Câu 1. a) Tính giá trị của biểu thức ; b) Giải hệ phương trình Câu 2. Cho biểu thức P = , với x > 0, x 1 a) Rút gọn biểu thức P. b) Tính giá trị của biểu thức P khi Câu 3. Cho hai hàm số: y = (m2 + 1)x + 2(m là tham số) a) Vẽ đồ thị hàm số khi m = 0; b) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số y = (m2 + 1)x + 2 song song với đường thẳng y = 5x + m.
Trang 1M N
P
Q
Câu 1 (2 điểm)Rút gọn biểu thức:
a)
2 1
2
b)
: 4
x B
x
với x 0 và x 4.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O) có dây MN cố định không đi qua tâm O Điểm P di động trên đường tròn (O) sao cho tam giác MNP có 3 góc nhọn Các đường cao ME và NF của tam giác MNP (E PN, F PM) cắt nhau tại H Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng EF và MN Chứng minh rằng:
a) MNEF là tứ giác nội tiếp.
b) KM.KN = KE.KF
a) Chứng minh tứ giác MNEF nội tiếp
Xét tứ giác MNEF, có:
MEN (GT)
MFN (GT)
MEN MFN 900
Suy ra: MNEF là tứ giác nội tiếp (đfcm)
b) Chứng minh KM.KN = KE.KF
Xét KFM và KNE có EKN chung và
KFM KNE (vì MNEF là tứ giác nội tiếp)
I
D
M
K
A
O
H F
E
KFM ∽KNE (g.g) KF KM KE KF KM KN
c) Đường thẳng QH luôn đi qua một điểm cố định khi P thay đổi
Gọi D là giao điểm của QH với đường tròn (O)
Ta có: tứ giác PNMQ nội tiếp đường tròn (O), nên PKM ∽NKQ (g.g)
KM KP KM KN KQ KP
Từ (1) và (2) KQ.KP = KE.KF
Trang 2Từ KQ.KP = KE.KF
KF KP.
KQF và KEP có
KF KP và chung góc K.
suy ra KQF ∽KEP KQF KEP
Vậy tứ giác PQFE nội tiếp Suy ra 5 điểm P, Q, F, H, E cùng nằm trên một đường tròn đường kính PH (vì HFP 900), nên PMD 900 Suy ra PD là đường kính của đường tròn (O)
Tứ giác MDNH là hình bình hành vì có các cặp cạnh đối song song (MD và NH cùng vuông góc với PM; ND và MH cùng vuông góc với PN)
Gọi I là giao điểm của hai đường chéo MN và HD I là trung điểm của MN
Do MN cố định nên I cố định
Vậy QH luôn đi qua điểm I cố định (đfcm)