* 1

( )

0

neáu neáu

Bây giờ ta chứng minh bài tập trên:

Ta sẽ chỉ ra ánh xạ R-tuyến tính P→P** cho mọi R-môđun P, sau đó kiếm tra nó là đẳng cấu khi P là hữu hạn và tự do

Mỗi phần tử thuộc P** là một ánh xạ tuyến tính P*→R Với mỗi

m∈P, ta có:

, *, :

f g P r R

∀ ∈ ∈ (f +g m)( )= f m( )+g m( )

(rf)( )m =r f m( ( )) Cho ϕm:P*→R,ϕm( )f = f m( ) thì dễ thấy ϕm là một R-đồng cấu nên

Cho e1, ,e n là R-cơ sở của P Cho e1*, ,e n* là cơ sở đối ngẫu của P* Nếu

m∈P và m≠0thì e m i*( )≠0 đối với một số i Vì vậy ϕm(e i*)≠0, nên ϕm

không phải là phần tử 0 trong P** Điều này cho thấy ϕm chỉ có thể bằng 0 khi m=0, do đó ánh xạ P→P** là đơn ánh

Bây giờ ta chọn một ε∈P**, cần tìm m∈P sao cho ε ϕ= m, có nghĩa là ( )f f m( ), f P*

ε = ∀ ∈ Vì cả hai vế phương trình này đều là tuyến tính trong

f nên có thể tìm thấy một m làm cho phương trình này thỏa khi f tác động lên cơ sở đối ngẫu từ việc mở rộng P* Cho *

Tương ứng m ֏ ϕm cho ta một R-đồng cấu P→P** với mọi môđun

P, không chỉ với môđun tự do hữu hạn sinh và đó là đồng cấu tự nhiên từ một môđun tới chính song đối ngẫu của nó Cho một môđun tự do hữu hạn sinh, tương ứng này là một đẳng cấu và gọi là đẳng cấu song đối ngẫu Theo đẳng cấu này, cơ sở trên P** đối ngẫu với cơ sở đối ngẫu e1*, ,e n* trên P* là cơ sở nguyên gốc e1, ,e n Thật vậy, ta có

ảnh Ở giả thiết bài 1 ta chỉ xét cho P là môđun tự do nhưng ởđây phải cho P

hữu hạn sinh thì khi đó có một đẳng cấu tự nhiên P≅ P** Còn trong bài tập

1 cho P là một R-môđun xạ ảnh bất kì (không cho hữu hạn sinh) thì ta có đơn

c u P→P** ( là bài tập 5 ở sau) Về bài tập 2 trên ta cũng có P là một

Ch ứ ng minh Giả sử P là R-môđun phải xạ ảnh và : Fφ →P là một R-toàn

c u, trong đó F là R-môđun tự do có cơ sở là ( )e i i I∈ Khi đó dãy khớp ngắn

0→Ker φ → F φ→ →P 0

là chẻ ra, do đó tồn tại R-đồng cấu f P: →F sao cho φf =1P Với mỗi phần

tử tùy ý a∈P thì ( )f a ∈F luôn có một khai triển hữu hạn duy nhất

R-môđun tự do trên tập S Khi đó theo tính phổ dụng của môđun tự do, tồn tại

R-đồng cấu : Fφ →P mở rộng của g, tức sao cho ( )φ e i = ∀ ∈a i, i I Bây giờ ta

là chẻ ra Điều này nói lên rằng P đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của

môđun tự do F nên P là R-môđun xạ ảnh Định lý được chứng minh

Nh ậ n xét Để thuận tiện, chúng ta sẽ đề cập đến {a f trên là “ c i, i} ặ p c ơ s ở

đố i ng ẫ u” cho môđun (xạ ảnh) P Dĩ nhiên, họ { }a i i I∈ ,a i∈P chỉ là một dạng

tập sinh không nhất thiết là cơ sở của P

2.5 Bài tập 5 Chứng minh với R là vành giao hoán và P là R-môđun xạ

ảnh bất kỳ, ánh xạ tự nhiên :ε P→P** là một đơn cấu

Ch ứ ng minh Ta cũng biết một R-đồng cấu tự nhiên ε :P→P** định nghĩa bởi ε( )a =aɵ (cho a∈P) trong đó f aɵ = f a( ),∀ ∈f P*

Nếu a∈Ker( )ε , thì 0= f aɵ = f a( ),∀ ∈f P* Từ phương trình

( ),

i I

a=∑∈ a f a ∀ ∈a P trong bài tập 4, ta suy ra a =0

Nh ậ n xét. Trong chứng minh bài tập 3 cũng chỉ ra rằng P là một xạ ảnh hữu

hạn sinh nếu và chỉ nếu tồn tại {a f i, i:1≤ ≤i n} thỏa như điều kiện như bài tập

4 sao cho a=∑i I∈ a f a i i( ),∀ ∈a P Trong trường hợp này, nó có thể chỉ ra rằng các hàm tuyến tính { }f i i I∈ cũng sinh ra P* Hơn nữa, ánh xạ ε :P→P**

định nghĩa ở trên là một đẳng cấu của R-môđun Chi tiết hơn ta có bài tập sau

2.6 Bài tập 6. Cho R vành giao hoán và P là một R-môđun xạ ảnh hữu

hạn sinh với cặp cơ sở đối ngẫu {a f i, i:1≤ ≤i n} Khi đó P* là một R-môđun

và với a∈P a,ɵ∈P**, định nghĩa f aɵ = f a( ),∀ ∈f P* Chứng minh rằng: (a) { }f a là một cặp cơ sở đối ngẫu cho i,ɵi P*

(b) P* là một R-môđun xạ ảnh hữu hạn sinh

(c) Ánh xạ tự nhiên :ε P→P** định nghĩa bởi ε( )a =aɵ (với mọi a∈P) là

một đẳng cấu của R-môđun

Chứng minh (a) Ta phải chỉ ra f =∑(f a fɵi) ,i ∀ ∈f P* Thật vậy, xét vế

phải, với mỗi a∈P Ta có:

ɵ

(∑(f a f i) )( )i a =∑ f a f a( ) ( )i i = f(∑a f a i i( ))= f a( ) (b) Theo bài tập 4 thì (a) đã bao gồm (b)

(c) Trong bài tập 5 rõ ràng ε là đơn ánh Từ f =∑(f a fɵi) i, chỉ ra { }f là một i

tập sinh cho P* Áp dụng kết luận này cho cặp cơ sở đối ngẫu { }f a cho i,ɵi

P , ta thấy { }a là một tập sinh cho ɵi P** Vì vậy aɵi =ε( )a i , do đó :P P**

ε → là một toàn ánh, vì vậy ε là một đẳng cấu

Nhận xét Thực ra :ε P→P** là một đẳng cấu (trong trường hợp P là một

xạ ảnh hữu hạn sinh) cũng có thể chứng minh cho trường hợp P là tự do hữu

hạn sinh như trong bài tập 1 Trong trường hợp P= R, ta có P*= R và

**

P = R thì ánh xạ ε là một ánh xạ đồng nhất từ R vào R Lấy tổng trực tiếp

hữu hạn ta thấy ε cũng là một đẳng cấu với n

P= R Cho môđun xạ ảnh P hữu hạn sinh, cố định môđun Q sao cho n

P⊕ ≅Q R Vì εP Q⊕ = ⊕εP εQ là một

đẳng cấu nên εP cũng là một đẳng cấu

Trong trường hợp giả thiết không hữu hạn sinh thì sao? Có vẻ là các công thức tính toán ở (a) là cho mọi cặp cơ sở đối ngẫu {a f Tuy nhiên không i, i}

phải như vậy Nếu tập {a f là vô hạn, ta không có cách nào biết được, đối i, i}

với bất kỳ f ∈P*, f aɵi = f a( )i là không cho tất cả nhưng hữu hạn với nhiều i

Nếu không có điều này, tổng ∑i(f a fɵi) i trở nên vô nghĩa Bài tập 7 và bài tập

8 đưa ra ở sau sẽ đề cập thêm về mối quan hệ của P và P** trong trường hợp

không hữu hạn sinh

2.7 Bài tập 7. Cho ví dụ (tất yếu không phải hữu hạn sinh) R-môđun xạ

ảnh P, P sao cho (1) đối ngẫu đầu tiên P* của P là không phải R-môđun xạ 1

ảnh và (2) là phép nhúng tự nhiên của P vào 1 P ** là không phải đẳng cấu 1Bài giải (1) Cho R=Z và giả sử P không phải là hữu hạn sinh Ta có R-

(2) Cho R=Q , và P1 = ⊕ ⊕Q Q là một Q -không gian vectơ (tự do) với

số chiều đếm được Như (1), chúng ta có *P ≅ × ×Q Q là một Q -không gian

vectơ với số chiều không đếm được Rõ ràng, nó đối ngẫu P ** là cũng một 1

Q -không gian vectơ với số chiều không đếm được Vì thế, phép nhúng tự

nhiên ε :P1 →P1** không thể là một đẳng cấu

Nhận xét: Trong (2), chúng ta đã làm việc với trường Q vì thực tế là Q

không đếm được và dễ thấy Q Q× × là Q -chiều không đếm được Nói

chung, thực tế là k× ×k là k-chiều không đếm được trên bất cứ trường k nào, vì chúng ta có thể chọn P1 = ⊕ ⊕k k trên bất kì trường k nào cho (2)

2.8 Bài tập 8. Cho M =∏i∈ℕℤ ℤi, i =ℤ Cho e i =( )x j j∈ℕ, x j =1 nếu

j=i, x j =0 nếu j≠i

(i) Chứng minh rằng với mọi f ∈Hom Mℤ( , )Z , ta có ( )f e i =0 với hầu hết i

(ii) Đặt P= ⊕i∈ℕℤ ℤi, i =ℤ, *P = Hom Pℤ( , )ℤ Chứng minh P≅ P**

Chứng minh P là một Z-môđun tự do Để chứng minh (ii) ta chứng minh phép nhúng tự nhiên :ε P→P** là một đẳng cấu Ta chứng minh điều này

bằng cách giả sử có (i) Vì P là Z-môđun tự do nên là môđun xạ ảnh, suy ra ε

là một đơn ánh theo bài tập 4 Ta chứng minh rằng ε là toàn ánh với mọi

( *, )

f ∈Hom PZ Z Giống bài tập 7, có thể xem P* như là M Theo (i) tồn tại n

sao cho ( )f e i =0với i>n Cho X =Ze n+1×Ze n+2× , và cho g=f|X Bởi vì g là

0 trên Ze n+1⊕Ze n+2⊕ , từ trong bài tập 2 suy ra g ≡0 Vì thế, cho

= ∑i∞=1x a i i

=ε( )( ,a x x1 2, )

Do đó: f =ε( ).a

Ta chứng minh (i), ta cho giả thiết, thay vào đó f e( )i ≠0với vô hạn i Vì

vậy có thể giả sử ( )f e i ≠ 0, với i≥1 Ta cũng thay thế e bởi i −e i nếu cần thiết, chúng ta có thể giả sử mỗi a i:= f e( )i >0 Qui định với bất kỳ số nguyên tố p

không chia hết cho a và định nghĩa hai dãy 1 {y x n, n:n≥ ⊆1} X qui nạp trên n

như sau: y1 = =x1 1, và cho n>1,y n = x a1 1+ + x a n−1 n−1,x n = py n Chú ý

Chúng ta có p chia hết cho a , mâu thuN n! 1

Nhận xét: Tích trực tiếp M =∏i∈ℕℤi, ℤi =ℤ không là ℤ-môđun xạ ảnh nên nó không phải là ℤ-môđun tự do và M cũng không phải hữu hạn sinh Do

đó với M như vậy nói chung không có đẳng cấu giữa M và M**